令和３年５月３０日

[流れ星]

　　第400回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：５月２日〜５月30日＞

　　　　　　　　［明星輪寺の算額(3)］

第359回の応募問題は元治２年（1865）に大垣市の明星輪寺に奉納された算額で、初ノ段、四ノ段、八ノ段の問題を出題しました。

第399回では、二ノ段、五ノ段の問題を出題しました。

続いて、今回は六ノ段、七ノ段、九の段の問題です。

　問題１（六ノ段）　円の中に同じ半径で円弧を２個、その中心を通るように作り、その間に緑、赤、黄、浅青、黒円の合計22個の円を入れる。外側の円の直径を与えたとき、赤円の直径を求めよ。　　　　出題者　　奥田津　女

術文（答）

赤円の直径は外側の円の直径÷６

＜水の流れ：文中や図の中での黄円、浅青円、黒円は不要です。さらに、

赤円ですが、同じ大きさであることを確認ください。＞

問題２（七ノ段）円内にひし形（そのひし形の対角線は、互いに垂直な直径上にあるように）を入れる。そのひし形内に３個の等しい楕円を入れる。円の直径が与えられたとき、楕円の短軸の長さの最大値を求めよ。　　　

出題者　足立権左衛門孝定

術文（答）　短軸の長さは円の直径÷７

問題３（九ノ段）等脚台形内に２個の等楕円と、２個の等赤円を入れる。その中へ５個の等青円と２個の浅青円とを入れる。台形の高さが与えられたとき、青円の直径の最大値を求めよ。　　　　　　　主題者　臼井孫兵衛義信

術文（答）　青円の直径は台形の高さ÷９

追加問題（提供者　ジョーカーさん）　

お詫び：最初はf(a,b,c)=a²+b³+c³-3abc でしたが、

f(a,b,c)=a³+b³+c³-3abcに訂正をしました。3日夜22時に

ご指摘を頂いた「よふかしのおじさん」に感謝します。

NO1「スモークマン」 5/02 18時08分　 受信 更新 5/30

(1)

これは...オイラーの四平方定理そのものですよね？

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²)

= (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄)² + (a₁b₂ - a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)²

+ (a₁b₃ - a₃b₁ + a₄b₂ - a₂b₄)² + (a₁b₄ - a₄b₁ + a₂b₃ - a₃b₂)²

つまり、四平方和の積は閉じてることそのものですね。

(2)

x^3+y^3+z^3-3xyz

=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

=(x+y+z)(x+ω^2*y+ω*z)(x+ω*y+ω^2*z)・・・天下り的に...^^

(1+2+3)(1+ω^2*2+ω*3)(1+ω*2+ω^2*3)

*(4+5+6)(4+ω^2*5+ω*6)(4+ω*5+ω^2*6)

=6*15*(32+ω^2*29+ω*29)(32+ω*29+ω^2*29)

=(32+29+29)*(32+ω^2*29+ω*29)(32+ω*29+ω^2*29)

=32^3+29^3+29^3-3*32*29*29

=f(32,29,29)

so...x,y,zを入れ替えたものf(29,31,29),f(29,29,31)も成立し、

or かける順番を変えると...

f(31,28,31)...so...f(31,31,28),f(28,31,31)も成立しますね。

実際に...

(1^3+2^3+3^3-3*1*2*3)(4^3+5^3+6^3-3*4*5*6)=810

32^3+29^3+29^3-3*32*29*29=810

31^3+31^3+28^3-3*31*31*28=810

NO2「よふかしのつらいおじさん」 5/03 20時49分　 受信 更新 5/30

追加問題の(2)のaの指数が2乗になっています。

3乗だときれいで解きやすいです。

因数分解ができて手がかりがあります。

　2数が等しい場合、(29,29,32)、(31,31,28)

　3数が異なる場合、(7,10,13)

が見つかりました。

「よふかしのつらいおじさん」 5/26 18時06分　 受信 更新 5/30

問題1

●円の中心を、外側:O、緑:A、右の赤:B、左の赤:Dとします。

半径を、外側:R、緑:R/2、右の赤:b、左の赤:dとします。

●△OABにピタゴラスの定理を用います。

●△OCDにピタゴラスの定理を用います。

△EDCにピタゴラスの定理を用います。

●以上から右と左の赤の円の半径は等しくなります。

直径は、外側の円の1/6です。

問題2

●各図形の方程式を次のようにします。

円　　　　　　　　：

中央の楕円　　　　：

上の楕円　　　　　：

第1象限の共通接線：

●(3)を(1)に代入します。

判別式をとります。

●(3)を(2)に代入します。

判別式をとります。

●(4)、(5)より、

両辺を で割ります。

この式で、 とします。

yについて解くと、

ここで、b＝x とおきます。(0<x<a)

