＜水の流れ＞　（私の一日NO56）

震え上がるような数の神秘を知るためにあなたは青春をかけてみないか！

Ｎ０30：2003年3月30日（日）家の近くの桜はこの土・日の暖かさで２・３分咲きって感じです。今週が花見に最適ではないでしょうか。家族で桜の下、食事ができれば最高でしょう。皆さん！至福のひとときを過ごしてみては。
　さて、第116回の応募問題で寄せられた「映画鑑賞」の解答を載せておきます。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。しかし、第１１７回の応募問題がまだ、できていない。頑張られば。

Ｎ０29：2003年3月29日（土）昨日からプロ野球公式戦が始まりました。太郎さんはジャイアンツファンです。松井選手が大リーグへ行ったぶんだけ、興味が薄れていますが、毎日ワクワクドキドキするような　粘り強い試合運びをしてもらいたいです。
　さて、今までに第116回の応募問題で寄せられた「絵画鑑賞」の解答者一覧を載せておきます。ご覧ください。

Ｎ０28：2003年3月26日（水）帰宅後、第116回の応募問題で「絵画鑑賞」の解答が「中川幸一」さんから寄せられました。ありがとうございます。「Mathematica 4.1 for Students」で解答が作成されていました。感謝。
　さて、明日、太郎さんにとって大変嬉しいことがあります。旧友に再会できるのです。１０年前に行われた同窓会にお会いして以来です。楽しみです。

Ｎ０27：2003年3月24日（月）国公立の発表がすべて終了し、現在、６３名になっています。国立は、帯広畜産、室蘭工、秋田、電気通信、東京芸大、上越教育、新潟、富山、福井、山梨、信州、岐阜、静岡、愛知教育、名古屋、名古屋工、三重、滋賀、京都工芸、神戸商船、和歌山、鳥取、岡山、香川。
公立大では、秋田県立、前橋工科、高崎経済、富山県立、岐阜県立看護、静岡県立、愛知県立、名古屋市大、滋賀県立、姫路工、下関市立、北九州市大でした。それぞれ、自分の夢の実現に近づいたことになります。あめでとう。元気な姿をまた、みせてください。
　また、今回は不運にも合格通知が来なかった人は、「捲土重来」という言葉のように、来年まで「臥薪嘗胆」の」気持ちで頑張ってください。
さて、帰宅後、第116回の応募問題で「絵画鑑賞」の解答が「UnderBird」から別解を寄せられました。鮮やかな解法ですので、先にご覧ください。

Ｎ０26：2003年3月23日（日）嬉しいことに「遊楽街」さんから、昨日の全国数学研究（愛知）大会の”特集号”に載せる原稿で、貴重なアドバイスを頂きました。本当に感謝します。早速、今日修正しています。締め切りが4月15日ですから、まだ、ゆとりがあります。
　で、実は、当日配付する資料を、事前に弊者の「水の流れ」に載せておき、ペーパーレスといきたいのですが。資料って運ぶのに、重くて大変なんです。または、当日会場で資料印刷をと考えています。名古屋市内へ車で行ったことがないので。

Ｎ０25：2003年3月22日（土）国公立の中期や後期日程の発表があり、やっと２校の「合格」を手にいれました。親として嬉しいです。
　さて、この８月４・５日に愛知県内で全国の数学大会があります。すでに太郎さんは発表を申し込んでいますが、その案内原稿を依頼されています。締め切りが4月１５日です。草案ですが、ご覧下さい。
【数学の面白さや便利さが体験できる総合的な学習の時間の活用】
１．研究のねらい
　学習指導要領の総則には、「総合的な学習の時間」のねらいとして、次の２点が挙げられている。
(1) 自ら課題を見つけ、主体的に判断し、よりよく問題を解決する資質や能力を育てること。
(2) 学び方やものの考え方を身につけ、問題の解決や探求活動に主体的、創造的に取り組む態度を育て、自己の在り方生き方を考えることができるようにすること。
　また、学習活動の例示として、次の３点を挙げてられた。
(1) 国際理解、情報、環境、福祉・健康などの横断的・総合的な課題についての学習活動
(2) 生徒が興味・関心、進路等に応じて設定した課題について、知識や技能の深化、総合化を図る学習活動
(3) 自己の在り方生き方や進路について考察する学習活動
　さらに、配慮事項として、
(1) 自然体験やボランティア活動、就業体験などの社会体験、観察・実験・実習、調査・研究、発表や討論、ものづくりや生産活動など体験的な学習、問題解決的な学習を積極的に取り入れること。
(2) グループ学習や個人研究などの多様な学習形態、地域の人々の協力も得つつ全教師が一体となって指導に当たるなどの指導体制
上記のようなねらい・方法・配慮事項などを鑑み、本校では次のように計画したい。
２．指導目標
　数学は、自然界のさまざまな現象、社会や人間について学ぶための基礎学問とされている。「文化や日常の社会生活と数学のかかわり」や「数学の発展と人間の活動とのかかわり」などを楽しく学ぶ。数学のおもしろさや便利さを体験しながら、数学的なものの見方や考え方を身につけることが目標とする。
３．指導内容
　上の目標を実現するために、生徒と対話形式をとりながら、特に操作的、体験的、発見的な学習をとりながら、生徒自身が自分でじっくりと考えて数学を体験させる。数学的活動を通して、これまであまり感じられなかった数学のおもしろさや便利さ、実感させる。この学習をすることによって、数学は楽しいものだと感じてもらえる内容とする。
４．具体的な学習展開例
　この後が、4月からの学習計画になります。現在未定です。

