令和６年２月４日

[流れ星]

　　第435回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：1月7日〜２月４日＞

「千葉大の過去問］

　

追加問題（出題者は「ジョーカー」）

　今回から2024に関する問題シリーズ第２段

問題１

問題２

問題３

問題４(第427回からの「確率等」の問題シリーズの９問目)

　

NO1「ジョーカー」 　1/7 　　 18時45分 受信 更新 2/4

寄せられた問題の解答です

NO2「スモークマン」 1/8 00時00分　 受信 更新 2/4

今年も果敢にチャレンジ！！

問題１

m^4+5m^2

=m^2(m^2+5)

m^2 と2m+1とは互いに素

so…

m^2+5が2m+1の倍数

・m=2k のとき

m^2+5

=(2k)^2+5=4k^2+5

2m+1=4k+1

(4k^2+5)/(4k+1)=k+(5-k)/(4k+1)

So…k=5

つまり、m=2*5=10

・m=2k-1 のとき

m^2+5

=(2k-1)^2+5=4k^2-4k+6

2m+1

=2(2k-1)+1

=4k-1

(4k^2-4k+6)/(4k-1)

=k+(6-3k)/(4k-1)

So…k=1,2

つまり、m=1,3

結局…

m=1,3,10

＜水の流れ：他にも答えはあります＞

問題２

(21)

z^3=-i

=cos((2n+3/2)π)+i*sin((2n+3/2)π)

So…

z=cos((4n+3)/6*π)+i*sin((4n+3)/6*π)…n=非負整数

(22)

同様に

z^100=-i=cos((4n+3)/2*π)+i*sin((4n+3)/2*π)

z=cos((4n+3)/200*π)+i*sin((4n+3)/200*π)

図より

π+π/3<=(4n+3)/200*π<2π ならいい。

So…

4/3<=(4n+3)/200<2

(800-9)/12<=n<(400-3)/4

791/12<=n<397/4

65.<=n<99.

So…

66<=n<=99

So…

99-65=34個

ジョーカー様の追加問題

問題1

すべての項はx^(11a+23b)の形だから、

11a+23b は11と23とは互いに素な数なので

天下り的に、(11-1)(23-1)=220以上はすべて表せる。

また、同じく天下り的に、11a+23bが0〜219までの半数が表せるので

220/2+2024-220+1

=110+1805

=1915項・・・不正解

問題２

111…111

=(10^2024-1)/9

与式

=(1/3)√(10^2024-1)

(10^1012+1)(10^1012-1)

(10^1012-1/(10^1014))^2<10^2024-1<(10^1012)^2

10^2024-1/50+1/(10^2028)<10^2024-1<10^2024

(999…999.999…999)/3<与式<1000…000/3

333…333.333…333<与式<333…333.333…

So…3・・・惜しいここから考えて

問題３

2024^2-024=x

t=√(x+√(x+√(x…

t^2=x+t

t^2-t=2024^2-2024

so…t=2024

問題４

(97/100)^n<1/2

n*(log9.7-1)<-log2

n(1-log9.7)>log2

n>log2/(1-log9.7)=0.3010/0.0132=22.8…

so…23枚以上

「スモークマン」 1/8 00時00分　 受信 更新 2/4

問題１

m^4+5m^2

=m^2(m^2+5)

m^2 と2m+1とは互いに素

so…

m^2+5が2m+1の倍数

mは4ではないので

4m^2+20=(2m+1)^2-4m+19=(2m+1)^2-2(2m+1)+21

So…21の約数が2m+1であればいい。

21=3*7

2m+1=±1,3,7,21

So…

m=0,-1,1,-2,3,-4,10,-11

*mは正の整数でなくてもいいのでした ^^;

ジョーカー様の問題2は

マクローリン展開ってのはよくわからないもので...

評価を狭めてみました...

111…111

=(10^2024-1)/9

与式

=(1/3)√(10^2024-1)

so…以下のように評価してみる

(10^1012-1/(*10^1012))^2<10^2024-1<(10^1012-1/(2*10^1012))^2・・・�@

10^2024-2+1/(10^2024)<10^2024-1<10^2024-1+1/(4*10^2024)

So…�@は

999…998.000…001000…<√(10^2024-1) <999…999.000…0005000…

小数点1013番目は、それぞれ、左辺は10 の0, 右辺は05 の5

So…これの1/3は…

333…332.666…6667000…< <333…333.000…0001666… So…

小数点1013番目は左辺の70 の0、右辺の01の1

So…0(0)より大きく,1(6)より小さい

いずれにせよ、小数点第1013番目は1しかありえない。

怪しいか...^^; ?

