令和5年5月28日

[流れ星]

  第426数学的な連続応募解答

    <解答募集期間:430日〜5月28日>

2023問題]

問題1

(120232023 19で割った余りを求めよ。

(2)20232023 323で割った余りを求めよ

(3)182023202023361で割った余りを求めよ

 

 

追加問題1(出題者は「ジョーカー」)

417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の4円」

シリーズの第7問目になります。

 

 

 

 

追加問題2(出題者は「ジョーカー」)

 

NO1「ジョーカー」     04/30       2018     受信  更新 5/28

寄せられた問題の解答

 

NO2「スモークマン」    05/01         2057分    受信  更新 5/28

問題1

(1)20232023 を19で割った余りを求めよ。

(2)20232023 を323で割った余りを求めよ。

(3)182023202023361で割った余りを求めよ。

(1)

φ(19)=18

2023/18=112…7

2023^2023

2023^7

9^7 ∵2023/19=1069

5^3*9 ∵9^2=815 (mod 19)

6*5*999 ∵5^26 (mod 19)

4

(2)

323=19*17

2023/17=119…0

So…

2023^2023=19k+4=17m

m=k+(2k+4)/17

k=17t+15

m=17t+15+2t+2=19t+17

so…17*(19t+17)=17*19t+17^2

so17^2=289 (mod 323)

(3)182023202023361で割った余り

361=19^2

So…

18^2023+20^2023

=(19-1)^2023+(19+1)^2023

2*19*(1+2023C1+2023C3++2023C2023) ∵19^2の項が消えて、1+19^奇数*1^偶数が残る

=2*19*2(^2022+1)

φ(19^2)=361-19=342

2022/342=5…312

So…

2*19*313 

342 (mod 361) ∵2*19*313/361=32+18/19=106+342/361

 

 

「スモークマン」    05/02         1656分    受信  更新 5/28

追加問題1

426somoku

 

<水の流れ:甲乙丙いずれもこちらの答えと同じではありません。再考を頂ければ幸いです>

NO3kasama          05/07         0128分    受信  更新 5/28

加問題の(3)です。数式の各項目を平面上の2点間の距離に対応させて、始点・終点を繋げて、各点が同一線上に並べるやり方で取り組みました。数式の各項目の始点・終点が明確に区別できないケースがあって、場合分けをやって、

 (0,0)(x,1)(2,11-y)(3,11-z)(5-w,11)(5,12)

と繋げた点列が最小値13とはじき出しました。一応、微分して確かめたので、答え自体は合っていると思います。ただ、(単純ではあるものの)場合分けの数が多くて、無理矢理答えを出しているようで、まったくしっくりきません。もっとシンプルなやり方はないものかと考えを巡らせております。

 

寄せられた問題の解答

 

 

kasama          05/14         2251分    受信  更新 5/28

三次元空間の立方体の展開図に引かれた線分の長さで考えてみました。直接点列を平面に繋げていくよりも、三次元空間の方が次元が大きい分だけ(自由度が増すので)、扱い易くなりました。とは言え、追加問題(3)は難しいと思います。もっとシンプルにやる方法はあろうかと思いますが、答えに辿り着いたので、解答をお送りします。

 

再考された解答

 

No4「よふかしのつらいおじさん」5/09  0840     受信  更新 5/28

問題1

(1)

 なので、

 

以下  で考えます。

 

以上から、

 

よって、 19で割った余りは、4です。

 

 

(2)

 です。

 

 なので、

 

以下  で考えます。

 

以上から、9乗ごとに余りが繰り返されます。

 

よって、

 

 323で割った余りは、289です。

 

 

(3)

 です。

 

以下  で考えます。

 

 

 

 

 

 

よって、 361で割った余りは342です。

 

 

追加問題1

●円甲、乙、丙の半径をそれぞれ、k、t、hとします。

 

 

直角三角形OQKに三平方の定理を用いると、

 

 

直角三角形OQTに三平方の定理を用いると、

 

 

よって、

円甲の半径は、乙の半径は です。

 

 

