令和５年４月28日

[流れ星]

　　第424回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：３月５日〜４月２日＞

［最小値・最大値］

追加問題「ジョーカー」さん提供

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズは休ませていただきます。

NO1「ジョーカー」 　03/05 　　 11時54分 受信 更新 4/2

寄せられた問題の解答です

「ジョーカー」 　03/05 　　 20時46分 受信 更新 4/2

寄せられた問題２の別解答です。

NO2「kasama」 03/12 23時46分　 受信 更新 4/2

寄せられた問題の解答です

「kasama」 03/17 18時13分　 受信 更新 4/2

　

問題１の（３）　【補足】2023/03/17追記

傾きmの算出は、公式（円の接線の方程式）を使えば、もっと簡単に求められます。

円�@上の点の接線は次式で表されます。

すると、が円�@上の点であることと、接線が定点を通ることより、

これらを解くと、

なので、傾きmは

です。

(3)点、点をベクトル、としたとき、内積がであることに気付けば、すんなり解けると思います。

図のように、、のなす角をθとすると、 です。すると、、、なので、の最小値・最大値は下図のようになります。

円�Aの半径は3なので、 円�@の半径は10なので、	円�Aの半径は3なので、 円�@の半径は10なので、

よって、求める最小値・最大値はそれぞれ以下の通りです。

のとき-70

のとき70

問題２　【別解】2023/03/17追記

、が半径1の円周上の点であることに気付けば、円と接線の問題に帰着できます。、とおけば、問題１の(2)とほぼ同じです。

⇒ と捉えて、定点から円の半円周上に引いた直線の傾きを考えればよいのです。傾きの最小値は明らかに緑色の直線なので1です。最大値は赤色の直線ですが、次のようにして求めることができます。

円周上の点の接線は次式で表されます。

すると、が円上の点であることと、接線が定点を通ることより、

･･･�@

･･･�A

これらをの範囲内で解くと、

です。すると、傾きmは

です。以上より、求める最小値・最大値はそれぞれ1、です。

問題３（１）【別解】2023/03/17追記

とを曲線と見れば微分でやる方法以外は浮かばないのですが、2点間の長さを表現していることに気付けば案外簡単でした。与式を

と変形すれば、それぞれ点と点の長さ、点と点の長さと見立てることができます。

左図の通り、与式は赤線とオレンジ線を足し合わせた直線ABCの長さと考えることができます。

線分ABCが最も短くなるのは、点A、B、Cが一直線上にあるときです。

図で点Cを求めるのが簡単だと思います。 直線ABは、 ⇒ なので、x軸との交点はです。一方、ABの長さは です。

以上より、で最小値をとります。

問題３（２）【別解】2023/03/17追記

(1)と同じようにやれば、偏微分みたいな大鉈を振るわなくとも中学の数学で解けますね。与式を定点からの長さと見立てて、

と変形します。つまり、問題文は⇒⇒⇒と辿ったときの経路の最小値と読み替えることができます。

図示すると、左図のようになります。 便宜上、点A、B、C、Dとします。

線分ABCDが最も短くなるのは、点A、B、C、Dが一直線上にあるときです。

図でやるのが簡単だと思います。 直線ADは、 ⇒ なので、x軸との交点は、y軸との交点はです。一方、ADの長さは です。

以上より、のとき、最小値はです。

問題３（３）【別解】2023/03/17追記

ジョーカーさんのオリジナル問題で取り組みました。

基本的には(1)と同じようにやれば良いのですが、少し工夫すれば計算が楽になります。はy軸に関して対象なので領域でやれば良いです（必要なら、領域の結果をミラーすれば良い）。また、長さを変えなければ、適当な変換(同型写像)を施しても構いませんから、で折り返します。