NO3「kasama」 1/15 00時07分　受信 更新 2/4

寄せられた問題の1回目の解答です

「kasama」 1/16 01時21分　受信 更新 2/4

寄せられた問題の２回目の解答です

NO4「二度漬け白菜」 01/16 21時09分　 受信 更新 2/4

(追加問題の解答)

[問題 1]

(1+x^11+x^23)^(2024)を展開したときの項数は，

23*(2024+1-11)=46322.(答)

a,b,r はいずれも正整数で，2≦a<b, gcd(a,b)=1,r≧(b-1)とする．

(1+x^a+x^b)^rを展開したときの項数を F(a,b,r) とする．

F(a,b,r)は次式で計算できる．

F(a,b,r)=(a*b-a-b+1)/2+(b*(r+2-b))+Σ[j=0..b-a-1]floor(b-(1+j*b)/(b-a))．

(特に，b=k*a+1(kは正整数)のときには，

F(a,b,r)=F(a,k*a+1,r)=(k*a+1)*(2*r+2-k*a)/2.)

以下，この計算式の根拠を示す．

0≦n≦b^r なる整数 n であって，

n=a*x+b*y (ただし x,yは 0≦x,0≦y,x+y≦rを満たす整数) ---(★)

という形にかけるようなものの個数が F(a,b,r) である．

(★)の形にかける整数 n を「表示可能」と呼ぶことにする．

(1) 0≦n≦(a*b-a-b) なる n のうち，表示可能なものは，(a*b-a-b+1)/2 個である．

(証明)　次の主張を示せばよい．

「M+N=(a*b-a-b)なる0以上の整数 M,N に対して，M,N のうち，どちらか一方のみが

表示可能である．」

0≦n≦(a*b-a-b) なる任意のnに対して，gcd(a,b)=1より，

n=a*x+b*y

となるような整数(x,y)が存在する．

n=a*x+b*y=a*(x-b*t)+b*(y+a*t)

であるから，xをbの倍数だけ増減させることが可能．したがって，

n=a*X+b*Y (ただし 0≦X≦(b-1))

の形にかき直せる．このとき，必ず X+Y≦r となっている．

(もしX+Y>rとなっていたとすれば，Y>r-Xより，

n=a*X+b*Y>a*X+b*(r-X)≧-(b-a)*X+b*r≧-(b-a)*(b-1)+b*r

≧-(b-a)*(b-1)+b*(b-1)=a*b-a となって 0≦n≦(a*b-a-b) に反する．)

0≦n≦(a*b-a-b)なるとき，n=a*x+b*y が表示可能であることは，

条件 0≦x≦(b-1) のもとで表示可能であることと同値であり，このとき，

(n=a*x+b*yが表示可能でない)⇔(y<0)

となっている．

M+N=(a*b-a-b)なる0以上の整数 M,Nに対して，

0≦x,s≦(b-1)なる整数 x,s および 整数 y,t を用いて，

M=a*x+b*y, N=a*s+b*t 

とかける．

M,N が表示可能であることは，それぞれ y,t が非負であることと同値．

M+N=(a*b-a-b)であるから，(a*x+b*y)+(a*s+b*t)=(a*b-a-b),

つまり，b*(y+t-a+1)=-a*(x+s+1).

gcd(a,b)=1であるから，bは(x+s+1)を割り切る．

1≦(x+s+1)≦(2*b-1)であるから，(x+s+1)=b.

