令和５年７月２３日
[流れ星]
第428回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：６月25日～７月23日＞
［連立方程式］
問題１ 次の連立３元２次方程式の解を求めよ。
ｘ２－ｙｚ＝２, ｙ２－ｚｘ＝３ , ｚ２－ｘｙ＝４
問題２ 次の連立５元３次方程式の解を求めよ。
ｘ３－ｙ３＝296 , ｙ３－ｚ３＝49.625 , ｚ３－ｕ３＝41.375
ｕ３－ｗ３＝33.875 , ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｕ＋ｗ＝29
ここでは,ｘ，ｙ，ｚ，ｕ，ｗは正の数，また, ｘ，ｙは整数とする。
出典 「岐阜県の算額の解説」髙木重之著から岐阜県大垣市上石津町時にある算額で題意は
下山村、打上村、上村、細野村、堂之村の5ヶ村で米を奉納するのに、打上村は下山村より296歩少なく、上村は打上村より49.625歩少なく、細野村は上村より41.375歩少なく、堂之村は細野村より33.875歩少ない。そして 5ヶ村で奉納したときの桝の１辺の合計は29尺であった。5ヶ村が奉納したときの桝の１辺の長さを求めよ。
追加問題１（出題者は「ジョーカー」）
第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」
シリーズの第９問目になります。
追加問題２（出題者は「ジョーカー」）
第427回からの「確率等」の問題シリーズの２問目です。
３軒Ａ，Ｂ，Ｃがこの順に並んだ家がある。各々が1年以内に火事を出す確率はａで, １軒が焼けたときその隣に類焼する確率はｂである。各々の家が1年以内に焼ける確率を求めよ。
NO1「スモークマン」 06/26
07時37分 受信 更新 7/23
問題１ 次の連立３元２次方程式の解を求めよ。
ｘ２－ｙｚ＝２, ｙ２－ｚｘ＝３ , ｚ２－ｘｙ＝４
回答
y=ax
z=bx
x^2-yz=x^2(1-ab)=2
x^2(a^2-b)=3
x^2(b^2-a)=4
so…
4(a^2-b)=3(b^2-a)
2(1-ab)=b^2-a・・・a=(b^2-2)/(1-2b)
So…
4(((b^2-2)/(1-2b))^2-b)=3(b^2-(b^2-2)/(1-2b))
4((b^2-2)^2-b(1-2b)^2)=3(b^2*(1-2b)^2-(b^2-2)(1-2b))
4b^4+5b^3-4b-5=0
(4b+5)(b^3-1)=0
b=-5/4, 1, ω,ω^2
a=-1/8,
a=b=1 のとき…x^2(1-ab)=0
を満たさない
また、b=ωのとき…1-ab=1-ω(ω^2-2)/(1-2ω)=1-(1-2ω)/(1-2ω)=0 で満たさない。
b=ω^2 も同じ。
So…
b=-5/4, a=-1/8
x^2(1-(5/4)(1/8))=2
x^2*(27/32)=2
so…
x^2=64/27
x=8√3/9 or -8√3/9
y=-√3/9, √3/9
z=-10√3/9, 10√3/9
結局…
(x,y,z)=( 8√3/9, -√3/9, -10√3/9), (-8√3/9,
√3/9, 10√3/9)
問題２ 次の連立５元３次方程式の解を求めよ。
ｘ３－ｙ３＝296 , ｙ３－ｚ３＝49.625 , ｚ３－ｕ３＝41.375
ｕ３－ｗ３＝33.875 , ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｕ＋ｗ＝29
ここでは,ｘ，ｙ，ｚ，ｕ，ｗは正の数，また,ｘ、ｙは整数とする。
x>y>z>u>w
x^3-y^3=296
(x-y)(x^2+xy+y^2)=296=2^3*37
(x-y){(x-y)^2+3xy}=2^3*37
So…x-y=1,2,4
x-y=1,1+3xy=296…整数にならない
x-y=2,4+3xy=148…x=8,y=6
x-y=4,16+3xy=74…整数にならない
so…
x=8,y=6 のときだけで
x^3-(z^3+49.625)=296・・・x^3-z^3=345.625
・・・z^3=8^3-345.625=166.375=55^3/1000…z=55/10
x^3-(u^3+41.375)=345.625・・・x^3-u^3=387
・・・u^3=8^3-387=125…u=5
x^3-(w^3+33.875)=387・・・x^3-w^3=420.875
・・・w^3=8^3-420.875=91.125=45^3/1000…w=45/10
8+6+55/10+5+45/10=19+10=29 でcompatible
結局…
(x,y,z,u,w)=(8,6,11/2,5,9/2)
追加問題１（出題者は「ジョーカー」）
「スモークマン」 07/01
13時01分 受信 更新 7/23
火事の問題の再考^2です。
燃えてない時を引くという余事象の考えて。
余事象でなければ...