この解釈でいくと、問題文は『2定点、に対して、上に点Pをとる。の最小値とそのときの点Pのx座標を求めよ』と読み替えることができます。

点とすると、

なので、の最小値は点⇒⇒を辿ったとき、その経路の最小値を求めるのと同じです。

条件を考慮して図を書くと、大よそ右図のようになります。そして、長さを変えなければSを適当に移動しても構いませんから、はx軸で折り返した点で考えます。

線分S’XEが最も短くなるのは、点S’、X、Eが一直線上にあるときです。

直線S’Eは、 ⇒ なので、x軸との交点はです。一方、S’Eの長さは です。

以上より、元の問題文に戻して表現すると、の最小値はで、点Pのy座標はです。

上式に、を代入れると、以下の通りです。

の最小値=

点Pのy座標=

NO3「スモークマン」 03/08 22時22分　 受信 更新 4/2

(1)

(11)

(x-3)^2+(y-4)^2=4

x^2+y^2+2x-2y

=(x-3)^2+(y-4)^2+6x+8y-9-16+2x-2y

=8x+6y-21=k

So…円の中心からこの直線までの距離

|24+24-21-k|/√(8^2+6^2)=2

|27-k|=20

k=7 or 47

so…

Max=47, Min=7

(12)

(y-1)/(x+1)

x-3=2cosθ-4

y-4=2sinθ

(y-1)/(x+1)=(2sinθ+3)/(2cosθ+4)

((2sinθ+3)/(2cosθ+4))’

=(3sinθ+4cosθ+2)/(2(cosθ+2)^2

=(5sin(θ+α)+2) /(2(cosθ+2)^2

3sinθ+4cosθ=-2

sin^2θ+cos^2θ=1

3y+4x=-2

x^2+y^2=1

x=cosθ=(-1/25)(8±3√21)

y=sinθ=(1/25)(-6±4√21)

so…

(y-1)/(x+1)

=(2sinθ+3)/(2cosθ+4)

=(2*(1/25)(-6+4√21)+3)/(2*(-1/25)(8+3√21)+4)=(1/6)(6+√21)・・・Max

=(2*(1/25)(-6-4√21)+3)/(2*(-1/25)(8-3√21)+4)=(1/6)(6-√21)・・・Min

(13)　

ac+bd

(a,b)=(2cosα+3,2sinα+4)

(c,d)=(cosβ,sinβ)

ac+bd

=(2cosα+3)*cosβ+(2sinα+4)*sinβ

=2(cosα*cosβ+sinα*sinβ)+3cosβ+4sinβ

=2cos(α+β)+5*sin(β+γ)

=2cos(β+γ)+5sin(β+γ)

=√29*sin(β+δ)

So…

Max=√29

Min=-√29

＜水の流れ：(c,d)=(１０cosβ,１０sinβ)です。合成ができるの？。＞

(2)

((sinθ+3)/(cosθ+2))’=(3sinθ+2cosθ+1)/(cosθ+2)^2

So…

3sinθ+2cosθ=-1

3y+2x=-1

x^2+y^2=1

x=(1/13)(-2±6√3)

y=(-1/13)(3±4√3)

so…

(y+3)/(x+2)

=((-1/13)(3+4√3)+3)/( (1/13)(-2+6√3)+2)=(2/3)(3-√3)・・・Min

=((-1/13)(3-4√3)+3)/( (1/13)(-2-6√3)+2)=(2/3)(3+√3)・・・Max

＜水の流れ：０≦θ≦πと制限があります＞

(3)

(31)

√(x^2+4x+8)+√(x^2-6x+10)

=√((x+2)^2+4)+√((x-3)^2+1)

(-2,2),(3,1)の間の距離なので…

(3+2)^2+(1-2)^2=5^2+1=26

So…Min=√26

＜水の流れ：惜しい　(-2,2),(3,―1)の間の距離です＞

(32)

√(x^2-6x+13)+√(x^2+y^2)+√(y^2-8y+17)

=√((x-3)^2+4)+√(x^2+y^2)+√((y-4)^2+1)

(x-3)^2+4=x^2+y^2=(y-4)^2+1

(x-3)^2+4=(x-3)^2+(y-4)^2+6(x-3)+8(y-4)+25=(y-4)^2+1

X^2+4=X^2+Y^2+6X+8Y+25=Y^2-1=t

2t-5+6X+8Y+25=t

t=-6X-8Y-20

so…

X^2+Y^2+5=-2(6X+8Y+20)