で導関数は0です。

●

ｘ＝a/2を(6)に代入します。

ｙ＝R/bです。

円の半径は、短径の7倍が最小を意味します。

逆数をとって、1/y＝ｂ/Rは、1/7です。

短径は、円の半径の1/7が最大を意味します。

問題３

●この問題は解けていません。

しかし、答えには納得できたのでその経過を書きます。

●下のように図を右に90°回転して考えます。

中央の青円の中心を原点とする座標軸を考えます。

赤円の半径をR、青円の半径をｂとします。

右上の青円の中心を(α，β)とします。

PR＝R−ｂ、ＱＲ＝Ｒ＋ｂより、

●

青円の左端を原点とする座標軸を考えます。

青円、赤円の方程式は次のようです。

赤円を縦方向にｋ倍して楕円にします。

とすると、楕円の式は、

弧の楕円と青円を連立させます。

ここで、ｘを変形してみます。

これを見ると、 のときは、楕円がつぶれていて青円と原点と接して他に交点があります。

のときが、楕円が青円と接していて一番つぶれているときです。

のときは、yの平方根の中が負になってしまいます。（k＝1を除く）

この問題を考えるときの長軸は、短軸は で考えれば良いことになります。

●図のように青円と楕円を配置します。

右上の青円、楕円の方程式を次のようにします。

青円の下半分、楕円の上半分はそれぞれ次のようです。

●青円と楕円の差dを調べます。

差が0のときが求める解のときです。

分母は青円の存在範囲では正の値をとるので、分子が0になるｘを調べます。

両辺を2乗して右辺を左辺に移行して整理すると、

計算しやすくするために、全体を して分母をなくすと、

は次のように因数分解できます。

（この因数分解は答えから逆算して考えたものです）

黄色の部分から、

水色の部分の部分から、

青円と楕円が接する場合を考えるので、黄色の解の方が適します。

●この解を差ｄの式に入れます。

両辺をRで割り、ｂとＲの比で差が0となる場合を調べます。

ここで、ｔ＝b/Rとおきます。

この値が0となるｔを求めたいのですが、現在解けていません。

●しかし、試してみると、

ｔ＝1/５のとき、ｄ/Ｒ＝0　（青円と楕円が接する）

ｔ＝1/4のとき、ｄ/Ｒ＝−0.0865207･･･　（青円と楕円が交わる）

ｔ＝1/6のとき、ｄ/Ｒ＝0.059904･･･　（青円と楕円が離れている）

となります。

このことから、赤円の半径が、青円の5倍のとき、つまり青円の直径が台形の1/9のときが最大のようです。

追加問題

(1)

とします。

4個の平方数の和同士の積が4個の平方数の和になりました。

(2)

●

もし、3数が等しいと、

2数が等しいと、

●さて、

なので、

●2数が等しい場合を調べます。

・ と考えると、

・ と考えると、

これは、不適です。

●3数が異なる場合を調べます。

下線の部分は、2倍すると3平方数の和です。

はa、b、cについての対称式です。

文字の入れ替え等は式の値と関係ないので、 とします。

・a、b、cが等差数列をなすとき項と項の差をdとすると、

つまり、3数は｛b−d,　b, b＋d｝の形をしています。

・a、b、cが等差数列ではない場合を調べます。

、 とすると、

つまり、3数は｛b−d,　b, b＋e｝の形をしています。

● です。

2数の積の形で表すと、

(1・810)　(2・405)　(3・270)　(6・135)　(9・90)　 (18・45)　(27・30)　(54・15)　(81・10)　(162・5)

(5・162)　(10・81)　(15・54)　(30・27)　(45・18)　(90・9)　 (135・6)　(270・3)　(405・2)　(810・1)

の20通りです。

これらについて調べます。

表の14行目は、

を示します。

右の「d^2＋e^2＋de」の欄は、dとeを入れ替えても同じ値です。

a、b、cが等差数列でない場合は、適する値が見つかりません。

NO3「ジョーカー」 　 5/04 00時05分 受信 更新 5/30

ジョーカーさんの解答です。

ジョーカーさんの追加問題の解答です。

NO4「二度漬け白菜」 5/02 18時08分　 受信 更新 5/30

(追加問題)への解答：

(1)

集合 A の二つの元

a^2+b^2+c^2+d^2，

e^2+f^2+g^2+h^2 

(a,b,c,d,e,f,g,h ∈ Z)

に対して，次の等式が成り立つ．

(a^2+b^2+c^2+d^2)*(e^2+f^2+g^2+h^2)

=(a*e-b*f-c*g-d*h)^2 + (a*f+b*e-c*h+d*g)^2

+(a*g+b*h+c*e-d*f)^2 + (a*h-b*g+c*f+d*e)^2.

