令和３年６月27日
[流れ星]
第401回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：５月30日～6月27日＞
［明星輪寺の算額(4)］
第359回の応募問題は元治２年（1865）に大垣市の明星輪寺に奉納された算額で、初ノ段、四ノ段、八ノ段の問題を出題しました。
第399回では、二ノ段、五ノ段の問題を出題しました。
第400回では、六ノ段、七ノ段、九の段の問題を出題しました。
引き続いて、今回は十ノ段、十一問、十二問の問題です。
第１０問 正三角形と外円との間に緑、赤、白円併せて16個を入れる。正三角形の内接円の半径が与えられたとき白円の直径を求めよ。
出題者 田辺捨次重利
術文（答） 白円の半径は正三角形の内接円の半径÷１０
第１１問 三角形の２辺に接し、かつ互いに外接する３個の円（青、白、浅青）がある。この三角形の内接円を緑円とする。青、白、浅青の直径が与えられたとき緑円の直径を求めよ。 出題者 志知何某貴忠
術文（答）
緑円径は｛２√（a×ｂ×ｃ）｝÷｛√a＋√ｂ＋√ｃ―√（a＋ｂ＋ｃ）｝
ただし、青の直径をa、白の直径をｂ、浅青の直径をｃとする。
参考 この問題は初めに外接する３個の円を描き、それらの共通接線から三角形を作り、その内接円を求める問題である。西洋ではマルファッテイの問題と呼ばれている。
第１２問 将棋盤の上に直方体の餅を置き、この餅の上から焼いた砲丸で盤に接するまで穴をあける。餅の底面は盤に接している。餅の高さと砲丸の直径が与えられたとき穴の容積を求めよ。
出題者 磯月関女恒子
術文（答）
容積はπ（２ｒ）２×（３ｈ－ｒ）÷１２
砲丸の直径を２ｒ、餅の高さをｈとする。
参考文献 「岐阜県の算額の解説」 髙木重治 著
追加問題１（提供者 ジョーカーさん）
8文字のｂａｓｅｂａｌｌを横一列に並べる順列で、どのｂもaの左側にくる確率を求めよ。
追加問題２（提供者 ジョーカーさん）
＜水の流れ：上の追加問題２は30日午後7時に追加記述＞
NO1「スモークマン」
5/30 12時15分 受信 更新 6/27
追加問題（提供者 ジョーカーさん） の方だけでお願いします。
(1)*a*a*...
3H2=4C2=6
so...bba*a* は...1/6
(2)
*(aa)*...
2H2=3C2=3
so...bb(aa)*は1/3
(2)の場合の数は...7!/(2!2!)
(1)の場合の数は...8!/(2!2!2!)-7!/(2!2!)
so...
(1/6){8!/(2!2!2!)-7!/2!2!)+(1/3){7!/(212!)}/{8!/(2!2!2!)}
=(1/6)+(1/3-1/6)*{(7!/(2!2!)}/{8!/(2!2!2!)}
=1/6+(1/6)*(1/4)
=5/24
＜水の流れ：結果は当方と一致していません＞
「スモークマン」
６/10 19時28分 受信 更新 6/27
友人からもらった解答です...
ｂが２つ、aが2つのばあいの数は4!/(2!*2!)=6 通り
よって確率は1/6
*なるほどスマートだと思いました ^^♪
<水の流れ：「ジョーカー」さんから、模範解答という言葉を頂きました＞
NO2「ジョーカー」 5/31
12時05分 受信 更新 6/27
ジョーカーさんの解答です。
「ジョーカー」 6/06
18時36分 受信 更新 6/27
さらに、追加問題の解答です。
NO3「よふかしのつらいおじさん」 6/03 16時57分 受信
更新 6/27
第10問
図で円の半径を次のように表します。
緑：ｍ、赤：ｒ、白：ｗ、内接円(ＯＣ)：Ｒ
ＯＡ＝ＯＢより、ｒ＋4ｗ＋4ｒ＝ｒ＋2ｍ → ｍ＝2ｗ＋2ｒ ･･･ (1)
内接円の半径がＲなので、Ｒ＝ｒ＋4ｗ＋2ｒ → Ｒ＝3ｒ＋4ｗ ･･･ (2)
三角形ＤＥＦのＤＥ：ＤＦが1：2なので、ＤＦ＝2ｍ
よって、ＯＧ：ＯＦを考えて、Ｒ：(ｒ＋3ｍ)＝1：2 → 2Ｒ＝ｒ＋3ｍ ･･･ (3)
(1)を(3)に入れて、2Ｒ＝ｒ＋3(2ｗ＋2ｒ) → 2Ｒ＝7ｒ＋6ｗ ･･･ (4)
(2)×7－(4)×3より、Ｒ＝10ｗ
よって、白円の半径は、内接円の1／10．
第11問
●図で半径a、bの円が接しています。
共通接線の接点Ｅ、Ｆの距離ℓを調べます。
△ＸＹＺに三平方の定理を用いて、
●図でＡＤ＝ｐ、ＢＥ＝ｑ、ＣＦ＝ｒとします。
