令和５年１１月１２日

[流れ星]

　　第432回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：10月15日〜11月12日＞

［正の平方根の値(1)］

　

問題１＜2019年名古屋大学の入試問題の類題＞

　数ｎを自然数とする。正の平方根√ｎは整数でなく, それを10進法で表すと, 小数第1位は0であり, 第2位は0以外の数である。

（１）このようなｎの中で最小な自然数ｎを求めよ。

（２）このようなｎを小さい順に並べたとき, 100番目の自然数ｎを求めよ。

（３）ｎ＝2026のとき, 上の条件を満たすが, ｎを小さい順に並べたとき, 何番目かを求めよ。

問題２＜類題＞

　数ｎを自然数とする。正の平方根√ｎは整数でなく, それを10進法で表すと, 小数第1位と第2位は0であり、第3位は0以外の数である。このようなｎの中で最小な自然数ｎを求めよ。

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

　第427回からの「確率等」の問題シリーズの６問目です。

　　

　

追加問題２（出題者は「ジョーカー」）

NO1「ジョーカー」 　10/15 　　 13時38分 受信 更新 11/12

寄せられた問題の解答です

NO2「スモークマン」 10/19 22時53分　 受信 更新 11/12

結構ややこしいけど面白い問題ですね ^^;

前半の方だけ気づけた気が...

問題１＜2019年名古屋大学の入試問題の類題＞

　数ｎを自然数とする。正の平方根√ｎは整数でなく, それを10進法で表すと, 小数第1位は0であり, 第2位は0以外の数である。

（１） このようなｎの中で最小な自然数ｎを求めよ。

(m+1/100)^2<=n<(m+1/10)^2

m^2+m/50+1/10000<=n<m^2+m/5+1/100

右辺で考えた方が mは小さいものが見つかる…

So…

m=5k+1〜4

(5+0)^2+1

(5+1)^2+1

(5+2)^2+1

(5+3)^2+1

(5+4)^2+1

つまり...

((5k+(0〜4))^2+k

最小値=(5*1+0)^2+1=26　　・・・正解

（２） このようなｎを小さい順に並べたとき, 100番目の自然数ｎを求めよ。

100/5=20

So…(5*20+4)^2+1=10817

So…(5*20+4)^2+1=10817

＜水の流れ：　5個ずつにはなっていません。最初は5個　、次は10個　15個　20個　・・・に出てきます。　＊＊＊不正解＞

（３） ｎ＝2026のとき, 上の条件を満たすが, ｎを小さい順に並べたとき, 何番目かを求めよ。

45<√2026<46

(5*9+0)+1…5*8+1=41番目

＜水の流れ：不正解＞

問題２＜類題＞

　数ｎを自然数とする。正の平方根√ｎは整数でなく, それを10進法で表すと, 小数第1位と第2位は0であり、第3位は0以外の数である。このようなｎの中で最小な自然数ｎを求めよ。

n<(m+1/100)^2=m^2+m/50+1/10000

m=(50k+(0〜49))^2+1

so…50^2+1=2501　　・・・正解

「スモークマン」 10/26 12時29分　 受信 更新 11/12

来年の学会抄録滑り込みセーフで済んだので再考してみました。。。

（１） このようなｎの中で最小な自然数ｎを求めよ。

n<(m+1/10)^2

n<m^2+m/5+1/100

So…

(5(k+(0〜4))+(0〜4))^2+1

k>=1

5k+(0〜4)

5(k+1)+(0〜4)

5(k+2)+(0〜4)

5(k+3)+(0〜4)

5(k+4)+(0〜4)

So…

Min{n}=5^2+1=26　　・・・正解

（２） このようなｎを小さい順に並べたとき, 100番目の自然数ｎを求めよ。

100/25=4

(5*(4+4)+4)^2+1=44^2+1=1937

（３） ｎ＝2026のとき, 上の条件を満たすが, ｎを小さい順に並べたとき, 何番目かを求めよ。

(5(k+a)+b)^2+1=2026

(5(k+a)+b=√(2026-1)=45

45-0

5*9+0

So…

8*25+1=201番目

ちなみに...友人からのものは...