X^2+12X+Y^2+16Y=-45

(X+6)^2+(Y+8)^2=36+64-45=55

(-6.-8) から、6X+8Y+20+t=0 への距離が√55

|-36-64+20+t|/√(6^2+8^2)<=1

-10<=-80+t<=10

70<=t<=90

Min{t}=70

So…

Min{与式}=3√70

＜水の流れ：考え方が？＞

(33)

(p,p^2), (0,17/4),(0,5/4)

√(p^2+(p^2-17/4)^2)+√(p^2+(p^2-5/4)^2)

So…

(0,17/4)と(2p,5/4) を通る直線

y-17/4=(-3/(2p))*x

が(p,p^2)を通る

p^2-17/4=-3/2

p^2=11/4

so…

(0,17/4)と(√11,5/4)との距離

=√(11+3^2)

=2√5

＜水の流れ：考え方が？＞

「スモークマン」 03/13 14時32分　 受信 更新 4/2

再考したものです...Orz

(13)

ac+bd

=(a,b)(c,d)codθ

=√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)*cosθ

=2*10sinθ

図を描いてみると…

2つの円周上の点までのベクトルの方向が反対になることはなく、せいぜい垂直まで

So…

Max=√20

Min=0

＜水の流れ：半径10の円の場合は第3象限まで考えていますから反対もあります。P（a、b）,Ｑ（ｃ、ｄ）として、ベクトルＯＰの大きさは　ベクトルＯＱの大きさを考えて＞

＞

(2)

(sinθ+3)/(sinθ+2)

(-2,-3)とx^2+y^2=1 上の点を結んだ直線の傾き :m

そうなると、(-2,-3)から 円への接線の傾きそのもの

接線：y+3=m(x+2)

So…

|3-2m|=√(m^2+1)

(3-2m)^2=m^2+1

3m^2-12m+8=0

3(m-2)^2=-8+12=4

So…

m=2±2/√3=2±2√3/3

結局

Max=2+2√33

Min=2-2√3/3

＜水の流れ：動き範囲が上半円ですから、接点が第１，２象限です。吟味を＞

(3)

(31)

√(x^2+4x+8)+√(x^2-6x+10)

=√((x+2)^2+4)+√((x-3)^2+1)

(x,0) と(-2,±2), (3,±1)までの距離の和

つまり、(-2,2)と(3,-1) or (-2,-2)と(3,1)の交点

5*(2/3)=10/3

交点(-2+10/3,0)=(4/3,0)のとき直線になるので

つまり、x=4/3 のとき

Min=√{(3-(-2))^2+(-1-2)^2}=√34

(32)

under consideration...

(33)

光が鏡面で反射したときの距離が最短になるはずなので…その点をPとすると

PAの傾き+PBの傾き=Pでの法線の傾きの２倍なので…

(p,p^2)

y=2p*x

y=(-1/(2p))*x

((p^2-17/4)/p+(p^2-5/4)/p)/(1-(p^2-17/4)(p^2-5/4)/p^2)

=(-1/p)/(1-1/(2p)^2)

(4p^2-7)/((2p-1)(16p^4-104p^2+85))=0

p≠1/2, (1/2)√(13±2√21) のとき

p=±√7/2

√(7/4+(7/4-17/4)^2)+√(7/4+(7/4-5/4)^2)

=3√2=4.242…・・・このときが最短で、p^2=7/4

√((1/2)^2+(1/4-17/4)^2)+√((1/2)^2+(1/4-5/4)^2)

=(1/2)(√65+√5)=5.149…

√(((1/2)√(13+2√21))^2+(((1/2)√(13+2√21))^2-(17/4))^2)

+√(((1/2)√(13+2√21))^2+(((1/2)√(13+2√21))^2-5/4)^2)

=7.579…

√(((1/2)√(13-2√21))^2+(((1/2)√(13-2√21))^2-(17/4))^2)