P(B)=1-(1-a)(1-ab)^2
から、P(B)=a+(1-a)(2ab-a^2b^2)
となる^
A自身が燃えない確率=(1-a),
隣のBからの類焼がない確率
=1-(1-(1-a)(1-ab))b=a^2*b^2-a*b^2-a*b+1
So…
P(A)=P(C)=1-(1-a)( a^2*b^2-a*b^2-a*b+1)
でしょうか？
余事象を使わないアプローチの以下の式
a+(1-a)(1-(1-a)(1-ab))b=a(a^2b^2-2ab^2-ab+b^2+b+1)
と一致すること確認 ^^
びっくりするくらい複雑あるね ^^;
NO2「ジョーカー」 06/28
14時39分 受信 更新 7/23
寄せられた問題の解答です
「ジョーカー」 07/03
03時58分 受信 更新 7/23
寄せられた問題１の一般の解答です
NO3「kasama」
07/02
01時50分 受信 更新 7/23
寄せられた問題の解答です
このときのコメントです。
今回は連立方程式についての出題ですね。できるだけ簡単に解く方法を模索してみました。問題２の条件『ｘ、ｙは整数』は解を絞り込む上でとても助かりました。この条件がなくとも、解ける気がしますが、難度が大分上がると思います。
追加問題１の平面幾何は相変わらず難しいです。丙の半径は２つのやり方で求めてみました。答えは出したものの、美しい値ではなく、合っているのやら、間違っているのやら、？？？でした。そこで、AutoCADで作図したところ、それなりの円だったので、とりあえず良しとしました。
追加問題２は余事象を考えてアプローチしました。
ところで、今流行りのAI（ChatGPT）は、算数問題を解くらしいです。仕事でもAIと関わる機会が増えており、興味深く思ったので、今回の確率問題を解いてもらいました。問題文は（おそらく）きちんと認識して、それなりの論理的思考で取り組んでいるようですが。。。現段階では、私たち人間の方が数学的な思考力は勝っていそうです。ただ、AIには学習機能があるので、専門家が知識とスキルを教え込むことができます。そうなれば、将棋AIのように、初等数学レベルであれば、近いうちに的確な解答を出せるようになると思います。もしかすると、数学者を悩まし続けている未解決問題を解決に導く手助けをしてくれるかもしれませんね。
＜水の流れ：以下は 頂いた第428回(ChatGPT).の解です。解は間違い＞
NO4「よふかしのつらいおじさん」7/06 09時06分 受信 更新 7/23
問題1
(1)の三式を加え、両辺に
を掛けると、
●(1)の第一式はｘ倍、第二式はｙ倍、第三式はｚ倍すると、
(3)の三式を加えると、
(2)と(4)を比較して、
●(1)の第一式はｙ倍、第二式はｚ倍、第三式はｘ倍すると、
(6)の三式を加えると、
●（5）×3、（6）×5として、ｚを消去すると、ｋを定数として、
これを（6）に入れると、
まとめて、
これを（1）の第一式に入れると、
以上から、
問題2
●出典を読むと、解は正の実数で大きい順に、ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｗです。
ｘとｙの3乗の差の整数部分は、3桁です。
ｙ、ｚ、ｕ、ｗは隣り合う2数の3乗の差の整数部分が2桁です。
よって、ｘとｙの差は、他の4数の隣り合う2数の差より大きいと考えられます。
●3乗の差が小数第3位の末尾が5となっていることから、差が0.5の2数の3乗の差を調べてみます。
・ｙとｚの3乗の差は、49.625なので、