(1)26

(2)1157

(3)181

添付します。　　　すべて正解

追加問題２（出題者は「ジョーカー」）

432回追加２

S(1)=-{1+3+5+…+(2n-1)}=-n^2　・・・正解

x^2の係数=S(2)

S(2)

=1*(3+5+…+(2n-1))+3*{5+7+…+(2n-1)}+…+(2n-3)(2n-1)

={(1+3+5+…+(2n-1))^2-(1^2+3^2+…+(2n-1)^2)}/2

={n^4-(2n*(2n+1)(4n+1)/6-4*n(n+1)(2n+1)/6)}/2

=n(n-1)(3n^2-n-1)/6　　　・・・正解

x^3の係数=S(3)

S(3)

=-{(1+3+5+…+(2n-1))^3-(1^3+3^3+…+(2n-1)^3)-3*(1^2*(S(1)-1)+3^2*(S(1)-3)+…+(2n-1)*(S(1)-(2n-1)))/3!

=-(n^6-(4((2n(2n+1)/2)^2-4*(n(n+1)/2)^2)-3*n^4+n^2)/6

=-n^2(n^4-9n^2-8n-1)/6　　・・不正解

S(4)が何回計算しても、整数にならないので...under consideration です...^^;

「スモークマン」 10/29 18時18分　 受信 更新 11/12

f’’’(x)

=( f’’(x))’

=(-f’(x){ 1/(1-x)+3/(1-3x)+…+(2n-1)/(1-(2n-1)x)}

-f(x){1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2})’

=-f’’(x) { 1/(1-x)+3/(1-3x)+…+(2n-1)/(1-(2n-1)x)}

-f’(x){1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-f’(x) {1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-2f(x){1^3/(1-x)^3+3^3/(1-3x)^3}+…+(2n-1)^3/(1-(2n-1)x)^3}

So…

f’’’(0)=-f’’(0)*n^2

-2f’(0)*(1/3)n(2n-1)(2n+1)

-2f(0){Σ[k=1,2n]k^3-8Σ[k=1,n]k^3}

=-f’’(0)*n^2-2f’(0)* (1/3)n(2n-1)(2n+1)-2*{((2n(2n+1)/2)^2-8(n(n+1)/2)^2)

=-(1/3)n(n-1)(3n^2-n-1)*n^2-2(-n^2)* (1/3)n(2n-1)(2n+1)-2n^2(2n^2-1)

=-n^2(n-1)(n-2)(n^2-n-1)

So…

S(3)=(-1/6) n^2(n-1)(n-2)(n^2-n-1) 正解です

f””(x)

=(f’’’(x))’

=(-f’’(x) { 1/(1-x)+3/(1-3x)+…+(2n-1)/(1-(2n-1)x)}

-f’(x){1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-f’(x) {1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-2f(x){1^3/(1-x)^3+3^3/(1-3x)^3}+…+(2n-1)^3/(1-(2n-1)x)^3})’

=-f’’’(x) { 1/(1-x)+3/(1-3x)+…+(2n-1)/(1-(2n-1)x)}

-f’’(x){1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1))^2}

-f’’(x) {1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-2f’(x){1^3/(1-x)^3+3^3/(1-3x)^3+…+(2n-1)^3/(1-(2n-1)x)^2}

-f’’(x) {1^2/(1-x)^2+3^2/(1-3x)^2+…+(2n-1)^2/(1-(2n-1)x)^2}

-2f’(x){1^3/(1-x)^3+3^3/(1-3x)^3+…+(2n-1)^3/(1-(2n-1)^3)

-2f’(x) {1^3/(1-x)^3+3^3/(1-3x)^3}+…+(2n-1)^3/(1-(2n-1)x)^3}

-6f(x){1^4/(1-x)^4+3^4/(1-3x)^4+…+(2n-1)^4/(1-(2n-1)x)^4}

So…

4!S(4)

=f””(0)