よって y+t=-1を得る．

これより M,N のうち，どちらか一方のみが表示可能であることが判り，

主張が従う．

(2)(a*b-a-b)<n≦b*r-(b-a)*(b-1) なる整数 n はすべて表示可能である．

(証明)

集合 {n,n-a,n-2*a,n-3*a,…,n-(b-1)*a} は b を法としたときの

完全剰余系となる．

よって n-x*a≡0(mod b) となるような整数 x (0≦x≦(b-1))

がただ一つ存在する．

y=(n-x*a)/b とすれば n=a*x+b*y であり，

y=(n-x*a)/b>((a*b-a-b)-(b-1)*a)/b=-1 より y≧0. さらに，

x+y

=x+(n-x*a)/b

=(n+(b-a)*x)/b

≦(b*r-(b-a)*(b-1)+(b-a)*(b-1))/b

=r

であるから，nは表示可能．

(3)b*r-(b-a)*(b-1)<n≦b*rなるnのうち，表示可能なものの個数を

G(a,b,r) とすると，

G(a,b,r)=Σ[j=0..b-a-1]floor(b-(1+j*b)/(b-a)).

(証明)

(1+x^a+x^b)^r=(1+(x^a)*(1+x^(b-a)))^r であるから，

(nが表示可能)⇔(n=k*a+p*(b-a) (k,pは0≦k≦r,0≦p≦kなる整数) ).

n=b*r-(b-a)*(b-1)+t とし，n=k*a+p*(b-a) とから，

t=(b-a)*(b-1)+k*a+p*(b-a)-b*r ---(☆)

k=p=rのとき，(☆)より，t=(b-a)*(b-1)となる．

k=rを保ちながら，pを1ずつ減じてゆく．

p=r-1,r-2,r-3,…に対応して，

t=(b-a)*(b-1)-(b-a),(b-a)*(b-1)-2*(b-a),(b-a)*(b-1)-3*(b-a),…を得る．

さらにk=p=r-1のとき,(☆)より，t=(b-a)*(b-1)-bとなる．

k=r-1を保ちながら，pを1ずつ減じてゆく．

p=r-2,r-3,r-4,…に対応して，

t=(b-a)*(b-1)-b-(b-a),(b-a)*(b-1)-b-2*(b-a),(b-a)-b-3*(b-a),…を得る．

以下，同様の操作を，tが正の値を取り続ける限り行う．

このようにして得られるtの値はすべて異なる．

(もしも(b-a)*(b-1)-s*b-u*(b-a)=(b-a)*(b-1)-S*b-U*(b-a)なるs,u,S,U(s<S)があると

すると，(S-s)*b=(u-U)*(b-a). gcd(b,b-a)=1であるから，(b-a)は(S-s)を割り切る．

ところが 0≦s<S<(b-a) であるから(b-a)が(S-s)を割り切ることは不可能．)

以上から，

G(a,b,r)

=1+(b-2)+Σ[j=1..floor(((b-a)*(b-1)-1)/b))](1+floor(((b-a)*(b-1)-j*b-1)/(b-a)))

=Σ[j=0..b-a-1]floor(b-(1+j*b)/(b-a))．

特に，

G(a,k*a+1,r)=k*a*((k-1)*a+2)/2.

(1),(2),(3)より

F(a,b,r)

=(a*b-a-b+1)/2+(b*r-(b-a)*(b-1)-(a*b-a-b))+G(a,b,r)

=(a*b-a-b+1)/2+(b*(r+2-b))+Σ[j=0..b-a-1]floor(b-(1+j*b)/(b-a))．

特に，

F(a,k*a+1,r)=(k*a+1)*(2*r+2-k*a)/2.

[問題 2]

√(1_(2024))の小数第1013位の数字は 1 (答)

1_(2024)=(10^2024-1)/9 に注意する．

A=(10^1014)*√(1_(2024))=(10^1014)*((10^2024-1)/9)^(1/2)，

B=(10^2)*(10^2024-1)/3

とおく．

Bは2026桁の正整数であって，下2桁が00,それ以外の桁はすべて3．

いまからAの整数部分の下2桁が16であることを示す．

(B+17)^2-A^2=(1/9)*(2*10^2026+9*17^2-200)>0,

(B+16)^2-A^2=(1/9)*(-4*10^2026+400+9*16^2)<0.

よって，(B+16)^2<A^2<(B+17)^2.

よって，(B+16)<A<(B+17).

よって，Aの整数部分の下2桁は16．

よって，√(1_(2024))の小数第1013位の数字は 1.

[問題 3]

(与式)=Aとおくと，　A^2=2024^2-2024+A.

