令和４年８月21日

[流れ星]

　　第416回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：7月24日〜8月21日＞

［大垣八幡宮奉納算額9］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回は第19問題から第21問題です。

第19問題

与えられた楕円（青）に3個の等円（赤）を容れるとき赤円の直径を求めよ　。出題者　宮川喜八郎賀茂　　　謹考

第20問題

　正三角形内に等しい３孤を描いてその内に3個ずつ青円、萌黄円を容れる。青円の直径を知って、萌黄円の直径を求めよ。

出題者　小岩幸七郎冨短　　　謹考

第21問題

　梯形内に半円（黄）を作りその内に赤円、黒円を内接させる。

赤円と黒円の直径を知って黄円の直径を求めよ。

出題者　早川佐平次奥貞　　　謹考

追加問題（ジョーカーさん提供）

　４次方程式ｘ^４＋68ｘ^３＋ｋｘ^２―4930ｘ＋2023＝０　について、

４つの解のうち２つの解の積が―17であるとき、次の問に答えよ。

（１）実定数ｋの値を求めよ。

（２）方程式の解を求めよ。

NO1「ジョーカー」 　07/24 　　 09時31分 受信 更新 8/21

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第19問から第21問の解答です

また、追加問題の解答です.

NO2「よふかしのつらいおじさん」07/27 22時11分 受信 更新 8/21

第19問題

●楕円の方程式を、

中央の円の方程式を、

右の円の方程式を、

とします。

△ＯＰＱに三平方の定理を用いると、

ここで、 を消去すると、

●右の円と楕円が接するので(D＝0)、

判別式Dをとって、

Pを代入して、

ゆえに、

第20問題

●円弧の半径をＲ、青円の半径をｂ、萌黄円の半径をｍとします。

三角形ＡＢＣは、内角が30°､60°､90°なので、 です。

また、 なので、 です。

●△ＡＤＥに余弦定理を用いると、∠ＤＡＥ＝30°なので、

ここで、Ｒをｍで表します。

ゆえに、

第21問題

●黄半円の半径をｋ、赤円、黒円の半径をそれぞれｒ、ｂとします。

図の△ＡＢＣと△ＢＤＥは相似です。

なので、

よって、です。

ＧＪの長さは、上の結果のｒをｂに変えて、です。

●上の図形を下のように置きます。

必要な点の座標は、

よって、直線ＧＤの方程式は、

黄色円Ｋの方程式は、

●黄色円Ｋと直線ＧＤを連立させます。

直線と円とは接するので、判別式Ｄ＝0 とします。

ｋは、0、ｒ、ｂではないので、黄色の部分の2次方程式として、

ｋは、ｂやｒに比べてだいぶ大きいので、複合は「＋」を選んで、

よって、

を水色、

を緑色とすれば、

追加問題

●

4個の解を、 とします。

するとこの4次方程式は、

ここで、 とします。

(4)より、

(1)に入れて、

(3)にいれて、

(1)’＋(3)’よりαを消去して、

●ここで、

より(1)’は、

●

なので(2)は、

以上から、

(1)

(2)方程式の解は、

「よふかしのつらいおじさん」07/31 14時12分 受信 更新 8/21

追加問題の別解

●

4個の解を、 とします。

するとこの4次方程式は、

とすると、なので、(2)を、

とします。

展開すると、

ゆえに、

(3)と(5)を連立させると、。

(1)よって(4)に代入して、

(2) に代入して、

より、

NO3「三角定規」　　　　08/16 15時34分 受信 更新 8/21

寄せられた第19問から第21問の解答です

「三角定規」　　　　08/16 22時46分 受信 更新 8/21

また、追加問題の解答です.

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。