令和５年５月２８日
[流れ星]
第426回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：4月30日〜５月28日＞
［2023問題］
問題１
（１）20232023 を19で割った余りを求めよ。
（２）20232023 を323で割った余りを求めよ。
（３）182023＋202023を361で割った余りを求めよ
追加問題１（出題者は「ジョーカー」）
第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」
シリーズの第7問目になります。
追加問題２（出題者は「ジョーカー」）
NO1「ジョーカー」 04/30
20時18分 受信 更新 5/28
寄せられた問題の解答です
NO2「スモークマン」 05/01
20時57分 受信 更新 5/28
問題１
（１）20232023 を19で割った余りを求めよ。
（２）20232023 を323で割った余りを求めよ。
（３）182023＋202023を361で割った余りを求めよ。
(1)
φ(19)=18
2023/18=112…7
2023^2023
≡2023^7
≡9^7 ∵2023/19=106…9
≡5^3*9 ∵9^2=81≡5 (mod 19)
≡6*5*9≡99 ∵5^2≡6 (mod 19)
≡4
(2)
323=19*17
2023/17=119…0
So…
2023^2023=19k+4=17m
m=k+(2k+4)/17
k=17t+15
m=17t+15+2t+2=19t+17
so…17*(19t+17)=17*19t+17^2
so…17^2=289 (mod 323)
(3)182023＋202023を361で割った余り
361=19^2
So…
18^2023+20^2023
=(19-1)^2023+(19+1)^2023
≡2*19*(1+2023C1+2023C3+…+2023C2023) ∵19^2の項が消えて、1+19^奇数*1^偶数が残る
=2*19*2(^2022+1)
φ(19^2)=361-19=342
2022/342=5…312
So…
≡2*19*313
≡342 (mod 361) ∵2*19*313/361=32+18/19=106+342/361
「スモークマン」 05/02 16時56分 受信 更新 5/28
追加問題１
＜水の流れ：甲乙丙いずれもこちらの答えと同じではありません。再考を頂ければ幸いです＞
NO3「kasama」
05/07
01時28分 受信 更新 5/28
追加問題の(3)です。数式の各項目を平面上の２点間の距離に対応させて、始点・終点を繋げて、各点が同一線上に並べるやり方で取り組みました。数式の各項目の始点・終点が明確に区別できないケースがあって、場合分けをやって、
(0,0)⇒(x,1)⇒(2,11-y)⇒(3,11-z)⇒(5-w,11)⇒(5,12)
と繋げた点列が最小値13とはじき出しました。一応、微分して確かめたので、答え自体は合っていると思います。ただ、（単純ではあるものの）場合分けの数が多くて、無理矢理答えを出しているようで、まったくしっくりきません。もっとシンプルなやり方はないものかと考えを巡らせております。
寄せられた問題の解答です
「kasama」
05/14
22時51分 受信 更新 5/28
三次元空間の立方体の展開図に引かれた線分の長さで考えてみました。直接点列を平面に繋げていくよりも、三次元空間の方が次元が大きい分だけ（自由度が増すので）、扱い易くなりました。とは言え、追加問題(3)は難しいと思います。もっとシンプルにやる方法はあろうかと思いますが、答えに辿り着いたので、解答をお送りします。
再考された解答です
No4「よふかしのつらいおじさん」5/09
08時40分 受信 更新 5/28
問題1
(1)
なので、
以下 
で考えます。
以上から、
よって、
を19で割った余りは、4です。
(2)
です。
なので、
以下 
で考えます。
以上から、9乗ごとに余りが繰り返されます。
よって、
を323で割った余りは、289です。
(3)
です。
以下 
で考えます。
よって、
を361で割った余りは342です。
追加問題1