ここで，

a*e-b*f-c*g-d*h，

a*f+b*e-c*h+d*g，

a*g+b*h+c*e-d*f，

a*h-b*g+c*f+d*e

は全て整数である．

以上より，Aは積の演算について閉じていることが示せた．

(2)

f(1,2,3)*f(4,5,6) = f(a,b,c)

を満たす正整数 a,b,c の値の一つは，

(a,b,c)=(31,31,28) (答)

一般に，次の等式が成り立つ．

f(A,B,C)*f(D,E,F)

=f(A*D+B*F+C*E,A*E+B*D+C*F,A*F+B*E+C*D).

この等式に A=1,B=2,C=3,D=4,E=5,F=6 を代入すれば，

f(1,2,3)*f(4,5,6) = f(31,31,28)

を得る．

(別解)

整数 M が9の倍数のとき，

a = M/9 - 1,

b = M/9,

c = M/9 + 1

とおけば，a,b,c は整数であって，さらに，

a^3+b^3+c^3-3*a*b*c = M

となる．

よって,

 f(1,2,3)*f(4,5,6) = 810 = f(a,b,c)

を満たす正整数 a,b,c の値の一つは，

(a,b,c)=(89,90,91) (答)　

---------------------------------

(1)で示した等式について：

2次の正方行列 M1，M2，M3 を次のように定める．

M1=[[a+I*b,-c+I*d],[c+I*d,a-I*b]],

M2=[[e+I*f,-g+I*h],[g+I*h,e-I*f]],

M3=M1*M2.

(ここで，I^2=-1)

det(M3)=det(M1)*det(M2)より，等式

(a^2+b^2+c^2+d^2)*(e^2+f^2+g^2+h^2)

=(a*e-b*f-c*g-d*h)^2 + (a*f+b*e-c*h+d*g)^2

+(a*g+b*h+c*e-d*f)^2 + (a*h-b*g+c*f+d*e)^2 ---(★)

が導出される．

(2)で示した等式について:

3次の巡回行列 M1,M2 を次のように定める．

M1=[[A,B,C],[C,A,B],[B,C,A]],

M2=[[D,E,F],[F,D,E],[E,F,D]].

M3=M1*M2 とおくと，M3もまた3次の巡回行列であり，

det(M3)=det(M1)*det(M2)より，等式

(A^3+B^3+C^3-3*A*B*C)*(D^3+E^3+F^3-3*D*E*F)

=(A*D+B*F+C*E)^3+(A*E+B*D+C*F)^3+(A*F+B*E+C*D)^3

-3*(A*D+B*F+C*E)*(A*E+B*D+C*F)*(A*F+B*E+C*D) ---(★★)

が導出される．

二つの等式(★)，(★★)の導出は次の本に載っていた．

『 行列 及び 行列式 』　藤原松三郎 著　　岩波全書 40

私も一つ，問題を作ってみた．

[問題]

nを10以上の整数とする．

次の3つの条件 (1),(2),(3) を同時に満たすような

整数 a，b，c が存在することを示せ．

(1) a^3+b^3+c^3-3*a*b*c = n!

(2) 0＜a＜b＜c

(3) a+c≠2*b

＜水の流れ：具体的な数字を頂けるとありがたいです。しかし、次の解答を頂きましたが、値が大きくなり、難問とみて、答えを載せておきます＞

「二度漬け白菜」 5/16 11時37分　 受信 更新 5/30

値がかなり大きくなりますが，ご容赦ください．

たとえば，n=200 のときには，

a=46120343120747982663880889703636553350592747233168027093259

7972657520146177428855508949873691219078306536381367789262473

8348788247032965526677933479256315386628437761817329340569573

0347597803837511793230424212473208428726750192681478217791953

6592925871532899067590391029371948481970949744065322139646888

2586098184933940920319999999999999999999999999999999999999999

999999995

b=a+7,

c=a+8

とすれば，この a,b,c は3つの条件(1),(2),(3)をすべて満たす

整数となります．

また，たとえば，n=350 のときには，

a=37113335083047710214533093022986924091451073257333187951780579

6486765871944418361011815565450484019357181838166464749346695999

2849616728031379646064987690440525241611449102442478470565328997

2328165116051527063934564459452643911950412865045588894223464740

2006418933860052029807455080411764884743213929019247010780763001

0048855651489730236906515005555385389160040997434107653524142315

3924104127841695743188890133953208571738175235274767453807593716

2217977421494424363589049126134274157992890733357759869820170237

3951518719247908716101214768377548089050162333995083915485900248

8672320713967390963685123397840144484002472127024479704645790738

1375578039910399999999999999999999999999999999999999999999999999

999999999999999999999999999999999993

b=a+10,

c=a+11

とすれば，この a,b,c は3つの条件をすべて満たす整数となります．

「10以上の整数 n が任意に与えられたとき，その n の値に応じて

3つの条件(1),(2),(3)をすべて満たすような整数 a,b,c が

少なくとも一組存在することを示せ」

というのがこの問題の題意です．

NO5「三角定規」　　　　 5/27 9時00分　　　 受信 更新 5/30

寄せられた追加問題（２）の解答です。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。