よって、
と考えられます。
・ｚとｕの3乗の差は、41.375なので、
よって、
と考えられます。
・ｕとｗの3乗の差は、33.875なので、
よって、
と考えられます。
以上から、
となります。
・
より、
確認すると、
となり問題と一致します。
まとめて、
となります。
追加問題1
●正三角形の内接円の半径を調べておきます。
1辺の長さを 
とすれば、高さは 
です。
よって、面積Ｓは、
一方、内接円の半径をｒとすれば、面積Ｓは、
上の結果と比べて、
つまり、正三角形の内接円の半径は、高さの1/3です。
●円、甲と乙の半径ｋとｔを求めます。
正三角形の1辺の長さと円弧の半径が1なので、
円弧の中心をＱとすれば、
・正三角形ＡＤＥの高さＡＨは、
円甲は、正三角形ＡＤＥの内接円なので、半径ｋは、
・正三角形ＡＦＧの高さＡＪは、
(円甲の半径と同じ値になります)
円乙は、正三角形ＡＦＧの内接円なので、半径ｔは、
●円丙の半径ｈを求めます。
図のように座標軸をとります。
円丙の中心を 
とします。
円甲の半径は、
です。
円甲の中心は、
半径1の円弧の中心は、
正三角形の頂点の座標は、
直線ＡＣの方程式は、
●
ＰＫ2 を考えて、
ＰＱ2 を考えて、
点Ｐと直線ＡＣとの距離ｈより、
（点Ｐが直線からみて、原点と同じ方にあるので）
(1)－(2)でｙとｈの1次方程式を作ります。
(4)を(3)に入れると、
(4)と(5)を(2)に入れて、ｈの1次方程式を作ります。
1重下線部分は、
2重下線部分は、
よって、
ｈの2次方程式を解くと、
根号内は、
よって根号部分は、
に習って、2重根号を外します。
ａとｂの最大公約数をｇとすると、
です。
（カッコ内）の2数は互いに素です。
です。
と考えて、
以上から、
よって、
(+)の場合は、
(-)の場合は、
よって、(-)の場合が解と」なります。
「よふかしのつらいおじさん」7/06 17時34分 受信 更新 7/23
追加問題2
●類焼がない場合、各家の出火の様子は次のようです。
例えば、Ｂから出火する確率は、｛あ、い、お、か｝の場合の積の確率を合計すると、
となります。
●次に類焼がある場合を考えます。
類焼は隣が出火したときに考えられます。
同じひらがなの部分の積の和は、上の類焼のない場合のものと同じになります。
・Ａが焼ける確率は、
・Ｂが焼ける確率は、
・Ｃが焼ける確率は、
Ａと同じになります。
「よふかしのつらいおじさん」のコメント
しかし、ＡとＣの答えは現在自分の間違いの部分が見つかりません。
自分の解答：
a+ ab+ ab^2- a^2b+(-2a^2b^2+ a^3b^2)
ジョーカーさんの解答：
a+ ab+ ab^2- a^2b+(-a^2b^2- a^2b^3+a^3b^3)
カッコの部分が違います。
疑問は、ｂについて3乗が出てくることです。
類焼は出火した家は関係ありません。
その家にｂが出てくることはないと思います。
ｂについては、2乗が最大だと思います。
「よふかしのつらいおじさん」7/21 21時52分 受信 更新 7/23
＜コメント：追加問題2について、確率をどう考えるかが難しかったです。＞
・類焼は、自分が火事を出さないとき(1－ａ)に起きるのか、
・隣からの類焼を免れた(1－ｂ)とき、自分から出火する(ａ)ことはあるのか、
・類焼の場合、時間をおいて類焼することがあるとすると、出火との関係はどうなるのか、
など、いろいろ考えました。
再度の解答のようにすると、わかりやすくなりました。