△ＡＢＣの面積Ｓを調べます。
・その１
Ｓ＝2×(△ＡＤＸ＋△ＢＥＹ＋△ＣＦＺ)
＋台形
＋台形
＋台形
＋△ＸＹＺ
△ＸＹＺは、ヘロンの公式を用いて考えます。
よって、
・その２
緑の内接円の半径をＲとすると、
●内接円の中心は、三角形の頂点と結んだとき、その二辺に接している円の中心を通ります。
図で、ＯＢはＹを通ります。
△ＢＹＥ∽△ＢＯＨより、ＥＨ＝ｓとすると、
この考えで、
、
、
を調べると、
辺々合計して２で割ると、
よって、
なので、
●これらを式(1)、(2)に入れて等しいとすると、
第12問
上からｈ－ｒまでは円柱Ｖ1、下は半径ｒの半球の体積Ｖ2を求めます。
追加問題
●「ｂａｓｅｂａｌｌ」は、a：2文字、b：2文字、e：1文字、s：1文字、l：2文字の計8文字です。
a：2文字、b：2文字の計4文字の並び方を調べます。
{aabb,abab,abba,baab,baba,bbaa}の6通りです。
この中で、どのbもaの左側にきているのは、{bbaa}の1通りです。
●残りは、e：1文字、s：1文字、l：2文字の計4文字です。
これらの文字は、{ 1
b 2 b 3 a 4 a 5
}各文字の前や間や後ろの5つの場所のどこかに入ります。
どの「a、b」の並びも他の4文字の入り方は同じなので、求める確率は、1／6です。
NO4「二度漬け白菜」
6/06 10時47分 受信 更新 6/27
追加問題 2 の解答：
S=(r_1)*(r_2)*(tan(α)-tan(β)) (答)
出題図に新たに以下の4点 E_1，E_2，F，P を加える．
E_1：直線ABと円C_1との接点
E_2：直線ABと円C_2との接点
F ：直線DCと円C_1との接点
P ：直線ACと直線BDとの交点
∠AO_1E_1=α, ∠CO_1F=β であるから，
AO_1=r_1/cos(α), CO_1=r_1/cos(β).
よって，
AC
=AO_1-CO_1
=(r_1)*(1/cos(α) - 1/cos(β))
=-(r_1)*(cos(α)-cos(β))/(cos(α)*cos(β))
=(r_1)*2*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)/(cos(α)*cos(β)).
(途中，積和公式：cos(α)-cos(β)=(-2)*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
を使った．)
∠O_2BE_2=(α+β)/2, ∠O_2BP=α-(α+β)/2=(α-β)/2 である．
sin((α+β)/2) = (O_2E_2)/(O_2B) = r_2/(O_2B) および，
cos((α-β)/2) = BP/(O_2B) とから，
BP=(O_2B)*cos((α-β)/2)=(r_2)*cos((α-β)/2)/(sin((α+β)/2)).
よって，四角形ABCDの面積 S は次のように計算できる．
S=AC*BP
=((r_1)*2*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)/(cos(α)*cos(β)))*(r_2)*cos((α-β)/2)/(sin((α+β)/2))
=(r_1)*(r_2)*2*sin((α-β)/2)*cos((α-β)/2)/(cos(α)*cos(β))
=(r_1)*(r_2)*sin(α-β)/(cos(α)*cos(β))
=(r_1)*(r_2)*(sin(α)*cos(β)-cos(α)*sin(β))/(cos(α)*cos(β))
=(r_1)*(r_2)*(sin(α)/cos(α)-sin(β)/cos(β))
=(r_1)*(r_2)*(tan(α)-tan(β)).
------------------------------------------
4変数 r_1，r_2，α，β の間には次の関係があります．
cos(α)/cos(β) = (r_1 - r_2)/(r_1 + r_2).
r_1，r_2，α，βのうち，どの一つも他の三つを使って書くことができます．
Sを書き表す方法は，一通りではないです．
(以上)
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
