令和５年１０月１５日
[流れ星]
第431回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：９月17日〜10月15日＞
［ｎ進法(２)］
問題１＜2016年京都大学の入試問題＞
ｎは4以上の自然数とする。212＝1331が両辺ともｎ進法で表記されている。このとき，ｎはいくつか。十進法で答えよ。
問題２＜類題＞
ｎは4以上の自然数とする。310 ÷3２＝1331が両辺ともｎ進法で表記されている。このとき,ｎはいくつか。十進法で答えよ。
問題３＜1969年金沢大学の入試問題の類題＞
ある正の数Nを5進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｘｙ.zzzzzz・・・となる。
また, Ｎ−１を9進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｚｙ.xxxxxx・・・となる。このとき，ｘ,ｙ,ｚの値を求めよ。
追加問題１（出題者は「ジョーカー」）
第427回からの「確率等」の問題シリーズの５問目です。
ｎ本のうちa本が当たるくじがある。これから48本引いて７本当たる確率と,50本引いて９本当たる確率が等しいという。2023＜ｎ＜2050のとき，ｎ,aの値を求めよ。
追加問題２（出題者は「ジョーカー」）
NO1「ジョーカー」 09/17 11時10分 受信 更新 10/15
寄せられた問題で問題１,２,３と追加問題１の解答です
「ジョーカー」 09/17 21時14分 受信 更新 10/15
寄せられた追加問題２の解答です
NO2「スモークマン」 09/20
10時05分 受信 更新 10/15
問題１＜2016年京都大学の入試問題＞
ｎは4以上の自然数とする。212＝1331が両辺ともｎ進法で表記されている。このとき，ｎはいくつか。十進法で答えよ。
(1)
2^(n+2)=n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3
n+1=4,8,16,…
n+1=2^k
n=2^k-1
2^(2^k+1)=(2^k)^3
2^k+1=3k
n>=4 なので…
k>=3
k=3 で成立
k>=4だと左辺の方が大きくなりない。
So…n=2^3-1=7
問題２＜類題＞
ｎは4以上の自然数とする。310 ÷3２＝1331が両辺ともｎ進法で表記されている。このとき,ｎはいくつか。十進法で答えよ。
(2)
3^(n-2)=(n+1)^3
n+1=3^k
3^(3^k-3)=(3^k)^3
So…
3^k-3=3k
n>=3
k>=2
k=2 のとき成立
k>=3では左辺の方が大きくなる無理。
問題３＜1969年金沢大学の入試問題の類題＞
ある正の数Nを5進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｘｙ.zzzzzz・・・となる。
また, Ｎ−１を9進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｚｙ.xxxxxx・・・となる。このとき，ｘ,ｙ,ｚの値を求めよ。
5x+y+0.zzz…
25x+5y+z.zzz…
引くと、
20x+4y+z=4N
同様に、
9z+y+0.xxx…
81z+9y+x+0.xxx…
引いて
72z+8y+x=8(N-1)
So…
40x+8y+2z=8N=72z+8y+x+8
39x=70z+8
x=70k+2
z=39k+1
y=0〜4
20*2+4y+1=4N…なし
解なし？
・・・自信なし ^^;;
追加問題２
S=0.(021)(n)
S=0.(125)(m)
n^3*S=21.(021)
S=(2n+1)/(n^3-1)=(m^2+2m+5)/(m^3-1)
n=4,m=9
so…
S=1/7
1/9+2/9^2+5/9^3
=1/3^2+2/3^4+12/3^6
=1/3^2+2/3^4+1/3^5+2/3^6
=0.(010212)・・・3進法での循環小数表示
実際に…
(3^6-1)*S=10212
(3^4+2*3^2+3+2)/(3^6-1)
=1/7
「スモークマン」 09/27
23時47分 受信 更新 10/15
友人が以下の問題を解いてくれました Orz
問題３＜1969年金沢大学の入試問題の類題＞
ある正の数Nを5進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｘｙ.zzzzzz・・・となる。
また, Ｎ−１を9進法で表わすと，整数部分が2桁の循環小数ｚｙ.xxxxxx・・・となる。このとき，ｘ,ｙ,ｚの値を求めよ。
N 5進 xy.zz...
N-1 9進 zy.xx...