Ｎ０24：2003年3月18日（火）帰宅後、第116回の応募問題で「絵画鑑賞」の解答が「午年のうりぼう」さん（別解）と「Ｔｏｒｕ」さん、「浜田　明巳」さん、「UnderBird」から寄せられました。ご応募ありがとうございます。感謝します。
　明日は、岐阜県の高校入試合格発表です。

Ｎ０23：2003年3月17日（月）第115回の応募問題で寄せられた「チェビシェフの多項式」の「三角定規」のさん解答を載せておきます。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。

Ｎ０22：2003年3月16日（日）昨夜は、家を留守にしていまして、メールは午後開きました。第115回の応募問題で「チェビシェフの多項式」の解答を「三角定規」さんから頂きました。この中で次のようなコメントは在りました。
『だいぶ（20年以上）前のことですが，雑誌『大学への数学』に，このチェビシェフの多項式の性質を特集した記事がありました。そこには，の最小値を与えるｎ次の多項式がチェビシェフの多項式である等，興味深い記述がありました。その後，数値計算論を独学した際にも，随所にチェビシェフが現れ，その威力に感嘆させられました。』
＜水の流れ：このチェビシェフの多項式の性質は他にもありまして、−１≦ｘ≦１の範囲で、値域が−１≦ｙ≦１であったような気がします。
　また、第116回の応募問題で「絵画鑑賞」の解答を「H7K」さんと「午年のうりぼう」さんから早速頂きました。ご応募ありがとうございます。

Ｎ０21：2003年3月15日（土）昨夜帰宅後、第115回の応募問題の解答が「午年のうりぼう」さんから、寄せられていました。
　第115回の応募問題で寄せられた「チェビシェフの多項式」の解答を載せておきます。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。
また、1６日から応募します第116回の応募問題「絵画鑑賞」を更新しておきます。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　

Ｎ０20：2003年3月12日（水）太郎さんの知り合いが作成している「数学鑑賞館」というホームページがあります。数学的な話題が一杯あります。一度ご覧下さい。

Ｎ０19：2003年3月10日（月）今日までに判明した国公立大学の前期合格大学を追加して書いてみます。愛知教育、名古屋、富山県立、北九州市立がありました。これで、合計４４名に達しています。
　さて、「中川幸一」さんから、第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」に関して、一考察が届きました。ご覧下さい。
『Eulerの公式より　z = cos θ + i sin θ = ei θ と置くと
z + (1/z) = ei θ+ e-i θ = 2cosh i θ
ここで,z = cos θ + i sin θ = ei θzc = cos (-θ) + i sin (-θ) = cos θ - sin i θ = e-i θより,
cos θ = (ei θ + e-i θ)/2 = cosh i θ
よって, 第1種 Tchebyfheff函数 Tn(x) は cos θ だけでなく cosh θにも関与している。
※漸化式について
cosh (n+1)θ = 2cosh θ cosh nθ - cosh (n-1)θ
T(n+1)(x) - 2xTn(x) + T(n-1)(x) = 0』
　また、「中尾」さんからは、"＜美しい数学の話＞第１７話「特殊な三角形」に関しての奥行きのある事柄が寄せられました。
『"＜美しい数学の話＞第１７話　「特殊な三角形」"で取り上げられているπ/3(または2π/3)を１つの角に持ち、３辺の長さが有理数である。
三角形は、π/3-合同数(または2π/3-合同数)に関連しています。これらの三角形を見つけることは、ある楕円曲線の族の有理点を求める問題に帰着できます。
　例えば、67は2π/3-合同数であるので、1つの角が2π/3で、３辺の長さが有理数で、面積が67√3であるような三角形が無限個存在します。
具体的には、[6828808371/3380269120, 13521076480/101922513,46056826394932825123/344525523326698560],
[8505115188033888352905321542070934663680/2088451379545949870481153917764259279671,
2088451379545949870481153917764259279671/31735504432962269973527319186831845760,
4502657871105567436612263016819553212988136613503370605687384523764112621106641/66278058013606660316013260547009084138992382636474469808531645829140975544960]...です。』

