令和５年２月５日
[流れ星]
第422回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：１月８日〜２月５日＞
［三乗根の問題］
追加
問題１（出題者は「ジョーカー」）
NO1「ジョーカー」 01/08 15時08分 受信 更新 2/5
寄せられた問題と追加問題の解答です
「ジョーカー」 01/09 21時08分 受信 更新 2/5
寄せられた問題別解と追加問題を発展させた解答です
「ジョーカー」 01/16 00時46分 受信 更新 2/5
追加問題をさらに発展させた解答です
NO2「スモークマン」 01/12 23時39分 受信 更新 2/5
今回は全て解けてなく、また、一部まったりとしか解けてない気がしますが、わかったところだけの解答です。
三乗根の問題
(1)
x^3=(√5+2)^2…x>0
y^3=(√5-2)^2…y>0
x^3+y^3
=(x+y)((x+y)^2-3xy)=(x+y)(x^2-xy+y^2)
x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy>0
x^3*y^3=1
so…
(x+y)^3-3(x+y)=18
x+y=3 は実数解の唯一のもの
so…
x+y=3
xy=1
t^2-3t+1=0
(t-3/2)=-1+9/4=5/4
so…
t=(3±√5)/2
与式=x>y なので、
(3+√5)/2
追加問題
(1)
2023^(1/2)=44….
a=43
2023-43^2=174
174^(1/2)=13….
b=13
174-13^2=5
174-11^2=53
53-7^2=4
So…
43^2+11^2+7^2+2^2・・・11以下のものは7なのでない
2023-41^2=342
342^(1/2)=18.
342-17^2=53
So…
41^2+17^2+5^2+2^2
342-13^2=173
173-11^2=52…だめ
2023-37^2=654
654^(1/2)=25.
654-23^2
2023-31^2=1062
1062^(1/2)=32.
1062-29^2=221
221^(1/2)=14.
221-13^2=52
221-11^2=100
もうなし
So…41+17+5+2=65
＜水の流れ：a^2+b^2+c^2＋d^2＝1681+289+25+4＝1999、他の組み合わせを考えて＞
「スモークマン」 01/14 18時04分 受信 更新 2/5
頂戴したヒントで解決できたかなぁ...^^
(1)
x^3=(√5+2)^2…x>0
y^3=(√5-2)^2…y>0
x^3+y^3
=(x+y)((x+y)^2-3xy)=(x+y)(x^2-xy+y^2)
x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy>0
x^3*y^3=1
so…
(x+y)^3-3(x+y)=18
x+y=3 は実数解の唯一のもの
so…
x+y=3
xy=1
t^2-3t+1=0
(t-3/2)=-1+9/4=5/4
so…
t=(3±√5)/2
与式=x>y なので、
(3+√5)/2
(2)
やっと気づけましたわ ^^;v
2^(1/3)=x
(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=1
(x+1)(x-2-x+1)=x^3+1=3
So…
3(x-1)^2
=3*(x-1)^3*(x^2+x+1)
=(x-1)^3*(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
=(x-1)^3*(x+1)(x^4+x^2+1)
=(x-1)^3*(x+1)(2x+x^2+1)
=(x-1)^3*(x+1)^3
So…
与式=(x-1)(x+1)=x^2-1=2^(2/3)-1
うまくいくものですね♪
追加問題1
異なる素数4個で奇数なので、1つは2
2023-2=2021
√2021=44.9…
So…
aは43以下
3c^2+2^2<2023
a=25.9…
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2が一定なら
a+b+cが最大になるには
ab+bc+caが最大の時
a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=(1/2){(a-b)^2+B-c}^2+(c-a)^2}>=0
なので…a=b=cのときが最大…
So…a,b,cはできるだけ近いほど最大
3a^2+4<2023
a<44.8…
a^2+3*2^2>=2023
a>25.9…
so…
29<=a<=43
29,31,37,41,43
・a=43のとき
2019-43^2=170=7^2+11^2
・a=41 のとき
2019-41^2=338=7^2+17^2
・a=37 のとき
2019-37^2=650=11^2+23^2=17^2+19^2
・a=31 のとき
2019-31^2=1058=23^2+23^2・・・だめ
・a=29 のとき
2019-29^2=1178
1178=b^2+c^2 の解はない・・・ここはもっと簡単に言えないんだろうか？
結局…
(a,b,c,d)=(37,19,17,2)
このとき、a+b+c+d=75
やっぱり、aの小さい方から検討する方が早かったようですね ^^;
追加問題2
0<5-2√5<1
So…
(5+2√5)^2023=n+小数
So…
(5+2√5)^2023+(5-2√5)^2023 は整数なので=n+1
So…
n+1
= (5+2√5)^2023+(5-2√5)^2023
=
2*(5^2023+2023C2*(2√5)^2*5^2021+2023C4*(2√5)^4*5^2019+…+2023C2022*(2√5)^2022*5)
≡2*(5^2023)
25^2023
=(20+5)^2023
≡25 (mod 100)
So…
n≡2*25-1=49 (mod 100)
NO3「kasama」 01/15 23時41分 受信 更新 2/5
「kasama」 01/16 23時56分 受信 更新 2/5
＜kasamaさんからのコメント＞
ご助言頂いた方針で考え直してみました。
(1)は共役な無理数を考え、連立させると、きれいに解けました。
(2)についても、力任せにやらず、３乗の展開公式を意識して式を変形させると、うまくいきました。よく考えられた問題だと思いました。
解答に上記を追記しましたので、再度解答をお送りします。
「kasama」 01/21 02時10分 受信 更新 2/5