=-f’’’(0)*n^2

-3f’’(0){1^2+3^2+…+(2n-1)^2}

-6f’(0){1^3+3^3+…+(2n-1)^3}

-6f(0){1^4+3^4+…+(2n-1)^4}

=n^2(n-1)(n-2)(n^2-n-1)*n^2

-n(n-1)(3n^2-n-1)* (1/3)n(2n-1)(2n+1)

+6(n^2)*n^2(2n^2-1)

-6*1*{Σ[k=1,2n]k^4-16Σ[k=1,n]k^4}

= n^2(n-1)(n-2)(n^2-n-1)*n^2

-n(n-1)(3n^2-n-1)*(1/3)n(2n-1)(2n+1)

+6n^2*n^2(2n^2-1)

-6*(2n(2n+1)(4n+1)(12n^2+6n-1)-16n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1))/30

=(1/3)n^2(3n^6-24n^5+64n^4+6n^3-32n^2+1)

+(1/3)n^2(3n^6-24n^5+64n^4+6n^3-32n^2+1)

=(2/3)n^2(3n^6-24n^5+64n^4+6n^3-32n^2+1)

So…

S(4)

=(1/36) n^2(3n^6-24n^5+64n^4+6n^3-32n^2+1)・・・これは整数にならないものがあるので間違ってるんだけど、どこがおかしいのか分かりません...Orz

＜水の流れ：あまり無理しないでください＞

NO3「kasama」 10/20 23時00分　 受信 更新 11/12

寄せられた問題の解答です

NO4「よふかしのつらいおじさん」10/31 22時29分 受信 更新 11/12

「よふかしのつらいおじさん」11/05 21時58分 受信 更新 11/12

追加問題2のｘの4乗の係数を考えていて、誤りに気づきました。

ｘの1乗の係数が計算ミスをしていました。

ｘの3乗の係数は、因数分解しておきました。

ｘの4乗は間に合えばあとで送ります。

問題1

●平方数の平方根の小数部分は、すべての数字が「0」です。

小数第1位が「0」ということは、平方数より少し大きな数の平方根だと考えます。

次の式を考えます。

ｋは、mに比べ小さな整数とします。

「0.0α」は、小数第2位以下をまとめて表したものとします。

例えば、「0.0123456789･･･」を「0.0α」と表記するということです。

「」の部分について考えます。

例えば、、 です。

「」に対し「」の値は、最初の例は9.9％、次の例は1.1％です。

つまり1割にもなりません。

そこで、大まかなことを知るために、「」を省略して、

という式を考えます。

●少し様子をみます。

〇ｋ＝1、 0.0α＝0.025 としてみると、

つまり、

ですが、

のように、0.0α＝0.025の場合、整数部分が少なくとも20でないと、

平方したときの整数部分が1増えません。

次に、ｋ＝1、 0.0α＝0.05 としてみると、

つまり、

ですが、

当然のことながら、αが大きくなるとｍは小さくなります。

〇ｋ＝2、 0.0α＝0.025 としてみると、

つまり、

ですが、

ｋ＝1、 0.0α＝0.0125 としてみると、

つまり、

ですが、

つまり、ｋが2以上のとき、1／ｋ倍のαの小数第2位が0でなければ、

、、･･･、

の平方根の小数第1位は0、小数第2位は0以外の数字となります。

●効率よく探すためになるべく大きなαで考えます。

・ｋ＝1、α＝0.0999･･･(＝0.1)のとき、

・ｋ＝2、α＝0.1のとき、

・ｋ＝3、α＝0.1のとき、

・ｋ＝4、α＝0.1のとき、

・ｋ＝5、α＝0.1のとき、

・ｋ＝6、α＝0.1のとき、

・ｋ＝7、α＝0.1のとき、

・ｋ＝8、α＝0.1のとき、

・ｋ＝9、α＝0.1のとき、

・ｋ＝10、α＝0.1のとき、

この結果から、条件を満たすｎを小さい順にリストしていくと、

・まず、ｋ＝1のグループ

　･･･

の5個

・次に、ｋ＝2のグループ

、

、

　･･･

、

の10個(ここまでで計15個)