Ｎ０18：2003年3月8日（土）昨日までに判明した国公立大学の前期合格大学を書いてみます。秋田、上越教育、新潟、福井、山梨、信州、岐阜、名古屋工業、三重、滋賀、京都工芸、神戸商船、和歌山、秋田県立、岐阜県立看護、静岡県立、愛知県立、姫路工大などです。
　また、トップページにある「掲示板」に書かれていた事柄がすべて削除になっていたことですが、ある時から、７日間書き込めがないと、削除されるようになっているのだそうです。知らなかった。貴重な数学的事柄が消えてしまったのは返す返すも残念です。
今まで 第115回応募問題で寄せられた「解答者一覧」を更新しました。ご覧ください。解答の更新は3月15日に行います。

Ｎ０17：2003年3月6日（木）昨日から、国公立大学の前期合格発表が始まりました。今年はセンター試験で思い通りに行かなかった生徒が多くて、結果は苦戦しています。
　帰宅後、第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」の解答を「UnderBird」さんと「ｕｄｏｎｋｏ」さんから寄せられていました。感謝しています。
実は、昨日から、トップページにある「掲示板」に書かれていた事柄がすべて削除になっていました。残念です。復元は不可能です。新しく登録するまで　お時間をください。

Ｎ０16：2003年3月5日（水）第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」の質問６について、ただし、0≦α＜2πと書いておきましたが、　応募者の中から、次のようなコメントを頂きました。
『fn(x)はxのn次多項式ですから、fn(x)=0の解はたかだかn個でこれ以上はありませんよね。0≦α≦πならαとcosαは１：１対応でcosαも取り得るすべての値をとるので、混乱が少なくてよりよかったかも知れません。それにしても、問題作成ごくろうさまです。特に質問５などは私など誘導がなければとても考え付きそうもなく、とても感心しました。』
　さらに、「UnderBird」からは、次の質問が寄せられました。
『いつも楽しみにHPを見ています。今回の問題も面白そうですね。そこで問題を考えていて疑問が出ました。
とてもつまらないことなのですが、返信メールか「★私の一日」の欄でお答えいただけるとありがたいのですが・・・。よろしくお願いいたします。
　質問５：ｚ＝cosθ＋isinθとおいたとき・・・・を示して、一般にPmn(t)=Pm(Pn(t))を証明しなさい。とありますが、
この証明する式は、ｚ＝cosθ＋isinθのとき、すなわち｜z｜=1の場合についての証明でしょうか？それとも任意のzについてですか？』
＜水の流れ：回答＞｜z｜=1を満たす任意のzについてと考えてください。
　『質問５の中ではｚ＝cosθ＋isinθの場合についてコサインの式を示すので、初めはｚ＝cosθ＋isinθの場合についてPmn(t)=Pm(Pn(t))を証明しました。
しかし、質問４の結果からは類推すると、任意のzでPmn(t)=Pm(Pn(t))が成り立つ気がします。（ただ、その証明は自分にはまだできていません）』
＜水の流れ：回答＞　そうです。質問４で、任意のzでPmn(t)=Pm(Pn(t))が成り立ちます。で、これを証明したいから、質問５の中ではｚ＝cosθ＋isinθとして、ｚ＋１／ｚ＝２cosθ　は無限に多くの値をとりえるので、Pmn(t)=Pm(Pn(t))は（ｍｎ＋１）個以上のｔについて成立する、ｍｎ次の等式だから、これは恒等式になる。

Ｎ０15：2003年3月4日（火）帰宅後、第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」の解答を「toru」さんと「中川幸一」さんから寄せられていました。感謝します。
　さて、この「チェビシェフの多項式」の問題は、昨年１２月８日に載っている問題が根底にあります。一部初期条件が違っていますが。ご覧ください。