+√(((1/2)√(13-2√21))^2+(((1/2)√(13-2√21))^2-5/4)^2)

=4.455…

「スモークマン」 03/31 22時35分　 受信 更新 4/2

遅くなりました(滑り込み...) Orz

やっと考える時間が取れましたので再考してみました ^^;

(13)

図で考えると...

ac+bd

=(a,b)(c,d)codθ

So…

Max=(5+2)*10=70

Min=-(5+2)*10=-70

でしたか…^^;

(2)

(sinθ+3)/(sinθ+2)

(-2,-3)とx^2+y^2=1 上の点を結んだ直線の傾き :m

そうなると、(-2,-3)から 円への接線の傾きそのもの

接線：y+3=m(x+2)

So…

|3-2m|=√(m^2+1)

(3-2m)^2=m^2+1

3m^2-12m+8=0

3(m-2)^2=-8+12=4

So…

m=2±2/√3

Minは図から、(-2,-3)と(1,0)とを結ぶ直線の傾き

Maxは(-2,-3)から円 x^2+y^2=1 への接線の傾き

So…

Min=(0-(-3)/(1-(-2)=3/3=1

Maxは上で求めた正の方なので

Max=2+2√33

(32)

＊＊＊＊

ヒントＡ（３，−２）　Ｂ（−１，４），　　Ｐ（ｘ，０）　，　Ｑ（０，ｙ）

とおいて、考えてください。

・・・面白い発想ですね♪

A(3,-2)

B(-1,4)

直線ABとx,y軸の交点を考えれば、それらのの距離の和=直線ABの長さ

になるわけでしたか ^^;

So…(3+1)^2+(-2-4)^2=4^2+6^2=52

So…2√13

(33)

先生のヒントがよくわからなかったもので ^^;

物理的に...

光が鏡面で反射したときの距離が最短になるはずなので…その点をPとすると

PAの傾き-法線の傾き=法線の傾き+PBの傾きなので…

PAの傾き-PBの傾き=2*放線の傾き

(p,p^2)

y=2p*x

y=(-1/(2p))*x

so…法線の傾き=-1/(2p)

APの傾き=(p^2-17/4)/p

BPの傾き=(5/4-p^2)/p

So…

{(17/4-p^2)/p-(p^2-5/4)/p}/(1+(17/4-p^2)(p^2-5/4)/p^2)

=2*(1/(2p))/(1-1/(4p^2))

(4p^2-7)/{(2p-1)(16p^4-104p^2+85)}=0

So…p=±√7/2

P=(±√7/2,0)

AP+BP=√{(√7/2)^2+(17/4-7/4)^2}+√{(√7/2)^2+(5/4-7/4)^2}=3√2

＜水の流れ：重なる応募に費やしたご苦労と時間に深く感謝します。＞

NO4「よふかしのつらいおじさん」3/22 20時42分 受信 更新 4/2

一部入力ミスを発見しましたので、割愛。

「よふかしのつらいおじさん」3/26 21時58分 受信 更新 4/2

前回から一部追加補充があり、ここに新しく掲載します。

問題1

(1)

● とおきます。

sは点 と円�@の周上の点との距離の2乗から定数2を引いた値です。

よって、sの最大・最小は周上の点がＣと円�@の中心 を結んだ直線上にあるときです。

最大は点Ａのとき、最小は点Ｂのときになります。

△ＤＥＣは、三辺が3:4:5の直角三角形なのでＣＤ＝5、円�@の半径が2なのでＡＤ＝ＢＤ＝2です。

よってsの

最大値は、

最小値は、

●直線ＣＤは、傾き で、点 を通るので、

これと、円�@ とを連立させると、

よって、最大値47のとき、最小値7のとき

(2)