・さらに、ｋ＝3のグループ

、 、

、 、

　･･･

、 、

の15個(ここまでで計30個)

このような状態になります。

個数を表にしてみると、

(1)最小のｎ＝26

(2)100番目のｎは、ｋ＝6のグループにあります。

並べてみると、76番目からは、

901, 902, 903, 904, 905, 906,

962, 963, 964, 965, 966, 967,

1025,1026,1027,1028,1029,1030,

1090,1091,1092,1093,1094,1095,

1157,1158,1159.1160,1161,1162

数えて、100番目は、1157です。

(3)表より、2026は181番目です。

問題2

問題1と同様に考えて、次の式を考えます。

ｋ＝1、0.00α＝0.00999･･･＝0.01として、

よって、ｎ＝50×50＋1＝2501

追加問題2

次のΣの公式を使います。

●考えやすいように次の5個の場合の式を展開してみます。

●ｘの係数は、符号がマイナスでｎ個の奇数の和です。

●ｘの2乗の係数は、

左下がりの斜めに見てみると、

(右の奇数が3から始まり最後まで)×(左の奇数が1から始まり右の奇数の前まで)

●ｘの3乗の係数は、マイナスを省いて見てみると、

中カッコ「｛　｝」ごとに上の問と同様に見てみると、

(左の奇数は1から始まりn−2個)×(右の奇数は5から始まり最後まで)×(左の次の奇数から右の手前の奇数まで)

なので、

よって、

●ｘの4乗の係数は、パスします。

●ｘのｎ乗の係数は、奇数のｎ個の積で、符号は奇数個のときがマイナスなので、

NO5「三角定規」　　　　11/04 21時39分 受信 更新 11/12

寄せられた問題の解答です。

さらに、エクセルでけ係数を求めてありました。

	n	x の係数	x^2 の係数	x^3 の係数	x^4 の係数
	1	-1	0	0	0
	2	-4	3	0	0
	3	-9	23	-15	0
	4	-16	86	-176	105
	5	-25	230	-950	1689
	6	-36	505	-3480	12139
	7	-49	973	-10045	57379
	8	-64	1708	-24640	208054
	9	-81	2796	-53676	626934
	10	-100	4335	-106800	1646778

「よふかしのつらいおじさん」11/0７ 12時05分 受信 更新 11/12

Σの計算はするきにならないので方程式で解きました。

●なるべく楽に、ｘの4乗の係数を求めます。

項の個数ｎの多項式で求められるとして考えます。

まず、これまでの結果をみます。

・1乗　→　

・2乗　→　

・3乗　→　

べき乗の2倍の次数の多項式です。

べき乗より少ない次数の係数は0となっています。

これより、4乗の係数Fを、次のように考えます。

●実際に を展開します。

●Fの式にｎ＝4から8を代入して、連立方程式を作ります。

ｅを消去します。

ｄを消去します。

ｃを消去します。

ｂを消去します。

よって、

これをＦの式にもどして、

試しに、ｎ＝9とすると、

となり実際の展開と一致します。

NO5「三角定規」　　　　11/04 21時39分 受信 更新 11/12

寄せられた問題の解答です

NO6「二度漬け白菜」」　11/09 15時39分 受信 更新 11/12

(追加問題 2 の解答):

F(n,x)=Π[j=1..n](1-(2*j-1)*x) とし，F(n,x)を展開したときの x^k の係数

を a(n,k) とする．

(答)

a(n,1)=-n^2,

a(n,2)=n*(n-1)*(3*n^2-n-1)/6,

a(n,3)=-n^2*(n-1)*(n-2)*(n^2-n-1)/6,

a(n,4)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(15*n^4-30*n^3-25*n^2+12*n+7)/360,

a(n,n)=(2*n)!/(n!*(-2)^n). 

(証明)

まず，a(n,1),a(n,n) は次のような計算で求めることができる．

a(n,1)=-Σ[j=1..n](2*j-1)=-n^2.

a(n,n)

=Π[j=1..n](-(2*j-1))

=(-1)^n*(2*n)!/(2*4*…*(2*n))

=(2*n)!/(n!*(-2)^n).

