令和４年４月３日

[流れ星]

　　第411回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：3月06日〜4月03日＞

［大垣八幡宮奉納算額4］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回は第4問題から第6問題までです。

第４問題

萌黄の正方形内に（図の如く）黒の正方形を作り、それの辺に１つの頂点を持つ4個の相等しい赤の正方形を描く。萌黄と黒の正方形の1辺の長さを知って赤の正方形の1辺の長さをも求めよ。（図４）

出題者　山田六兵衛以眞　　謹考

第５問題

円の1つの弦の両側に（図の如く）赤、青、黒円を容れる。青円と黒円の直径を知って赤円の直径を求めよ。（図５）

術文（答）　

赤径＝（黒径×青径）÷（黒径＋青径）

出題者　安藤勘次郎敬重　　　謹考

第６問題

直角三角形内に（図の如く）黄、赤、黒の半円を容れる。黄、赤円の直径を知って黒円の直径を求めよ。（図６）

出題者　　　藤田利八照房　　謹考

上の術文（答）にミスを指摘されましたので下記に訂正します。3月22日記

追加問題（ジョーカーさん提供）

「ジョーカー」 　03/06 　　20時28分 受信 更新 4/3

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第４問から第６問、の解答です

また、追加問題の解答です

「よふかしのつらいおじさん」03/21 22時06分 受信 更新 4/3

第４問題

●図のように萌黄、黒、赤の正方形の1辺の長さをそれぞれｍ、ｋ、ａとします。

●対角線ＡＤの長さを二通りで考えます。

・

・

ゆえに、

よって、

第５問題

●図のように円の中心をＯとします。

赤、青、黒の円の（中心）、（半径）をそれぞれ（Ａ、Ｂ、Ｋ）、（ａ、ｂ、ｋ）とします。

また、Ａから直径への垂線の足をＨとします。

円Ｏの半径は、ｋ＋ｂとなります。

●△ＯＡＢの三辺の長さは、ＯＡ＝ｋ＋ｂ−ａ、ＡＢ＝ａ＋ｂ、ＯＢ＝ｂ＋ｋ−ｂ＝ｋです。

また、ＢＨ＝ｂ−ａ

△ＯＡＢの余弦定理をもちいると、

よって、

第6問題

●図のように黄円、赤円、黒円の直径をそれぞれｙ、a、ｋとします。

△ＡＢＣ∽△ＰＨＡなので、

●（△ＡＢＣと黒色の半円）と（△ＰＱＲと黄色の半円）が相似の関係にあるので、

黒円の直径：ＡＢ＝黄円の直径：ＰＱです。

よって、

＜水の流れ：問題６の術文（答）が最初間違っていると指摘をうけ、その後、訂正しました。3月22日記＞

追加問題

(1)

●コサインの3倍角の公式は、

です。

●方程式を余弦の式を用いた式で表します。

3倍角の公式と見比べて、 とします。

よって、ｎを整数として、

として、

として、

よって、

ゆえに、

(2)

●

よって、増減表は、

グラフは、

●以上から曲線とｘ軸に囲まれた部分の面積の和Ｓは、

●（*）を計算するのに、使うことを確認します。

・(1)の解をαとすると、 です。

　例えば、

・余弦の2倍角の公式は、

・余弦の和や差を積に直す公式は、

●（*）の下線部は、

なので、他の部分も同様に変形して（*）は、

(#)の下線部に2倍角の公式を用いると、

「三角定規」　　　　03/24 20時17分　 受信 更新 4/3

寄せられた第４問から第６問までの解答です。

さらに、追加問題の解答

＜「三角定規」のコメント：追加問題も面白いですね。
この方程式はカルダノの公式で解くことが出来，
cos(2π/9), cos(4π/9), cos(8π/9) を使って表すことが出来ることは，
だいぶ以前に確認しておりましたが，こんな簡単な解法があることは今回計算して初めて知りました。
これまただいぶ以前（若い頃)，天体力学の教科書の中に
　3次方程式の実数一般解は三角関数で求まる
との記載があることは見ていたのですが，自身では未確認でした。
40年余年ぶりの再会でした。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。