＜水の流れ：前に2回応募がありましたが、最後に来た応募解答を載せます＞
＜kasamaさんからのコメント＞
解法への糸口が掴めず、追加問題は辞退しようかと思っていましたが、ヒントを与えて下さり、大変助かりました。
追加問題１について、
d=2とa,b,cが43以下の素数であることを足掛かりにして取り組みました。地道にやれば、必ず答えに行き着きますが、どれだけ、手間を省くかがポイントとだと思います。
追加問題２について、
問題文に共役数(5+2sqrt(5))^2023を掛ければ、整数化することができますが、100を法とする演算にうまく結び付けることができなかかったので、加算して無理矢理に整数化しました。
(1)
=
して、両辺を3乗すると、
さらに、両辺を2乗すると、
80=
=0
上式の１つの実数解はt=
ですから、
=
となります。
【別解】2023.1.16追記
次の共役な無理数を考えます。
a=
b=
これらを連立して、
+
=18
a･b=1
実数の範囲内で解くと、
(a,b)=(
)
です。
<1は適さないので、
=
となります。
(2)
もっとマシなやり方があるのでしょうけど、思いつかなかったので、答えを出すことに重きを置いてやりました。数式に
が含まれているので、おそらく外側の三乗根は
、
、
(=1)の一次結合で表現できるだろうと当たりをつけます。この仮定が正しければ、適当な実数a、b、cが存在して、
=
b+c
と表すことができます。両辺を3乗して整理すると、
3･
-3･2･
+3=3(a
+
c+2
b)･+3(b+2c+2a)･+4+2+
+12abc
となります。両辺の、、(=1)の係数は等しいので、
a+c+2b=1
b+2c+2a=
2
4+2++12abc=3
これを解くと、実数解の１つがa=1、b=0、c=1なので、
=
1
となります。
【別解】2023.1.16追記
3乗の展開公式に変形することを考えます。３乗根の中を展開すると、
=3(
+1)=3
+3
です。少し閃きが要りますが、第2項と第3項を次のように変形します。
第2項 
=
=3･
第3項 3=41=
=
1
すると、
=3
3･
1=3･+3
1=
となるので、
=1
です。
追加問題１ 2023.1.21追記
4つの素数の平方和が奇数なので、1つは偶数でなければなりません。偶数の奇数は2しかありませんので、d=2です。すると、
++=2023-
=2019
です。
=
…なので、a、b、cは下表の素数であることがわかります。
|
素数p |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19 |
23 |
29 |
31 |
37 |
41 |
43 |
|
|
9 |
25 |
49 |
121 |
169 |
289 |
361 |
529 |
841 |
961 |
1369 |
1681 |
1849 |
もし、a≦29とすると、bとcの取り得る最大値はそれぞれ23と19ですが、
+
=1731<2019
となりますから、aの候補は31、37、41、43です。
・a=31のとき
+=2019-
=1058
上式を満たすb、cは存在しません。
・a=37のとき
+=2019-
=650
+
=650⇒b=19、c=17
+=650⇒b=29、c=23
・a=41
+=2019-
=338
+
=338⇒b=17、c=7
・a=43
+=2019-
=170
+=170⇒b=11、c=7
以上を整理すると、
|
a |
b |
c |
d |
a+b+c+d |
|
37 |
19 |
17 |
2 |
275 |
|
37 |
23 |
11 |
273 |
|
|
41 |
17 |
7 |
267 |
|
|
43 |
11 |
7 |
263 |
です。よって、a=37、b=19、c=17、d=2のとき、a+b+c+dは最大値275を取ります。
追加問題２ 2023.1.21追記
は整数ではないので扱い難いです。
を足すと、整数になりそうなのでやってみます。
+=
+
=
-iが奇数のときは
=0なので、上式は整数になります。すると、
i=2023の場合
≡25(mod 100)･2(mod 100)≡50(mod 100)
i=2021の場合
≡25(mod 100)･20(mod 100)･2(mod 100)≡0(mod 100)
=400なので、i≦2019の項は0(mod 100)です。つまり、
+≡50(mod 100)
=0.5278640450004204<1ですから、の整数部を100で割った余りは49です。つまり、問題文のnを100で割った余りは49です。
NO4「よふかしのつらいおじさん」1/20 21時57分 受信 更新 2/5
(1)
●次のようにおきます。
すると、
また、
なので、
より、
とおくと、
どちらの方程式も2個目のカッコは、複素数の解になるので、
よって、2式を加えると、
ゆえに、
(2)
● 
です。
これと（1）を比べて、
これを（4）に入れると、
(3)’に入れると、
確認のため、（2）の左辺に入れると、
以上から、
追加
問題1
●2以外の素数は、奇数です。
奇数の平方も奇数です。
異なる4個の素数の平方の和が奇数になるには、最小のｄが2でなければなりません。
よって、問題の式に代入して易しくします。
●素数の平方を調べます。
・
としてみます。
表より、
・
としてみます。
表より、
・
としてみます。
表より、
・
としてみます。
表より、
・
としてみます。
表には適する2数はありません。
・
は、 の結果から最大になれません。
●以上から、
が答えです。
確認すると、
問題2
●
とします。
まず、
の偶数乗のところは、整数になります。
・
の部分は、5の2023乗なので、下2桁は25になります。
・
の部分は、下2桁は00となります。
・
の部分は、下2桁は00となります。
それ以降は20が掛けられるたびに0が増えていきます。
の奇数乗のところは、無理数になります。
●無理数の部分を消すために、Ａと共役な無理数を考えます。
とします。
よって、
は整数です。
100を法とした合同式で考えると、
●ここで、aのことを考えます。
つまりaは、2023乗しても1より小さくなります。
よって、
以上から、
を超えない最大の整数 
を100で割った余りは、49です。
NO5「三角定規」 02/04 13時22分 受信 更新 1/8
寄せられた問題の解答です
＜水の流れの解答＞ 更新 2/5
追加問題２
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