●問題の式をｍとおきます。

ｍは円�@の周上の点とＣとを結ぶ直線の傾きです。

よって、ｍの最大・最小は、この直線が円�@と接するときです。

最大は点Ａのとき、最小は点Ｂのときになります。

点Ｃを通り、傾きｍの直線は、 。

(0)と、円�@ とを連立させると、

判別式Ｄを0とすると、

よって、最大値は

●点Ｃを通る接線は、

・

と垂直な傾きは、

と垂直な傾きは、

・

傾き で、点Ｄを通る直線は、

傾き で、点Ｄを通る直線は、

・

(1)、(3)を連立させると、

(2)、(4)を連立させると、

よって、

最大値 のとき 、最小値 のとき

■ 傾きｍは、点と接線の距離は2なので、(0)を とすると、

としても求められます。

(3)

● は、ベクトル、 の内積です。

内積は、それぞれのベクトルの(大きさ)と(なす角の余弦)の積です。

余弦は、なす角が0度のとき最大値の1、なす角が180度のとき最小値の−1です。

ベクトル の大きさは一定の10です。

ベクトル の大きさの最大は、終点がＢのときです。(5+2＝7)

最大値は、最小値は

●直線ＡＣ を円�@と連立させると、

灰色は、原点に近い方の交点です。

よって、

最大値70のとき�@上の点は、�A上の点は 。

最小値−70のとき�@上の点は、�A上の点は 。

問題2

●

導関数の分母はθの値によらず正の値をとります。

分子は、

図のような鈍角のθのとき、分子は0になります。

また、ついでに、

よって、鈍角の余弦は負なので、

●

導関数は、θ＝0で正の値をとります。

上の図のような鈍角のθのとき0になります。

(このθを とします)

その後、負の値をとります。(θ＝πのときも負です)

グラフは、およそ下の図のようです。

よって、最大値は、最小値は1。

■ の最大・最小は、 と考えて、単位円の上半分を考えると、

点 と周上の点を結ぶ直線の傾きです。

最小の1は見て分かります。最大は、問題1(2)と同様の考えで求められます。

問題3

(1)

●

とおきます。

左の項は 、右の項は を頂点とする「Ｖ」字型のグラフになります。

この図から、最小値をとるｘは、−2から3の間のどこかになります。

●

導関数の分母はｘの値によらず正の値をとります。

分子が0となるｘを調べます。

は、つなぎの符号が「−」のときの解です。

導関数が0となるのは、 です。

	････		････
	減少		増加

よって、 のとき、最小値は となります。

■ は、点 と直線 上の点との距離と考えられます。

は、点 と直線 上の点との距離と考えられます。

最短は、点 と点 とを結んだ場合です。

(2)

● とおきます。

第1項は、 のとき最小値2をとります。

第2項は、 のとき最小値0をとります。

第3項は、、 のとき最小値1をとります。

Zの最小値は、 の範囲のときと考えられます。

・まず、ｘの変化について調べます。

導関数の分母は正の値をとります。

分子が0のときを調べます。

とすると、 です。（）

のとき、

はつなぎの符号がマイナスのときの解です。

●

をｚの式に代入します。

導関数の分母は正の値をとります。

分子が0のときを調べます。

はつなぎの符号がマイナスのときの解です。

これを に代入すると、 となるので、

これより、ｚを求めると、

最小値は、 のとき です。

参考までに値を計算してみます。

					和

■ 図のＰの座標を とします。

Ｐから、軸に平行な補助線を引き、左図のようにＱ、Ｒをとります。

です。

図のように、 です。

次に、右図のように対角線ＯＣを引きます。

ＯＣに平行な直線をＡとＢから引き、Ｑ、Ｒを決めます。

図のように2組の直角三角形が合同なので、 です。

として長さを計算すればよいことになります。

(3)

●

上の点Ｐの座標を とします。

ｙは0以上です。

とおきます。

導関数の分母は正の値をとります。

分子が0になるときを調べます。

は、つなぎの符号がマイナスのときの解です。

		･･･		････
		減少		増加

よって、 のとき、最小値 をとります。

■ Ｐの座標を とします。

よって、

ＰＡは と との距離と同じです。

ＰＢは と との距離と同じです。

直線ＣＤのｙ切片が と等しくなれば が最小となります。

NO5「三角定規」　　　　04/01 23時42分 受信 更新 4/2

寄せられた問題の解答です

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。