次に，a(n,2),a(n,3),a(n,4)が次式で書けることを n に関する帰納法で示す．

a(n,2)=n*(n-1)*(3*n^2-n-1)/6 ---(1)

a(n,3)=-n^2*(n-1)*(n-2)*(n^2-n-1)/6 ---(2)

a(n,4)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(15*n^4-30*n^3-25*n^2+12*n+7)/360 ---(3)

F(n+1,x)=(1-(2*n+1)*x)*F(n,x) であるので，両辺のx^(k+1)の係数を比較

することによって次の漸化式が成り立つことがわかる．

a(n+1,k+1)=a(n,k+1)-(2*n+1)*a(n,k) ---(★)

n=1 のときには，(1),(2),(3)は正しい．

n=N のときに(1),(2),(3)が正しいと仮定する．

このとき，

a(N+1,2)

=a(N,2)-(2*N+1)*a(N,1) (∵(★)) 

=N*(N-1)*(3*N^2-N-1)/6-(2*N+1)*(-N^2)

=(N+1)*N*(3*(N+1)^2-(N+1)-1)/6.

よって， (1)は n=N+1 のときにも正しい．

a(N+1,3)

=a(N,3)-(2*N+1)*a(N,2) (∵(★)) 

=-N^2*(N-1)*(N-2)*(N^2-N-1)/6-(2*N+1)*N*(N-1)*(3*N^2-N-1)/6

=-(N+1)^2*N*(N-1)*((N+1)^2-(N+1)-1)/6.

よって， (2)は n=N+1 のときにも正しい．

a(N+1,4)

=a(N,4)-(2*N+1)*a(N,3) (∵(★)) 

=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*(15*N^4-30*N^3-25*N^2+12*N+7)/360-(2*N+1)*(-N^2*(N-1)*(N-2)*(N^2-N-1)/6)

=(N+1)*N*(N-1)*(N-2)*(15*(N+1)^4-30*(N+1)^3-25*(N+1)^2+12*(N+1)+7)/360.

よって， (3)は n=N+1 のときにも正しい．

以上よりすべての正整数 n に対して，(1),(2),(3)は正しい．(証明終)

一般の正整数 k に対して，a(n,k) は次の計算式で計算できます．

a(n,k)=(-1)^k*binomial(n,k)+Σ[p=1..k]Σ[h=0..p]Σ[r=0..h]2^p*(-1)^(k+r)*(r-h)^(p+h)*binomial(n-p,k-p)*binomial(n-1+h,p+h)*binomial(n+p,p-h)/(r!*(h-r)!).

第一種スターリング数 stirling1(n,k)を使えば，次のようにも書けます．

a(n,k)=(-1)^k*Σ[j=0..k](-2)^j*(n-j)!*stirling1(n,n-j)/((n-k)!*(k-j)!).

(stirling1(n,k)は x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*…*(x-n+1)を展開したときのx^kの係数) 

a(n,5)〜a(n,10)を計算してみました．

a(n,5)=-n^2*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(3*n^4-10*n^3-5*n^2+12*n+7)/360,

a(n,6)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(63*n^6-315*n^5+721*n^3+294*n^2-205*n-93)/45360,

a(n,7)=-n^2*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(9*n^6-63*n^5+42*n^4+217*n^3-205*n-93)/45360,

a(n,8)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7)*(135*n^8-1260*n^7+1890*n^6+5460*n^5-4235*n^4-11180*n^3-2866*n^2+2912*n+1143)/5443200,

a(n,9)=-n^2*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7)*(n-8)*(15*n^8-180*n^7+450*n^6+812*n^5-1883*n^4-2980*n^3+854*n^2+2912*n+1143)/5443200,

a(n,10)=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)*(n-6)*(n-7)*(n-8)*(n-9)*(99*n^10-1485*n^9+5445*n^8+5082*n^7-33033*n^6-31075*n^5+55407*n^4+83402*n^3+14289*n^2-21481*n-7665)/359251200.

(以上)

「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　　　　 更新 11/12

＜水の流れから　この問題は第89回の答を参照ください＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。