令和４年７月２４日

[流れ星]

　　第415回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：6月26日〜7月24日＞

［大垣八幡宮奉納算額8］

　　　　　岐阜県大垣市にある八幡神社

江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。

今回は第16問題から第18問題です。

第16問題

　黄円内に紫正方形と青円赤円４個ずつを入れる。赤円径を知って黄円径を求めよ　。出題者　中津何某秀彦　　　謹考

第17問題

　長方形内に半円（萌黄）と円弧を描き、その円に赤円と黒円とを容れる。

　極大な赤円と黒円の直径を知って長方形の長い方の一辺を求めよ。

出題者　山川何某信安　　　謹考

第18問題

　外接する等円（黄）の共通接線と円の間に青正方形と２個の黒正方形を容れる。黄円の直径を知って黒正方形の一辺を求めよ。

出題者　廣�P何某忠昭　　　謹考

追加問題（ジョーカーさん提供）

ｘ、ｙ、ｚは実数で、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝２のとき、

次の式の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。

（１）ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｚ）−ｍｉｎ（ｘ，ｙ，ｚ）

（２）ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３

NO1「ジョーカー」 　06/27 　　 03時52分 受信 更新 7/24

寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第１６問から第１８問、解答です

また、追加問題の解答です.

NO2「よふかしのつらいおじさん」07/11 22時14分 受信 更新 7/24

第16問題

●各円の半径を、黄色:ｙ、青色:ｂ、赤色:ｒとします。

紫正方形の1辺の長さをｍとします。

●関係式を調べます。

・半径ｙ

・△ＯＡＢに余弦定理

●ＯＣの式に結果を代入します。

第17問題

●初めによく使う式を確認しておきます。

図のように共通接線を持つ2円が互いに接している。

それぞれの円の半径をa、bとすると、接点間の距離ｄは、直角三角形ＡＢＣに三平方の定理を用いて、

（半径の相乗平均の2倍）

●各円の半径を次のようにします。

円弧:Ｒ、萌黄円:ｍ、赤円:ｒ、黒:ｂ。

・

長方形の長い方の一辺ＤＣは、

長方形の長い方の一辺ＡＢは、

ゆえに、

・△ＯＥＦに三平方の定理を用いると、

ここで複合が「＋」の場合は、萌黄円の直径が円弧の半径を超えてしまい不適当なので、

この式を(1)に代入すると、

この結果を上のＤＣの式に代入すると、

第18問題

●黄色円の半径をｒ、青正方形の一辺をａ、黒正方形の一辺をｂとします。

・直角三角形ＯＡＢより、

・直角三角形ＯＣＤより、

ここで上のａの値を代入すると、

追加問題

●条件は、ｘ、ｙ、ｚに関して対称です。

ここで2次の部分は、

となるので、上の2次方程式は、楕円を表しています。

●

(1) の定義域は、 なので、 です。

複合が「＋」の場合で様子をみます。

は、分子＝0として、

は、複合が「−」のときです。

複合が「−」の場合と合わせると、

●ここで、ｘ、ｙ、ｚの様子を調べます。

複合が「＋」のとき、

このｚは複合が「−」のときのｙです。

平方の和を調べます。

複合が「−」のときは、ｙとｚが入れ代わります。

(1)

この問題を解くために、ｘの場合分けをします。

ア) 、　イ) 、　ウ)

ア)のときは 、イ)のときは 、ウ)のときは の大小関係があります。

とおくと、

ア) のとき、

イ)のとき、

ウ)のとき、

以上から、

最大値は、

最小値は、

(2)

よって、最大値は22/9、最小値は2です。

NO3「三角定規」　　　　07/22 21時40分 受信 更新 7/24

寄せられた第17問の解答です

また、追加問題の解答です.

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。