5進だから x,zは1.2.3 yは0,1,2,3,4
5進より 4N=20x+4y+z
9進より 8(N-1)=72z+8y+x
これより
39x-70z-8=0
1の位より、x=2 のみ
z=1
yは任意(0,1,2,3,4)
*考え方がやっとつかめてきましたわ ^^;;v
NO3「kasama」
09/21
22時35分 受信 更新 10/15
寄せられた問題の解答です
NO4「よふかしのつらいおじさん」9/25 17時33分 受信 更新 10/15 <
問題1
左辺は、
右辺は、
よって、
(1)式をみると左辺は2のべき乗になっているので、
右辺をみて、ｎは4以上なので、｛7、15、31、･･･｝が候補です。
左辺は、
ｎ＝7なら、
、
ｎ＝15なら、
、
ｎ＝31なら、
、
右辺は、
ｎ＝7なら、 
、
ｎ＝15なら、 
、
ｎ＝31なら、 
、
ｎ＝7 で成立します。
指数について、
左辺は、−1の値が2倍、
右辺は、＋3
のように増えていくので、ｎ＝7のときだけです。
問題2
ｎ進法で表されているので、
左辺は、
右辺は、
よって、
(2)式をみると左辺は3のべき乗になっているので、
右辺をみて、ｎは4以上なので、｛8、26、80、･･･｝が候補です。
左辺は、
ｎ＝8なら、
、
ｎ＝26なら、
、
ｎ＝80なら、
、
右辺は、
ｎ＝8なら、 
、
ｎ＝26なら、 
、
ｎ＝80なら、 
、
ｎ＝8 で成立します。
指数について、
左辺は、+3の値が3倍、
右辺は、＋3
のように増えていくので、ｎ＝8のときだけです。
問題3
●ｘ、ｙ、ｚはいずれも4以下の整数です。
整数部分を見ると、
なので、Ｎは25より小さな数です。
・5進法で表すと、
小数部分は、初項 
、公比 
の無限等比級数なので、
よって、
・9進法で表すと、
小数部分は、初項
、公比 
の無限等比級数なので、
よって、
●先ず、小数部分を比較して、
より、
（4以下の数）
次に、整数部を比較して、(4)に1を加えて(3)と等しいとすると、
(5)の解として、
がすぐにわかります。
を(5)から辺々を引くと、
よって、ｎを整数として、
ｘは｛2,11,20,･･･｝、ｚは｛1,6,11,･･･｝
前の結果とあわせて、
よって、
追加問題1
●
・48本引いて、7本当たり、41本外れる確率は、
・50本引いて、9本当たり、41本外れる確率は、
上の2つの確率が等しいとすると、
ａの2次方程式として解くと、
ここで根号の中は、
ｎもａも正の整数なので、
が
を約すようなｎを探します。
なので、1975から2002を調べます。
0のところは、因数が1個しかありません。
連続した2数で、5と7を2個ずつ因数にもつところはありません。
この範囲では解を見つけられません。
しかし、50と49(ｎ＝98)は、5と7を2個ずつ因数にもちます。
ａの解の式に代入してみると、
条件にはあいませんが、
は２つの確率が等しくなります。
＜水の流れ：2023＜ｎ＜2050のときですので＞
追加問題2
●循環小数は、無限等比級数の和で表すことができます。
この2つが等しいので、具体的に調べます。
は明らかなので、先ず
としてみます。
上の小数は、第1位が0、第2位が2なので、
です。
次に、
としてみます。
となり、一致しました。
(他の組み合わせは、ありません)
●次に、
を3進法で表します。
小数部分を次々3倍して、順々に決めていきます。
ここで分子が1となり、以降は循環します。
「よふかしのつらいおじさん」10/01 16時26分 受信 更新 10/15 <br>
追加問題1
◆くじを戻す場合と戻さない場合の2通りで解いてみます。
▲くじを引いた後結果を記録し、戻す場合
くじを引いたとき当たる確率は、
なので、
・48本引いて、7本当たる確率(41本外れる)は、
・50本引いて、9本当たる確率(41本外れる)は、
それぞれの右辺が等しいとして整理すると、
よって、ｎ＝2030、ａ＝348となります。
▼くじを引いて、戻さない場合
・48本引いて、7本当たり、41本外れる確率は、
・50本引いて、9本当たり、41本外れる確率は、
上の2つの確率が等しいとすると、
ａの2次方程式として解くと、
ここで根号の中は、
ｎもａも正の整数なので、 が を約すようなｎを探します。
なので、1975から2002を調べます。
0のところは、因数が1個しかありません。
連続した2数で、5と7を2個ずつ因数にもつところはありません。
この範囲では解を見つけられません。
しかし、50と49(ｎ＝98)は、5と7を2個ずつ因数にもちます。
ａの解の式に代入してみると、
条件にはあいませんが、 は２つの確率が等しくなります。
NO5「三角定規」 10/08
19時23分 受信 更新 10/15
寄せられた問題の解答です。
「水の流れ」 更新 10/15
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから，
解答とペンネームを添えて，メールで送ってください。待っています。
