令和４年1２月1１日

[流れ星]

　　第420回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：11月13日〜12月11日＞

［大垣八幡宮奉納算額13］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回で最後になります。第31問題から第32問題です。

ただし、第32問題は題意に不明な点がある故、紹介だけにする。

第31問題

　回転楕円（楕円を短軸のまわりに一回転してできる楕円体）に赤球を容れ、間に萌黄球を連らて容れる（楕円体と2箇所で接するように）。楕円の長径と短径を知って萌黄球の個数を求めよ。

表佐　清水伊藤治政英　謹考

第32問題

　球から楕円を穿去する。球径と楕円の長径を知って穿出された残りの体積の最大となるものを求めよ。

　

　術文（答）　題意に不明な点があり未解決　

＊＊　紹介のみにします。

追加問題１（ジョーカーさん提供）問題番号は前回から続きです。

追加問題２（ジョーカーさん提供）

NO1「ジョーカー」 　11/13 　　 12時13分 受信 更新 12/11

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第31問の解答です

また、寄せられた追加問題の解答です.

NO2「スモークマン」 11/14 14時48分　 受信 更新 12/11

追加問題2

(1)

(x-2)x(x+2)(x+4)+16

=(x^2+2x)(x^2+2x-8)+16

=(x^2+2x)^2-8(x^2+2x)+16

=(x^2+2x-4)^2

So…

与式=√(5+2025^2+2*2025-4)

=√(2025+1)^2

=2026

(2)

左辺の各項から√7を引くと…

(x+√(7*2023))/(√2023+1)-√7=(x-√2023)/(√2023+1)

全ての項は(x-√(7*2023))で括れ…

(x-√(7*2023)){1/(√2023+1)+1/(√2023+2)+…+1/(√2023+2023)}=0

So…

x=√(7*2023)=√(7^2*17^2)=7*17=119

「スモークマン」 11/15 20時26分　 受信 更新 12/11

追加問題１

NO3「よふかしのつらいおじさん」11/22 20時52分 受信 更新 12/11

第31問題

●楕円体を長軸と短軸を含む平面で切ります。

平面上に座標軸をとり、長軸をｘ軸、短軸をｙ軸と重ねます。

このとき、平面内の楕円と赤円の方程式を次のように表します。

・楕円：

・赤円：

●萌黄球の直径がｘ軸と重なるように1個入れます。

このとき、この平面内の円の方程式を次のように表します。

楕円とこの円を連立させます。

(*)が判別式 のとき、重解は、 です。

このxの最大値は、aです。

(*)の判別式を調べます。

判別式の値が0となるのは、黄色の部分なので、 です。

この2つの式を等しいとすると、

aとbが等しいと楕円ではありません。

・ のとき、萌黄円と楕円は2点で接します。

・ のとき、萌黄円と楕円は1点で接します。

よって、 の場合を考えます。

(萌黄円と楕円が2点で接するか、1点で接するかは解答に関係ないようです)

●この後は、Jokerさんが示してくれた定理をもとに考えます。

「円の周の長さを内接する正ｎ角形の1辺の長さで

割った商は、ｎである」と解釈します。

●初めに示した図のｙ軸の正のところに目をおいて楕円体をみた図を考えます。(下の図)

萌黄球は、太い青円の上に中心を置いて並びます。

青円の半径ｒは、

青円の周ｓは、

図のＰＱが青円に内接する多角形の1辺ｈとすると、

よって、ｓとｈの比をとって、萌黄球の個数ｎは、

もし、正ｎ角形の頂点の上に萌黄球の中心があれば問題ありません。

萌黄球を入れていってｎ＋1番目が1番目の萌黄球と重なる場合は中心を結ぶと、ｎ＋1角形になります。

もし、ピッタリ正ｎ＋1角形になる場合は、(#)の値は、ｎ＋1になります。

しかし、重なる場合は、ｈが正ｎ＋1角形のときより大きいので(#)の値はｎ＋1になりません。

追加問題1

●それぞれの円の半径を、甲：ｐ、乙：ｑ、丙：ｒとします。

●

・直角三角形ＡＢＣに三平方の定理を使います。

・直角三角形ＤＥＢに三平方の定理を使います。

・直角三角形ＥＦＧに三平方の定理を使います。

追加問題2

１　

●和と差の積の形に直します。

２

●

・ です。

・ とおきます。

●

この値が なので、

NO4「三角定規」　　　　12/10 20時29分 受信 更新 12/11

寄せられた問題31と追加問題の解答です

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。