Ｎ０14：2003年3月2日（日）昨日は、第54回の卒業証書授与式があいにくの雨の中厳粛に行われました。太郎さんにとって通算２５回の担任で、７回目の卒業担任でした。まだ、受験が終わっていない卒業生は中後期試験に向けて、最後まで全力を尽くしてください。ガンバレ！
　第114回の応募問題「垂足三角形」の解答が「午年のうりぼう」さんから、寄せられていました。
また、第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」の解答を早速、「H7K」さんと「kashiwagi」さんから寄せられていました。感謝します。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　

Ｎ０13：2003年2月28日（金）第114回の応募問題で寄せられた「垂足三角形」の解答を載せておきます。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。
また、1日から応募します第115回の応募問題「チェビシェフの多項式」を更新しておきます。今年どこかの大学入試に同じような問題がでていたら嬉しいな。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　 　さて、明日は、卒業式で、入学以来、３年間数学を教えてきた生徒が巣立って行きます。それぞれのの夢を実現させて、新しい世界には入っていきます。これからの幸せをお祈りします。
　　　　 　　　 　　　 　　

Ｎ０12：2003年2月23日（日）　今までの第114回応募問題で寄せられた「解答者一覧」を更新しました。ご覧ください。解答の更新は３月１日に行います。
　さて、誠に申し訳在りませんが、月曜日、火曜日と「私の一日」は更新できません。国立の前期個別試験に出かけますので。

Ｎ０11：2003年2月22日（土）第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「中川　幸一」さんから寄せられました。いつもありがとうございます。質問３の解答がスマートで　式変形に感心しています。
また、昨日のメールに関して、本人からの知らせを載せます。
『もし楕円曲線論に興味があれば、適当な入門書を参照されるとよいでしょう。日本語で読める教科書で、お勧めは、Joseph H.Silverman, John Tate(著), 足立 恒雄, 木田 雅成, 小松 啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995,ISBN4-431-70683-6, {3900円}です。
「直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるもの」の３辺a,b,c(a,b,cは互いに素とする)を小さい方から5個計算してみました。以下のようになります。
[a,b,c]=[4565486027761, 1061652293520, 4687298610289]　,　
[214038981475081188634947041892245670988588201,
109945628264924023237017010068507003594693720,
240625698472667313160415295005368384723483849],
[101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321,
90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200,
135748714471099967645098303815413145183510604468779231285462871341558087008619938117875754653321],
[463364435981466638655721606795402574490785034897443124170070240200671104946933926803365302534576258476492322816713177661024808525677009601280034178493297316385999153,
704093322799308833776272853814930313676549030172246816105298509194049219955867268919807417417483602815295710263978203420907943571429370020707878980026592034112342096,
842884338294996678212228837815191418234428179249675666444859533148402499591532256435242317441040296075151069741561268252863830134704359471711958336290700625845640625],
... もちろん、解(a,b,c)は無限に存在し、全てが分かっている（パラメータ表示できる）ので、必要に応じて、いくつでも計算することができます。このような問題が、数学や数論に興味を持つきっかけとなれば、幸いです。』

Ｎ０10：2003年2月21日（金）帰宅後、第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「ｕｄｏｎｋｏ」さんから寄せられました。いつもありがとうございます。質問３の解答が工夫されて式変形されていました。
また、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答を「遊楽街」さんからリンクとして寄せられました。次のようなコメントがありました。
　『同じ補助線を使った解答が無いようなので久しぶりに応募してみます。変数は多いですが、計算自体は簡潔になっていると思います。三角関数も平方根も未知数の4乗も出てきません。』
　　 さて、次のようなメールを頂きました。お知らせします。参考にしてください。
『はじめまして　フェルマーが書き込んだ「直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるための条件」について、すでにご存知かもしれませんが、
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou31.html　を見ていて、結論が書いてないように思えましたので、メールします。
　この問題は、楕円曲線E1:y^2=2x^4-1の有理点を求める問題に帰着できます。この楕円曲線は、E2:y^2=x^3+8xと双有理同型であり、E2の有理点群は、
E2(Q)=Z/2Z+Z　であり、そのねじれ点は、(0,0)と無限遠点、その自由部分群はrank 1で、生成元は、(1,-3)であることが計算できます。
よって、E1の有理点も全て決定することができて、フェルマーの「直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるための条件」の問題も解ける(解は無数にある)ことになります。
　http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/2x4m1.html　私は、この問題を以下の本で知りました。　Alf van der Poorten(著), 山口 周(訳),　"フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, p253, p134,p71, ISBN4-627-06101-3, {3800円}
　

