令和５年４月30日

[流れ星]

　　第425回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：4月2日〜４月30日＞

［整数問題等］

追加問題（出題者は「ジョーカー」）

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズの第６問目になります。

^{NO1「スモークマン」 04/04 13時06分　 受信 更新 4/30}

早速、チャレンジをば！！

(11)

n+5=m^2

n=m^2-5

so…

m^2-5+m=k^2

m^2+m=k^2+5

m(m+1)=k^2+5

so…m=5t

5t(5t+1)=k^2+5=25s^2+5=5(5s^2+1)

So…5s^2+1=6

s=1

t=1

m=5

と一意に決まる

so...

√(n+√(n+5))・・・n=20

√(n+√(n+6))・・・n=30

√(n+√(n+7))・・・n=42

＜水の流れ：ｎは自然数に限らないので、他の答えがありました。

　作問時には気が付かなったのですが、「よふかしのつらいおじさん」の応募があってから気が付きました。＞

(12)

上の考察より...

√(n+√(n+k))=k

k^2-k=n

(2)

0<θ<π/2

x=r*cosθ

y=r*sinθ

与式

=7*cos^2θ+8cosθ*sinθ+sin^2θ

=7+sinθ*(8cosθ-6sinθ)

=7+10*sinθ*cos(θ+α)

cosα=4/5

sinα=3/5

=7+5{sin(2θ+α)+sin(-α)}

=7-3+5sin(2θ+α)

=4+5sin(2θ+α)

α<=2θ+α<π+α

so…

Max{与式}=9

Min{与式}=-1

(3)

xyz/(y^2*z^2+x^2*z+3x^2+y^2)

=z/((y/x)z^2+(x/y)z+3(x/y)+(y/x))

So…相加相乗平均から

(y/x)(z^2+1)+(x/y)(z+3)>=2√((z^2+1)(z+3))

等号は…

(y/x)(z^2+1)=(x/y)(z+3) のとき

例えば、y/x=x/y で、z^2+1=z+3…z^2-z-2=(z-2)(z+1)=0…z=2 なら満たすし、そのようなときが存在できる。

So…

与式<=2/(2√5^2)=1/5　(たとえば、x=y, z=2 のとき最大値の1/5を取りますね。)

ジョーカー様の追加問題

添付図です。

^{NO2「kasama」 04/07 07時38分　 受信 更新 4/30}

寄せられた問題の解答です

^{「kasama」 04/11 18時05分　 　　 受信 更新 4/30}

問題１の追加が寄せられた解答です

^{NO3「よふかしのつらいおじさん」4/07 18時37分 受信 更新 4/30}

第425回

問題1

(1)

● ｍを整数とします。

これを、ｎの2次方程式として解くと、

▲ｋ＝5のとき、

ここで、根号の中を平方数 とします。

　

(1)のときは、、これを(*)にもどすと、

　

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、ｎ＝−１

　(2)のときは、

　これを(*)にもどと、

　

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、ｎ＝20

以上から、

▲ｋ＝6のとき、

ここで、根号の中を平方数 とします。

　

　(3)のときは、、これを(**)にもどすと、

　

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、ｎ＝−2

(4)のときは、

　これを(**)にもどすと、

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、ｎ＝30

以上から、

▲ｋ＝7のとき、

ここで、根号の中を平方数 とします。

　

このとき、、これを(***)にもどすと、

　

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、ｎ＝42

以上から、

(2)

●

これをｎの2次方程式として解くと、

　これを(#)にもどすと、

・ として、

・ として、

よって、

※ 上の問題(1)の確認ができます。

問題2

とします。（ です）

また、 となり、漸近線は、 です。

よって、

問題3

●

の最大値を考える代わりに、逆数の の最小値を考えます。

相加平均・相乗平均の関係を使って考えます。

分子には、x:2個、y:2個、z:1個あります。

分母には、x:2個、y:2個、z:2個あります。

▲それで、zを増やし、調整して、

等号の条件を調べます。

第1式と第4式が等しいとすると、

第2式と第3式が等しいとすると、

これは成立しません。

▲そこで、第1項と第3項が文字についてはかけると打ち消しあうので、

等号の条件を調べます。

第1式と第4式が等しいとすると、

第2式と第3式が等しいとすると、

これも成立しません。

▲さらに第1項と第3項を増やして、

等号の条件を調べます。

第1式と第4式が等しいとすると、

第2式と第3式が等しいとすると、

これは成立します。

第1式と第2式が等しいとすると、

また、第3式と第4式が等しいとしても、 です。

以上から、

は、 のとき最小値5をとります。

●よって、

　は、 のとき最大値 をとります。

追加問題

●半径1の円の中心をＳ、Ｒとします。

円甲、乙、丙の中心をそれぞれＫ、Ｔ、Ｈとします。

円甲、乙、丙の半径をそれぞれｋ、ｔ、ｈとします。

●円甲の半径を求めます。

直角三角形ＲＫＡに三平方の定理を用います。

△ＡＢＣが1辺の長さが1の正三角形なので、 です。

よって、円甲の半径は、

●円乙の半径を求めます。

円丙が互いに接する三円Ｓ、Ｒ、Ｋに内接しているので、デカルトの円定理を用います。

これを1/tについての2次方程式として解くと、

ゆえに、

下の解は適さないので、円乙の半径は

●次に、円丙の半径ｈを求めます。

上の図のＬＭの長さは、 です。

直角三角形ＲＨＪに三平方の定理を用います。

の2次方程式として解くと、

解は正なので、「＋」の方を選んで、

・黄緑色の部分は、

・水色の部分は、

・灰色の部分は、

ゆえに、

ゆえに、

よって、円丙の半径は、

^{NO4「ジョーカー」 　04/10 　　 02時44分 受信 更新 4/30}

寄せられた問題の解答です

^{NO5「三角定規」　　　　04/29 22時58分 受信 更新 4/30}

寄せられた問題の解答です

^{「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　更新 4/30}

＜コメント：はじめは２１、２５の因数分解で負の数を無視して、解を落としました。＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。