令和６年５月２６日

[流れ星]

　　第441回数学的な連続応募解答

　　　＜解答募集期間：4月28日〜5月26日＞

「tanθの分数式］

　

問題　

追加問題（出題者は「ジョーカー」）

新シリーズ（正三角形の辺や円弧によって囲まれる図形内の３円の半径について）３問目

問題1

　

問題２(第427回からの「確率等」の問題シリーズの1２問目)

今回で終了

問題３　

NO1「ジョーカー」 　 4/28 　　 21時45分 受信 更新 5/26

　寄せられた解答です

NO2「スモークマン」 4/29 20時30分　 受信 更新 5/26

問題 tanの分数式

(1)

sin10*sin30*cos20*cos40/(cos10*cos30*sin20*sin40)

=(1/√3)sin10*cos20*cos40/(sin20*sin40*sin80)

cos10*sin10*cos20*cos40/(cos10*sin20*sin40*sin80)

=(1/8)sin80/(sin80*sin20*sin40*sin80)

1/(sin20*sin40*sin80)

sin20*sin40*sin80

=sin20*(-1/2)(cos120-cos40)

=(1/4)sin20+(1/2)sin20*cos40

=(1/4)sin20+(1/4)(sin60+sin20)

=√3/8

So…

与式=(1/√3)(1/8)(8/√3)=1/3

(2)

tan10*tan50*tan70/(tan20*tan40*tan80)=k

k(tan20*tan40*tan80)=tan10*tan50*tan70

k*(tan20*tan40*tan80)^2 =1

sin20*sin40*sin80/(cos20*cos40*cos80)

(1)より

sin20*sin40*sin80

=√3/8

cos20*cos40*cos80

=cos20*(1/2)(cos120+cos40)

=-(1/4)cos20+(1/2)cos20*cos40

=-(1/4)cos20+(1/4)(cos60+cos20)

=1/8

So…

k*(√3)^2=1

k=与式=1/3

「スモークマン」 5/09 20時44分　 受信 更新 5/26

追加問題 １

追加問題 ３

NO3「kasama」 4/30 10時52分　　 受信 更新 5/26

寄せられた解答です

NO4「よふかしのつらいおじさん」 5/09 06時06分 受信 更新 5/26

寄せられた解答です

NO5「二度漬け白菜」 5/18 11時01分　 受信 更新 5/26

2024年防衛医科大学の類題：

(1)

(与式)=1/3 (答)

以下，角度はすべて度数法．

tan(30)=3^(-1/2) であるので，

tan(10)/(tan(20)*tan(40))=3^(-1/2)

であることを示せばよい．

tan(10)/(tan(20)*tan(40))

=sin(10)*cos(20)*cos(40)/(cos(10)*sin(20)*sin(40))

=cos(80)*cos(20)*cos(40)/(cos(10)*cos(70)*cos(50)).

ここで，

cos(80)*cos(20)*cos(40)

=(1/2)*(cos(100)+cos(60))*cos(40)

=(1/2)*cos(100)*cos(40)+(1/2)*cos(60)*cos(40)

=(1/4)*(cos(140)+cos(60))+(1/4)*cos(40)

=(1/4)*(cos(140)+cos(40))+(1/4)*cos(60)

=(1/4)*(-cos(40)+cos(40))+(1/4)*cos(60)

=(1/8).

cos(10)*cos(70)*cos(50)

=(1/2)*(cos(80)+cos(-60))*cos(50)

=(1/2)*cos(80)*cos(50)+(1/2)*cos(-60)*cos(50)

=(1/4)*(cos(130)+cos(30))+(1/4)*cos(50)

=(1/4)*(cos(130)+cos(50))+(1/4)*cos(30)

=(1/4)*(-cos(50)+cos(50))+(1/4)*cos(30)

=(1/8)*3^(1/2).

よって，

tan(10)/(tan(20)*tan(40))

=(1/8)/((1/8)*3^(1/2))

=3^(-1/2) ---(★)

(与式)

=tan(30)*tan(10)/(tan(20)*tan(40))

=(3^(-1/2))*(3^(-1/2))

=1/3.

(2)

(与式)=1/3 (答)

0＜θ＜90 のとき，

tan(90-θ)

=sin(90-θ)/cos(90-θ)

=cos(θ)/sin(θ)

=1/tan(θ)

である．よって，

tan(50)*tan(70)/tan(80)

=tan(90-40)*tan(90-20)/tan(90-10)

=(1/(tan(40))*(1/(tan(20))*tan(10)

=3^(-1/2) (∵ (★))

よって，

(与式)

=(tan(10)/(tan(40)*tan(20)))^2

=(3^(-1/2))^2

=1/3.

[追加問題 1]

甲円の半径は，5-2*6^(1/2) (答)

甲円の半径を r とする．

xy直交座標を設定して考える．

頂点A,B,Cの座標がそれぞれ，

A(1/2,(1/2)*3^(1/2)),

B(0,0),

C(1,0)

となるようにする．

その中心が点Bに最も近い甲円を円Dとし，円Dの中心をDとする．

対称性により，Dは∠ABCの二等分線：y=x*3^(-1/2) 上にあるので，Dの座標は，

D(t,t*3^(-1/2)) (0<t<1/2)

とおける．さらに，対称性により，

円Dは線分BCの垂直二等分線: x=1/2 に接する．よって，

t+r=1/2 ---(1)

また，円Dは点E(1/2,-(1/2)*3^(1/2))を中心とする半径1の円に外接する．

よって，DE=1+r.

