令和５年９月１７日

[流れ星]

　　第430回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：８月13日〜９月17日＞

［双心四角形］

　「双心四角形」とは外接円と内接円を持つ四角形をいう。

問題　

四辺の長さがＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＤＡ＝ｄである双心四角形とき, 次の設問の答えをａ，ｂ，ｃ，ｄで表せ。

また,（７）を証明せよ。

（１）ＡＣ＝e，ＢＤ＝ｆとして,e,ｆの値をそれぞれ求めよ。

（２）e×ｆの値を求めよ。

（３）四角形ＡＢＣＤの面積Ｓを求めよ。

（４）対角線ＡＣ，ＢＤのなす角θのsinθの値を求めよ。

（５）四角形ＡＢＣＤの内接円Ｉの半径ｒを求めよ。

（６）四角形ＡＢＣＤの外接円Ｏの半径Ｒを求めよ。

（７）（ｅｆ）^２＝４ｒ^２（ｅｆ＋４Ｒ^２）を証明せよ。

　出典　上の（７）は「聖なる数学・算額」森北出版　深川」英俊著

　　寛政７（1795年）年に掲げた善光寺の算額の2番目から

　　　

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

　第427回からの「確率等」の問題シリーズの４問目です。

　

　第１番から第ｎ番までの番号のついたｎ個の袋がある。一般に第ｋ番目の袋にはｋ個の赤球と（ｎ―ｋ）個の白球が入れてある。

（１）第ｋ番目の袋から無作為に１球ずつ５回球を取り出す。ただし, １回ごとに球を袋に戻すものとする。このとき , 赤球が4回 , 白球が１回出る確率を求めよ。

（２）ｎ個の袋のうちの１袋を無作為に選んで , その袋から１球ずつ5回球を取り出す。ただし , １個ごとに球をその袋に戻すものとする。このとき , 赤球が４個 , 白球が1回でる確率はｎが極めて大きいときどのような値に近いか。

NO1「ジョーカー」 　08/13 19時26分 受信 更新 9/17

寄せられた問題の解答です

NO2「スモークマン」 08/16 23時48分　 受信 更新 9/17

（１） 第ｋ番目の袋から無作為に１球ずつ５回球を取り出す。ただし, １回ごとに球を袋に戻すものとする。このとき , 赤球が4回 , 白球が１回出る確率を求めよ。

k番目の袋には

赤球 k個、白球 n-k個

So…

5C1*(k/n)^4*(n-k)/n

=5*k^4*(n-k)/n^5

（２） ｎ個の袋のうちの１袋を無作為に選んで , その袋から１球ずつ5回球を取り出す。ただし , １個ごとに球をその袋に戻すものとする。このとき , 赤球が４個 , 白球が1回でる確率はｎが極めて大きいときどのような値に近いか。

(1/n^6)Σ[k=1,n]k^4*(n-k)

=(1/n^6)Σn*k^4-k^5

=(1/n^6) {nΣk^4-Σk^5}

(k+1)^5-k^5

=(k+1)^4+(k+1)^3*k+(k+1)^2*k^2+(k+1)*k^3+k^4

So…

(n+1)^5=5Σk^4+…

So…

Σk^4=(n+1)^5/5+…

(k+1)^6-k^6

=((k+1)^3-k^3)((k+1)^3+k^3)

=((k+1)^2+k(k+1)+k^2))(2k+1)((k+1)^2-k(k+1)+k^2)

=(3k^2+…)(2k^3+…)

So…

k^5=(n+1)^6/6+…

So…

(1/n^6) {nΣk^4-Σk^5}

=(1/n^6){n(n+1)^5/5-(n+1)^6/6}

So…

lim[n→∞] (1/n^6){n(n+1)^5/5-(n+1)^6/6}

=1/5-1/6

=1/30

「スモークマン」 08/24 17時11分　 受信 更新 9/17

(1)

余弦定理より

e^2=a^2+b^2-2ab*cosB=c^2+d^2+2cd*cosB

cos B=(a^2+b^2-c^2-d^2)/((2(ab+cd))

so…

=a^2+b^2-2*a*b*(a^2+b^2-c^2-d^2)/((2(ab+cd))

=(ad+bc)(ac+bd)/(ab+cd)

f^2=b^2+c^2-2*b*c*cosC=a^2+d^2+2a*d*cosC

cosC=(b^2-a^2+c^2-d^2)/(2(ad+bc))

so…

f^2

= a^2+d^2+2a*d*(b^2-a^2+c^2-d^2)/(2(ad+bc))

=(ac+bd)(ab+cd)/(ad+bc)

結局、

e=√{(ad+bc)(ac+bd)/(ab+cd)}

f=√{(ac+bd)(ab+cd)/(ad+bc)}

(2)

トレミーの定理より

ef=ac+bd

上の結果からも、

√{(ad+bc)(ac+bd)* (ac+bd)(ab+cd)}/(ab+cd)} =ac+bd

(3)

ブラーマグプタの定理より

a+b+c+d=2sとすると、

S=√{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

ここで、a+c=b+d=s

なので、

S=√(a*b*c*d)

NO3「kasama」 08/18 17時32分　 受信 更新 9/17

寄せられた問題の解答です

NO4「よふかしのつらいおじさん」9/14 17時06分 受信 更新 9/17

・双心四角形ABCDは、外接円を持つことから、対角の和が180度です。

∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180度

・双心四角形ABCDは、内接円を持つことから、対辺の和が等しいです。

ａ＋ｃ＝ｂ＋ｄ

(1)

●△BCAに余弦定理を用いて、

△DACに余弦定理を用いて、

なので、(1)、(2)の右辺の和は、0です。

●△ABDに余弦定理を用いて、

△CDBに余弦定理を用いて、

なので、(3)、(4)の右辺の和は、0です。

(2)

●(1)の結果から、

ａで整理して、

根号内の割り算をすると割り切れて、

(3)

●

●△ABCに余弦定理を用いると、

(1)より、eを代入すると、

なので、

よって、

●これを(5)に入れて、

(4)

●図のように、ｅ、ｆに平行で四角形ＡＢＣＤの頂点を通る補助線を引くと、

四角形ＫＬＭＮの面積は、 で、四角形ＡＢＣＤの2倍です。

よって、

(2)の結果を使って、

(5)

●四角形ABCDの面積 なので、

(6)

●△BCAに正弦定理を用いると、外接円の半径をRとして、

(1)より、

(3)より、

なので、

(7)

右辺の を計算してみます。

そのとき、 を意識します。

まず、事前にｒとＲについて、考えます。

双心四角形なので、 とします。

ｒは、

次にＲの、根号内を調べます。

平方の和は、

平方の逆数の和は、

これらをRに入れると、

これらを(*)に入れると、

となり、左辺と同じになりました。

NO5「三角定規」　9/15 19時09分 受信 更新 9/17

寄せられた問題の解答です。

「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　　　　 更新 9/17



出典　上の（７）は「聖なる数学・算額」森北出版　深川」英俊著

　　寛政７（1795年）年に掲げた善光寺の算額の2番目から

原文を掲載します。

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