●図の  とします。

 です。

 

△OQHに余弦定理を用いると、

 

△OHKに余弦定理を用いると、

 

 

 

 

 

 

(1)(2)より、

 

 

 

よって、円丙の半径は、 です。

 

 

追加問題2

(1)

 

 

 

 は、

1項が 点 と点

2項が 点 と点

3項が 点 と点  との距離です。

 

よって最小値は、線分ADの距離です。

 となります。

 

直線ADは、 なので、

xは、Y0として、 より

yは、X0として、 より

 

 

 

(2)

 

 

 は、

1項が 点 と点

2項が 点 と点

3項が 点 と点

4項が 点 と点 E との距離です。

 

よって最小値は、線分AEの距離です。

 となります。

 

直線AEは、 なので、

xは、Y0として、 より

yは、Y3として、 より

zは、Y4として、 より

 

 

 

 

「よふかしのつらいおじさん」5/10  2237     受信  更新 5/28

追加問題2 再考の解答です。

(2)

 

 

 は、

1項が 点 と点

2項が 点 と点

3項が 点 と点

4項が 点 と点 E との距離です。

 

よって最小値は、線分AEの距離です。

 となります。

 

直線AEは、 なので、

xは、Y0として、 より

yは、Y3として、 より

zは、Y4として、 より

 

 

 

  左図の直方体の辺上に各点を取ります。

直線ABで切り開いて、展開したのが右図です。

最短が赤線です。

 

 

(3)

 

 

1 (5) は、w=0 (x=0) のとき、最小となります。

2 (4) は、w=2 (x=2) のとき、最小となります。

(yやzが一定として)

※ 第1項と第2 (5項と第4) の和の最小は、0<w<2 (0<x<2) の範囲にありそうです。

 

 

2項は (4) は、z=0 (y=10) のとき、最小となります。

(xやwが一定として)

※ 第2項、第3項、第4項の和の最小は、変数が010の間のときになりそうです。

 

3項は、y=zのとき、最小となります。

zが0から少しずつ増加すると、第2項は少しずつ増加します。

yが10から少しずつ減少すると、第4項は少しずつ増加します。

zの増加とyの減少のペースが同じだとそれぞれ5のとき等しくなります。

 

 

変数wは、第1項と第2項に含まれ、第345項には関係ありません。

1項と第5項は同じ形をしています。

zやyを一定とみれば、第2項と第4項は同じ形をしています。

 

1項と第2 (5項と第4) の和の最小を考えます。

 として、f()の最小を調べます。

(=z)0、w>0 として考えます。(Aは5の近辺を考えます)

 

 

 の分母は正なので、分子を調べます。

 

 

灰色の方の解は捨てます。

 

 のとき最小値をとります。

 

 

zの増加、yの減少のペースが同じとして、2項、第3項、第4項の和の最小を考えます。

2項と第4項はこの条件のときは同じ値をとります。

5を中心として、この2式は対称の関係にあります。

それで、第3項を半分にして考えます。(B=2−w とします)

2項の値と第3項の値の半分の和を調べ、倍にすると考えます。

 

 として、f()の最小を調べます。

B>05z0 として考えます

 

 

 の分母は正なので、分子を調べます。

 

 

 

 

Bは1より少し大きいので、灰色の解は捨てます。

 

 のとき、最小になります。

 

 

●最小は、B=2−W、A=Zを連立させて、

 

 

以上から、

より最小値は、

 

 

 

  図の赤線の長さを求めると考えるのが早いです。

 

直方体の辺上の点を繋いでいくというのはなかなか思いつきません。

勉強になりました

 

 

NO5 「三角定規」    05/27         2016     受信  更新 5/28

寄せられた問題の解答

「三角定規」さんからのコメントです。

問題1の(1)は二項定理を用いて何とか解き,[] は得たのですが,すごい手間でした。ご常連の方々の美しい解答で学びたいと思います。

追加問題2も何とか解いたのですが,ワープロが間に合いませんでした。

 

 

 

「水の流れ」                        更新 5/28

426回の答

 

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