令和４年１０月１６日

[流れ星]

　　第418回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：9月18日〜10月16日＞

［大垣八幡宮奉納算額11］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回は第25問題から第27問題です。

第25問題

楕円内に２個の等しい正方形を描き、その内に赤円２個を容れる。

正方形の一辺を知って赤円の直径を求めよ。

出題者　田中善右衛門民則　　　謹考

第26問題

　与えられた正方形の各頂点を通り平行な２組の直線を引いて、青赤に正方形を分ける。そして赤の面積を最大にせよ。

出題者　高田　土屋齋次郎倍義　　謹考

第27問題

　直角三角形の直角をはさむ二辺に接する円弧をつくり、その中に黒円と２個の等円（赤）を容れる。鈎（直角をはさむ小さい方の一辺）を知って、他の辺股を最小にするとき、黒円径を求めよ。

出題者　野中　藤村卯平敬金　　　謹考

＜訂正：「他の辺股を最小にするとき」を削除します。18日午後5時記入。

「よふかしのつらいおじさん」からの指摘により、訂正しました。＞

追加問題１（ジョーカーさん提供）問題番号は前回から続きです。

追加問題２（ジョーカーさん提供）

次の不等式を解け。ただし、[ｘ]はｘを超えない最大整数を表すものとする。

この[ｘ]はガウス記号である。

（１）[ｘ]^２―３ｘ＋２＜０

（２）[ｘ^２]―３ｘ＋２＜０

NO1「ジョーカー」 　09/18 　　 04時55分 受信 更新 10/16

寄せられた追加問題の解答です.

「ジョーカー」 　09/19 　　 09時44分 受信 更新 10/16

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第25問から第27問の解答です

NO2「よふかしのつらいおじさん」09/21 16時40分 受信 更新 10/16

第418回　よふかしのつらいおじさん

第25問題

●正方形の一辺をｓ、赤円の半径をｒとします。

楕円、直線ＯＡ、赤円の方程式を次のようにします。

●

・ａとｓは、 の関係があります。

・ なので、点Ａの座標は、 より、

点Ｃの座標は です。

ＣＤの距離は、ｒなので、

●(3)に(2)、(1)を順に入れていくと、

第26問題

●原点、ベクトル の終点で決まる△ＯＡＢの面積Ｓは、

●図の直線�@と�Aが平行、�Bと�Cが平行とします。

正方形の一辺をａ、�Aのｘ切片をａ−ｓ、�Bのｙ切片をｔとします。

図の「あ」と「う」、「い」と「え」は合同の図形なので、「あ」＝「う」、「い」＝「え」です。

※ 図で�@、�Aの傾きを大きくすると「い」と「え」の面積は大きくなります。

しかし、「あ」と「う」は小さくなります。このあたりのことを考えるのは、難しいです。

●

・直線の方程式は、次のようです。

・各点の座標は次のようです。

�@と�Cから点、点

�@と�Bから点、点

点、点

点、�Aと�Bから点、点

よって、、

・図形「あ」の面積は、

図形「い」の面積は、

よって、赤の面積は、

この後は、変数がｓとｔなので、偏微分して最大値を求めることになるのでしょうが、

面倒なので、ｓ＝ｔとして様子をみます。

●ｓ＝ｔのときの赤の部分の面積をＭとします。（変数はｔとします）

Ｍは連続で滑らかな関数で、符号に関係するのは、水色の部分です。

分母は正なので、分子が0となるｔを探すと、

これをＭに戻すと、

※ 、 です。

また、(**)の式で、

ｓ＝ｔ＝0.49とすると、0.6005177ａ²

　ｓ＝0.49、ｔ＝0.48とすると(ｓとｔは対称)、0.600595855ａ²

となります。

第27問題

●円弧の半径をｒ、赤円の半径をａとします。

・図の鈎の長さは、円弧の半径と等しくｒです。

・図の に対して、円弧の半径がｒなので、

に対して赤円の半径aは、

・左側の赤円の方程式は、 です。

（ａは上で求めた値です）

●点 を通り、左の赤円に接する直線の傾きをｍとします。

左の円の中心Ｕから直線ＳＴまでの距離はａなので、

図から小さい方の傾きなので、下の値が求めるｍです。

●(*)を用いて円弧の中心 とこの接線との距離ｄを求めます。

黒円の直径2ｋは円弧の半径からｄを引いたものなので、

追加問題1

●正三角形ＡＢＣの一辺は1です。

三中線の交点は重心Ｇで、 です。

(Ｇは円甲の中心でもあります)

なので、

は弧の半径なので1です。

円甲の半径ｋは、 です。

●円乙の中心をＨ、半径をｔとします。

・Ｈの座標は、

ＡＨにｔを加えると弧の半径1になるので、

追加問題2

(1)

●グラフは次のようです。

解答は、

(2)

●グラフは次のようです。

以上から、

NO3「スモークマン」 10/8 19時15分　 受信 更新 10/16

「スモークマン」 10/12 22時39分　 受信 更新 10/16

次の不等式を解け。ただし、[ｘ]はｘを超えない最大整数を表すものとする。 この[ｘ]はガウス記号である。 （１）[ｘ]２―３ｘ＋２＜０

（２）[ｘ２]―３ｘ＋２＜０

回答 (1),(2)　ともx<0　x>4では解無し。

(1)　2/3<x<1 　　　1<x<2 　　　2<x<3 　　　11/3<x<4

[x]^2-3x+2<0 x=n+α とする。 0<=α<1

n^2-3(n+α)+2<0

α>1/3(n^2-3n+2)=(1/3)(n-1)(n-2)

0<=α<1

so...(1/3)(n-1)(n-2)<1

so...n=0,1,2,3

�@ n=0 のとき α>2/3　→　2/3<x<1

�A n=1 のとき α>0　 → 1<x<2

�B n=2 のとき α>0　 → 2<x<3

�C n=3 のとき α>2/3　→ 11/3<x<4

(2)　は不等式でうまくいかず、グラフでやりました。(グラフ添付なぜかできません Orz) 　

　y=[x^2] 　

　y=3x-2 　　

[x2] > 3x-2 の部分が解となり 　　

x=√k　k=1,2,3,4,5,6,7,8　の値を計算すれば得られる

2/3<x<1

1<x<2

2<x<√5

7/3<x<√6

NO4「三角定規」　　　　10/9 21時23分 受信 更新 10/16

寄せられた第２５問から第２７問の解答です

また、追加問題の解答です.

＜水の流れ：応募者のおかげで現在に至っています。皆さんに感謝しています。＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。