Ｎ０9：2003年2月20日（木）昨日、県下の高校で特色化選抜試験が行われました。検査は学校独自問題または小論文問題に分かれています。「大垣南高校」は小論文問題です。ご覧ください。
　また、学校独自問題で気になる数学の問題がありました。「理系への数学　５月」の中にある問題が出ていました。これって　いいのって？　いう感じです。また、他校での三平方の定理を利用する問題も「別冊サイエンス　ひらめき思考　マ−チン・ガ−ドナ−日経サイエンス社」の中にある類似問題です。出典を明らかにせずにいいのかな？疑問。
帰宅後、第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「kashiwagi」さんから寄せられました。いつもありがとうございます。質問３の解答が大変うまいな手法で、「数学って美しなあ」と感動しました。見事に綺麗な形で解いてありました。
　実は、太郎さんが今回出した意図はきっと綺麗な解法があるのではないか　と　期待をしていたからです。　皆さん！素晴らしい解答ありがとう。
　　　

Ｎ０8：2003年2月18日（火）帰宅後、第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「ペンネーム　Ｔｏｒｕ」さんから寄せられました。ありがとうございます。質問３の解答が大変巧妙な工夫された式変形には、感激しました。
　さらに、図で補助線を引いての別解の２種類には驚いています。実際の受験生は一体どんな方法を思いついていたでしょうね。「Ｔｏｒｕ」さんに多大な感謝を申し上げます。
　　　　　　　　 　　　 　　　 　　

Ｎ０7：2003年2月17日（月）帰宅後、第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「ペンネーム　UnderBird」さんから初めて寄せられました。ありがとうございます。質問３の解答できれいな変形でした。感心しています。
　　　　　 　　　 　　　 　　

Ｎ０6：2003年2月15日（土）昨夜、第113回の応募問題で「スモークマン」さんから寄せられた「三角形の面積」の解答を更新しておきました。
　また、第114回の応募問題「垂足三角形」の解答を「H7K」さんから寄せられていました。感謝します。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　　　　 　　　 　　　 　　

Ｎ０5：2003年2月14日（金）特色化選抜入試の受付は１２時で終了しました。。定員５６名です。今年は２８１名の出願がありました。倍率は約５倍です。
第113回の応募問題で寄せられた「三角形の面積」の解答を載せておきます。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。
また、16日から応募します第114回の応募問題「垂足三角形」を更新しておきます。今年の大学入試問題です。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　　　　 　　　 　　　 　　

Ｎ０4：2003年2月13日（木）昨日から、特色化選抜入試の受付が始まっています。定員５６名です。昨年は３３０名の応募でした。明日が締め切りです。帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「中川幸一」さんから、７通りの解法で寄せられていました。感謝します。
　解１：タンジェントの加法定理、解２：ガウス平面、解３：相似と余弦定理の利用、解４：xy座標平面における格子点を考える、解５：辺BC側に1辺をABとする正方形ABFEを作る。解６：先程の【解５】の続きから考える。辺AEと辺FCの交点を点Gとする、解７：ベクトルの利用。以上の方法です。実に、多彩な解法が生まれてくるんだなーと感心しています。

Ｎ０3：2003年2月8日（土）第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「午年のうりぼう」さんから、初めて寄せられていました。感謝します。
　今までの第113回応募問題で寄せられた「解答者一覧」を更新しました。ご覧ください。

Ｎ０2：2003年2月7日（金）帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の問題を「Ｉｇａ」さんが「中学生」に紹介したところ、解答が届いていました。ありがとうございます。中学生からは少ない応募だから、嬉しく思います。以下、コメントです。
『中学３年生の選択数学の生徒にやらせてみました。「三平方の定理と相似を使うよ」や解の値の大きさに関するヒントは与えたものの、一人の生徒が正解を出しました。
　　 それも相似比を使わず、文字もｘ１種類だけで解いていました。解けないながらも取り組んだ生徒たちも、同様の傾向がありました。中学生にとっては、文字数が増えることや相似などの扱いや考え方がまだ苦手なのかなと思いました。』
　　 　

Ｎ０1：2003年2月6日（木）帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「ニースケンス］さんから届いていました。ありがとうございます。解法は、幾何の利用でした。
　今日の新聞には、国公立大学２次試験の出願数がでていました。前期日程で平均５．４倍の倍率です。狭き門っていう感じです。合格という栄冠を勝ち取るため頑張ってください。
　　

Ｎ０55：過去の「私の１日Ｎｏ55」平成14年12月27日〜平成15年2月6日のはここをクリック下さい。
ＮＯ1〜ＮＯ54までは過去の日記

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