令和５年８月１３日

[流れ星]

　　第429回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：７月23日〜８月20日＞

［三角関数］

問題

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズの第10問目が最後の問題です。

追加問題２（出題者は「ジョーカー」）

　第427回からの「確率等」の問題シリーズの３問目です。

　Ａ，Ｂ，Ｃの3人が１つのさいころをＡＢＣＣＢＡ｜ＡＢＣＣＢＡ｜ＡＢＣＣＢＡ｜Ａ・・・の順に投げて, 最初に1の目を出した人を勝ちとする。

　Ａ，Ｂ，Ｃが勝つ確率をそれぞれ求めよ。

NO1「ジョーカー」 　07/23 　　 16時20分 受信 更新 8/13

「ジョーカー」 　 07/24 　　 03時41分 受信 更新 8/13

「ジョーカー」 　 07/25 　　 11時21分 受信 更新 8/13

「ジョーカー」 　 07/26 　　 22時03分 受信 更新 8/13

「ジョーカー」 　 07/31 　　 22時48分 受信 更新 8/13

以上の日時に解答を寄せられました。今回これらをまとめて見やすくしました。寄せられた問題の解答です

NO２「スモークマン」 07/2７ 13時48分　 受信 更新 8/13

(1)

(sin(x)+2sin(y))/(cos(x)+2cos(y)+6)

f(x)=sin(x)/(cos(x)+2)とすると

与式=f(x)　と同じ

f’(x)=(sin^2(x)+cos^2(x)+2cos(x))/(cos(x)+2)^2

=0

2cos(x)=-1

So…x=2π/3

So…

Max{f(x)}=(√3/2)/(-1/2+2)=√3/3

(2)

(4sinθ+2cosθ+5)/(cosθ+sinθ+1)

以下のように置くと、

tan(θ/2)=t…-π/4<θ<π/2…-1<t<♾️

cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)

sinθ=2t/(1+t^2)

与式=(3t^2+8t+7)/(2t+2)

((3t^2+8t+7)/(2t+2))’=(3t^2+6t+1)/(2(t+1)^2)

3t^2+6t+1=0

t=(-3-√6)/3, (-3+√6)/3

後者のとき、

与式=(2t+6)/(2t+2)=(t+3)/(t+1)=6+√6)/√6=1+√6

So…

Min{与式}=1+√6=3.449…

追加問題1(絵馬)

＜水の流れ：6桁もある数字でしたが、4円の半径の数字は正解です。

私にはとても計算ができません。根気が続きません。

スモークマンさんの計算力に感服の至りです

「スモークマン」 08/01 22時55分　 受信 更新 8/13

追加問題２

A,B,Cの勝つ確率をそれぞれ P(A),P(B),P(C)とすると、

P(A)=(1/6)(1+(5/6)^5)*(1/(1-(5/6)^6)

=(6^5+5^5)/(6^6-5^6)

=10901/31031

=991/2821 =0.3512…

P(B)=(1/6)((5/6)+(5/6)^4)*(1/(1-(5/6)^6)

=(5*6^4+6*5^4)/(6^6-5^6)

=10230/31031

=30/91 =0.3296…

P(C)=1-991/2821-30/91=900/2821 =0.3190…

P(A)>P(B)>P(C)

ちなみに、

ABCの順番の場合…

P(A)+P(B)+P(C)=1

P(B)=(5/6)P(A)

P(C)=(5/6)^2P(A)

So…

P(A)(1+5/6+(5/6)^2)=1

P(A)=6^2/(6^2+6*5+5^2)=36/91

P(B)=30/91

P(C)=25/91

＜水の流れ：条件を変えての考察ありがとうございます。＞

NO3「kasama」 07/30 00時40分　 受信 更新 8/13

　寄せられた問題の解答です

「kasama」 07/30 23時04分　 受信 更新 8/13

前回の解答に一部訂正をされました。下記にまとめてあります。

「kasama」 08/03 22時36分　 受信 更新 8/13

前回の訂正内容と複数の別解答です

NO4「よふかしのつらいおじさん」8/12 05時33分 受信 更新 8/13

今回の問題のヒントは、「出題は、〇〇大学（文系）の過去問改題」でした。

(1)

●

このように変形すると、この式は2点 を結ぶ直線の傾きです。

点と点とは、原点対称の関係にあります。

●この直線の傾きの最大は、図の赤の場合です。

△OA’C‘∽△QB’C’で、相似の比は、1：2です。

よって、点C’のｘ座標は2です。

点を通り、傾きｍの直線は、

この直線と原点との距離は1なので、

よって、最大値は、 です。

(2)

●

ここで、分母を変形します。

さらに、分母をみて、分子を変形します。

よって、(＃)は、

ここで、水色の部分は、原点中心で半径の円周上の点Ｂと点を結ぶ直線の傾きです。

θが、

の範囲で考えればよいことになります。

●この直線の傾きの最小は、図の赤の場合です。

点を通り、傾きｍの直線は、

この直線と原点との距離はなので、

よって、(##)は、

よって、最小値は、 です。

追加問題1

●点Bが原点、点Cがｘ軸に乗るように図を配置します。

各円の半径と中心の座標を次のようにします。

甲：ｋと、乙：ｓと、丙：ｈと、丁：ｔと

●円甲の半径を求めます。

直角三角形CKLより、

直角三角形KNPより、

(1)、(2)より、

これを(1)に入れると、

(ｋ＞0より)

これをｘの式に入れると、

●円乙の半径を求めます。

直角三角形NSMより、

直角三角形CSRより、

展開して、（3）から（4）を引くと、

これを(3)に入れて、ａで整理すると、

ここで、ａの評価をします。

図からｓは0.1程度なので、試しに を代入してみると、

ａは正なので、「+」の場合を用います。

これを(5)に入れて整理すると、

直角三角形SKQより、

計算すると、うれしいことに、 の係数が0になります。

2乗して、整理すると、

分母を有利化すると、

これを の形にしたいので、

これを解いて、(反対でも同じです)

ゆえに、(7)は、

よって、

です。

●円丙の半径を求めます。

直角三角形CHUより、

なので上の式に代入すると、

これに、、 を入れて、整理すると、

について解くと、

より、

2乗して、

●円丁の半径を求めます。

直角三角形TNVより、

直角三角形TKWより、

(8)と(9)より、

(10)に、ｋとｘを代入して、整理すると、

これを(8)に代入すると、

これを解くと、

2重根号の部分を の形にしたいので、

これを解いて、(反対でも同じです)

ゆえに、

よって、

よってマイナスのときを持ちいます。

よって円丁の半径は、

追加問題2

●

Aが勝つ場合は、(1回目・6回目)、(7回目・12回目)、･･･、(1+6(ｎ−1)回目・6+6(ｎ−1)回目)、･･･

Ｂが勝つ場合は、(2回目・5回目)、(8回目・11回目)、･･･、(2+6(ｎ−1)回目・5+6(ｎ−1)回目)、･･･

Ｃが勝つ場合は、(3回目・4回目)、(9回目・10回目)、･･･、(3+6(ｎ−1)回目・4+6(ｎ−1)回目)、･･･

に起こります。

それぞれの確率を合計していくと、

それぞれの確率を前半と後半に分けて足していきます。

前半と後半に分けると、それぞれ無限等比級数の和になります。

Ａの勝つ確率は、

Bの勝つ確率は、

Cの勝つ確率は、

念のために確率を合計すると、

「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　　　　 更新 8/13

解答