これを解いて，　A=2024(答)

[問題4]

23枚必要(答)

1-(97/100)^n ≧ 1/2 となるような最小のnを求めればよい．

1-(97/100)^n ≧ 1/2

⇒1/2≧(97/100)^n

⇒-log_10(2)≧n*(log_10(97)-2)=n*(log_10(9.7)-1)

⇒-0.3010≧n*(0.9868-1)

⇒ceil((-0.3010)/(0.9868-1))≦n

⇒23≦n.

NO5「よふかしのつらいおじさん」01/22 16時13分 受信 更新 2/4

問題1

です。

● が、 のk倍の場合を調べます。

根号内は連続する2整数の積なので平方数になるのは、ｋ＝0、−1のときだけです。

よって、ｍ＝0、−1

● が、 のk倍の場合を調べます。

ｍが整数なので、根号の中は平方数です。

2乗と1乗の係数がともに1なので、

青の数は、 という値です。

５を超えると、連続する2数の積にはなりません。

ｋ＝2、−3、5、−6のとき成立するので、ｍ＝3、1、−2、−4、10、0、−1、−11

● 最後に、 が、 のk倍の場合を調べます。

2ｍ＋1は奇数なので、素数か合成数です。

素数の場合は、上のどちらかの場合になり、ｍが求まっています。

よって、2ｍ＋1が合成数の場合を調べればよいことになります。

新たにｍは見つかりませんでした。

整理して、

ｍ＝−11、−4、−2、−1、0、1、3、10

問題2

−iのｎ乗根の一つは、ガウス平面の原点を中心とする単位円をｘ軸の正とｙ軸の負のなす角(90度)をｎ等分し、

ｘ軸の正の方から1つ目の点の複素数です。

他は、その点を基準に、円周をｎ等分した各点の複素数です。

(1) ｚは、−iの3乗根です。

図の赤い点の複素数で、

(2) の解は、ｋ＝1、2、･･･100として、

です。

この複素数が水色の部分に入ればよいわけです。

図の左下の複素数の偏角は、 なので、

ｋ＝67とすると、偏角は になります。

よって、100−67＋1＝34個です。

追加問題

問題1

の展開は、 と をもとにして指数が決まります。

次のような表を考えます。

例えば、左の見出しが4、上の見出しが3の欄の113は、

という指数を表しています。

の展開のｘのとりうる指数はこの表にすべて出てきます。

一番大きな指数は、 の46552乗です。

のべき乗が22までなので、この表の指数はすべて異なります。

さて、 のべき乗が23の欄を考えてみます。

という指数なので、初項253、公差23の等差数列です。

これは、上の表の11のべき乗が0の欄の23のべき乗が11以降の値と同じです。

同様に、 のべき乗が24の欄は、

という指数なので、初項264、公差23の等差数列です。

これは、上の表の11のべき乗が1の欄の23のべき乗が11以降の値と同じです。

･･･

のべき乗が45の欄は、

という指数なので、初項495、公差23の等差数列です。

これは、上の表の11のべき乗が22の欄の23のべき乗が11以降の値と同じです。

のべき乗が46の欄は、

という指数です。

これは、上の表の11のべき乗が0の欄の23のべき乗が22以降の値と同じです。

･･･

のべき乗が68の欄は、

という指数です。

これは、上の表の11のべき乗が22の欄の23のべき乗が22以降の値と同じです。

このように、23行ごとに最初の表の途中から同じ数が現れます。

よって、最初の表の数の個数が求める答えになります。

最初の表の11のべき乗が22の欄は、行が1つ下がると、1マス減るので、2003個あるので、

問題2

なれるために、 の小数第3位を調べます。

そのために、 を使います。

これに習い、問題を解きます。

よって、小数第1013位は、1。

問題3

とおきます。

両辺を2乗します。

です。

ゆえに、

問題4

3等が当たる確率を 以上にすると言うことは、

3等が当たらない確率を より小さくにすると言うことです。

はがき1枚について、3等が当たらない確率は、 なので、はがきがｎ枚とすると、

よって、はがき23枚は必要。

「三角定規」　　　　02/03 17時35分　 受信 更新 2/4

寄せられた問題の解答です

「水の流れ」 更新 2/4

　　　　　　　　　　　　　　　　　

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。