●円甲、乙、丙の半径をそれぞれ、ｋ、ｔ、ｈとします。
直角三角形ＯＱＫに三平方の定理を用いると、
直角三角形ＯＱＴに三平方の定理を用いると、
よって、
円甲の半径は
、乙の半径は
です。
●図の 
とします。
です。
△ＯＱＨに余弦定理を用いると、
△ＯＨＫに余弦定理を用いると、
(1)、(2)より、
よって、円丙の半径は、
です。
追加問題2
(1)
は、
第1項が 点
と点 
、
第2項が 点 と点 
、
第3項が 点 と点 
との距離です。
よって最小値は、線分ＡＤの距離です。
となります。
ｘは、Y＝0として、
より 
ｙは、X＝0として、
より 
(2)
は、
第1項が 点
と点 、
第2項が 点 と点 
、
第3項が 点 と点 
、
第4項が 点 と点 E
との距離です。
よって最小値は、線分ＡＥの距離です。
となります。
直線ＡＥは、
なので、
ｘは、Y＝0として、
より 
ｙは、Y＝3として、
より 
ｚは、Y＝4として、
より 
「よふかしのつらいおじさん」5/10 22時37分 受信 更新 5/28
追加問題２ 再考の解答です。
(2)
は、
第1項が 点 と点 、
第2項が 点 と点 、
第3項が 点 と点 、
第4項が 点 と点 E との距離です。
よって最小値は、線分ＡＥの距離です。
となります。
直線ＡＥは、 なので、
ｘは、Y＝0として、 より
ｙは、Y＝3として、 より
ｚは、Y＝4として、 より
■
左図の直方体の辺上に各点を取ります。
直線ＡＢで切り開いて、展開したのが右図です。
最短が赤線です。
(3)
●
第1項 (第5項) は、ｗ＝0 (ｘ＝0) のとき、最小となります。
第2項 (第4項) は、ｗ＝2 (ｘ＝2) のとき、最小となります。
(ｙやｚが一定として)
※
第1項と第2項 (第5項と第4項) の和の最小は、0＜ｗ＜2 (0＜ｘ＜2) の範囲にありそうです。
第2項は (第4項) は、ｚ＝0 (ｙ＝10) のとき、最小となります。
(ｘやｗが一定として)
※
第2項、第3項、第4項の和の最小は、変数が0と10の間のときになりそうです。
第3項は、ｙ＝ｚのとき、最小となります。
ｚが0から少しずつ増加すると、第2項は少しずつ増加します。
ｙが10から少しずつ減少すると、第4項は少しずつ増加します。
ｚの増加とｙの減少のペースが同じだとそれぞれ5のとき等しくなります。
●
変数ｗは、第1項と第2項に含まれ、第3、4、5項には関係ありません。
第1項と第5項は同じ形をしています。
ｚやｙを一定とみれば、第2項と第4項は同じ形をしています。
第1項と第2項 (第5項と第4項) の和の最小を考えます。
として、ｆ(ｗ)の最小を調べます。
Ａ(＝ｚ)＞0、ｗ＞0 として考えます。(Ａは5の近辺を考えます)
の分母は正なので、分子を調べます。
灰色の方の解は捨てます。
のとき最小値をとります。
●
ｚの増加、ｙの減少のペースが同じとして、第2項、第3項、第4項の和の最小を考えます。
第2項と第4項はこの条件のときは同じ値をとります。
5を中心として、この2式は対称の関係にあります。
それで、第3項を半分にして考えます。(Ｂ＝2−ｗ とします)
第2項の値と第3項の値の半分の和を調べ、倍にすると考えます。
として、ｆ(ｚ)の最小を調べます。
Ｂ＞0、5＞z＞0 として考えます
の分母は正なので、分子を調べます。
Ｂは1より少し大きいので、灰色の解は捨てます。
のとき、最小になります。
●最小は、Ｂ＝2−Ｗ、Ａ＝Ｚを連立させて、
以上から、
より最小値は、
■
図の赤線の長さを求めると考えるのが早いです。
直方体の辺上の点を繋いでいくというのはなかなか思いつきません。
勉強になりました。
NO5 「三角定規」 05/27
20時16分 受信 更新 5/28
寄せられた問題の解答です
「三角定規」さんからのコメントです。
問題１の(1)は二項定理を用いて何とか解き，[答]４ は得たのですが，すごい手間でした。ご常連の方々の美しい解答で学びたいと思います。
追加問題２も何とか解いたのですが，ワープロが間に合いませんでした。
「水の流れ」 更新 5/28
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