DB=2*t*3^(-1/2),

BE=1

であり，∠DBE=90°であるので，三平方の定理より，

(2*t*3^(-1/2))^2 + 1^2 = (1+r)^2 ---(2)

(1),(2)から，

t=-9/2+2*6^(1/2),

r=5-2*6^(1/2).

[追加問題 2]

(1)求める期待値は，6 (答)

コインをn回投げたとき，表が2回連続するような出目のパターンが

全く無い確率をa(n)とする．

a(n)の生成関数を F(t)=Σ[k=0..∞]a(k)*t^k とすると，

F(t)

=1/(1-t/2)+(1/(1-t/2)^2)*Σ[k=1..∞](t/2)^k*((t/2)/(1-t/2))^(k-1)

=(4+2*t)/(4-2*t-t^2).

このコイントスで得られる得点をXとすると，Xの期待値E(X)は次のように計算できる．

E(X)

=Σ[k=1..∞]k*P(X=k)

=Σ[k=1..∞](Σ[j=1..k]1)*P(X=k)

=Σ[j=1..∞]Σ[k=j..∞]P(X=k)

=Σ[j=1..∞]P(X≧j)

=Σ[j=0..∞]P(X＞j)

=a(0)+a(1)+a(2)+a(3)+…

=F(1)

=(4+2*1)/(4-2*1-1^2)

=6.

(2)求める期待値は，4 (答)

コインをn回投げたとき，ウラが出たその直後に表が出るという出目の

パターンが全く無い確率をb(n)とする．

b(n)の生成関数を G(t)=Σ[k=0..∞]b(k)*t^k とすると，

G(t)=1/(1-t/2)^2.

このコイントスで得られる得点をXとすると，Xの期待値E(X)は次のように計算できる．

E(X)

=Σ[k=1..∞]k*P(X=k)

=Σ[k=1..∞](Σ[j=1..k]1)*P(X=k)

=Σ[j=1..∞]Σ[k=j..∞]P(X=k)

=Σ[j=1..∞]P(X≧j)

=Σ[j=0..∞]P(X＞j)

=b(0)+b(1)+b(2)+b(3)+…

=G(1)

=1/(1-1/2)^2

=4.

[追加問題 3]

(白の正三角形の1辺の長さ)=18,

(赤の正三角形の1辺の長さ)=31^(1/2),

(青の正三角形の1辺の長さ)=39^(1/2),

(黄の正三角形の1辺の長さ)=43^(1/2). (答)

図のように，点 A,B,C,D,E,F,G,H,I,P を定める．

( 図→ https://fpseries.exblog.jp/30945224/ )

このとき，AD=BE となっている．

理由は以下．

点Pから辺ABに下した垂線の足を J,

△ADIの外接円の中心を K，

△BEFの外接円の中心を L，

正三角形PDEの辺の長さを a，

正三角形PEFの辺の長さを b，

正三角形PGHの辺の長さを c

とする．

∠DPJ=α,∠EPJ=βとおく．

∠KDA=α,∠LEB=βとなる．

DP*cos(α)=PJ=PE*cos(β)であるから，

a*cos(α)=b*cos(β).

また，

KD=a*3^(-1/2),

LE=b*3^(-1/2)

である．よって，

AD

=2*KD*cos(α)

=2*a*(3^(-1/2))*cos(α)

=2*b*(3^(-1/2))*cos(β)

=2*LE*cos(β)

=BE.

同様にして，BF=CG，CH=AI を示せる．

AD=x，BF=y，CH=z とおくと，

2*x+8=2*y+4=2*z+6より，

y=x+2，z=x+1.

△ADIに余弦定理を用いて，

a^2

=x^2+z^2-2*x*z*cos(60°)

=x^2+x+1.

よって，

(△PDIの面積)

=(1/2)*sin(60°)*a^2

=(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+x+1).

同様にして，

(△PEFの面積)=(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+2*x+4)，

(△PGHの面積)=(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+3*x+3).

(△PDEの面積)

=(1/2)*DE*PJ

=(1/2)*8*a*cos(α)

=2*(3^(1/2))*AD

=2*(3^(1/2))*x.

同様に，

(△PFGの面積)=(3^(1/2))*(x+2)，

(△CHGの面積)=(3/2)*(3^(1/2))*(x+1).

(△ADIの面積)

=(1/2)*x*z*sin(60°)

=(1/4)*(3^(1/2))x*(x+1).

同様にして，

(△BFEの面積)=(1/4)*(3^(1/2))*x*(x+2),

(△PGHの面積)=(1/4)*(3^(1/2))*(x+2)*(x+1).

上記の9個の三角形の面積の和が三角形ABCの面積になるから，

(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+x+1)

+(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+2*x+4)

+(1/4)*(3^(1/2))*(x^2+3*x+3)

+2*(3^(1/2))*x

+(3^(1/2))*(x+2)

+(3/2)*(3^(1/2))*(x+1)

+(1/4)*(3^(1/2))*x*(x+1)

+(1/4)*(3^(1/2))*x*(x+2)

+(1/4)*(3^(1/2))*(x+2)*(x+1)

=(1/4)*(3^(1/2))*(2*x+8)^2.

これを解いて，x=5.

a=(x^2+x+1)^(1/2)=31^(1/2),

b=(x^2+2*x+4)^(1/2)=39^(1/2),

c=(x^2+3*x+3)^(1/2)=43^(1/2).

(以上)

NO6「三角定規」 5/25 21時02分　 受信 更新 5/26

寄せられた解答です

今回の [追加問題２] の確率ですが，期待値＝平均値なのだからもっと半端な数になると思ったら，どちらも綺麗な整数になり意外でした。

「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　 更新 5/26

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。