令和4年7月24日

[流れ星]

  第415数学的な連続応募解答

    <解答募集期間:626日〜724日>

[大垣八幡宮奉納算額8

大垣八幡神社

        岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂(幽斎)は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額(絵馬)を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回は第16問題から第18問題です。

 

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16問題

 黄円内に紫正方形と青円赤円4個ずつを入れる。赤円径を知って黄円径を求めよ 。出題者 中津何某秀彦   謹考

 

 

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17問題

 長方形内に半円(萌黄)と円弧を描き、その円に赤円と黒円とを容れる。

 極大な赤円と黒円の直径を知って長方形の長い方の一辺を求めよ。

出題者 山川何某信安   謹考

 

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18問題

 外接する等円(黄)の共通接線と円の間に青正方形と2個の黒正方形を容れる。黄円の直径を知って黒正方形の一辺を求めよ。

出題者 廣P何某忠昭   謹考

 

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追加問題(ジョーカーさん提供)

x、y、zは実数で、x+y+z=x+y+z=2のとき、

次の式の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。

(1)max(x,y,z)−min(x,y,z)

(2)x+y+z

 

NO1「ジョーカー」     06/27       0352     受信  更新 7/24

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第16問から第18問、解答です

また、追加問題の解答.

 

NO2「よふかしのつらいおじさん」07/11 2214     受信  更新 7/24

 

16問題

●各円の半径を、黄色:y、青色:b、赤色:rとします。

紫正方形の1辺の長さをmとします。

 

 

●関係式を調べます。

・半径y

 

・△OABに余弦定理

 

 

 

 

 

 

 

 

 

●OCの式に結果を代入します。

 

 

 

 

 

17問題

●初めによく使う式を確認しておきます。

図のように共通接線を持つ2円が互いに接している。

それぞれの円の半径をabとすると、接点間の距離dは、直角三角形ABCに三平方の定理を用いて、

半径の相乗平均の2倍)

 

●各円の半径を次のようにします。

円弧:R、萌黄円:m、赤円:r、黒:b。

ダイアグラム

自動的に生成された説明

 

長方形の長い方の一辺DCは、

長方形の長い方の一辺ABは、

ゆえに、

 

・△OEFに三平方の定理を用いると、

 

ここで複合が「+」の場合は、萌黄円の直径が円弧の半径を超えてしまい不適当なので、

 

 

この式を(1)に代入すると、

 

この結果を上のDCの式に代入すると、

 

 

 

18問題

●黄色円の半径をr、青正方形の一辺をa、黒正方形の一辺をbとします。

・直角三角形OABより、

 

・直角三角形OCDより、

 

ここで上のaの値を代入すると、

 

 

 

追加問題

●条件は、x、y、zに関して対称です。

 

 

ここで2次の部分は、

となるので、上の2次方程式は、楕円を表しています。

 

(1) の定義域は、 なので、 です。

 

複合が「+」の場合で様子をみます。

 

 は、分子=0として、 

 は、複合が「−」のときです。

 

 

複合が「−」の場合と合わせると、

 

 

●ここで、x、y、zの様子を調べます。

複合が「+」のとき、

 

このzは複合が「−」のときのyです。

平方の和を調べます。

 

複合が「−」のときは、yとzが入れ代わります。

 

 

(1)  

この問題を解くために、xの場合分けをします。

ア)   、 イ)  、 ウ)

 

)のときは  、イ)のときは  、ウ)のときは  の大小関係があります。

 

 とおくと、

 

ア) のとき、

 

)のとき、

 

)のとき、

 

 

以上から、

最大値は、

最小値は、

 

(2)

 

 

よって、最大値は22/9、最小値は2です。

 

 

 

NO3「三角定規」    07/22         2140     受信  更新 7/24

寄せられた第17問の解答

また、追加問題の解答.

 

 

皆さん、問題や質問に答えてください一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。