最初の解答は、同時に3軒がさいころをふるようにいっぺんに出火等が起きるという考えでした。
追加問題2
●確率について、次のように考えます。
「各々の家が1年以内に火事を出す確率ａ」について、
1年という幅があるので、A、B、Cの3軒が火事を出すとしても同時ではないとします。
「1軒が焼けたときその隣に類焼する確率ｂ」について、
1軒が焼けたとき、その隣が類焼する場合はすぐに燃え移り、そうでない場合は、その出火では類焼しないとします。
●先ず、Ａが出火する場合を考えます。
・Aから出火すると、確率ａの事象が起こったことになります。
次にＢからの類焼の確率を考えます。
このとき、残りの(1－ａ)を全体とします。
Ｂから出火(ａ)し、Ａに類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)ａｂとなります。
さらに、Ｃからの類焼の確率を考えます。
このとき、残りの(1－ａ)－(1－ａ)ａｂ＝(1－ａ)(1－ａｂ)を全体とします。
Ｃから出火(ａ)し、Ｂに類焼(ｂ)し、Ａに類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)(1－ａｂ)ａｂｂとなります。
よって、Ａの焼ける確率は、
ａ＋(1－ａ)ａｂ＋(1－ａ)(1－ａｂ)ａｂｂとなります。
・BではなくCからの類焼を先に考えてみます。
このとき、残りの(1－ａ)を全体とします。
Cから出火(ａ)し、Bに類焼(ｂ)し、さらにＡに類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)ａｂｂとなります。
次に、Ｂからの類焼の確率を考えます。
このとき、残りの(1－ａ)－(1－ａ)ａｂｂ＝(1－ａ)(1－ａｂｂ)を全体とします。
Ｂから出火(ａ)し、Ａに類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)(1－ａｂｂ)ａｂとなります。
よって、Ａの焼ける確率は、
ａ＋(1－ａ)ａｂｂ＋(1－ａ)(1－ａｂｂ)ａｂ＝ａ＋(1－ａ){ａｂｂ＋(1－ａｂｂ)ａｂ}
＝ａ＋(1－ａ){ａｂ＋ａｂｂ－ａｂｂ・ａｂ}＝ａ＋(1－ａ){ａｂ＋（1－ａｂ）ａｂｂ}
＝ａ＋(1－ａ)ａｂ＋(1－ａ)(1－ａｂ)ａｂｂ
となります。
・上の結果は、A→B→Cの順番でも、A→C→Bの順番でも同じ結果を示します。
同様に、BやCが最初に出火しても、順番に関係なく同じ結果になります。
また、Cが焼ける確率は、Aの確率と同じになります。
●次にBが焼ける確率を調べます。
先ず、Bが出火したとすると、確率ａの事象が起こったことになります。
このとき、残りの(1－ａ)を全体とします。
Ａから出火(ａ)し、Bに類焼(ｂ)に類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)ａｂとなります。
さらに、Ｃからの類焼を考えます。
このとき、残りの(1－ａ)－(1－ａ)ａｂ＝(1－ａ)(1－ａｂ)を全体とします。
Ｃから出火(ａ)し、Bに類焼(ｂ)に類焼(ｂ)するので、確率は、(1－ａ)(1－ａｂ)ａｂとなります。
よって、Ｂが焼ける確率は、
ａ＋(1－ａ)ａｂ＋(1－ａ)(1－ａｂ)ａｂ
となります。
NO5「三角定規」 07/21 21時31分 受信 更新 7/23
寄せられた問題の解答です。
＜水の流れ：追加問題１の丙の半径がコンピュータからの解ですが、なぜか答と違っていると思われます。＞
「三角定規」 07/23
20時06分 受信 更新 7/24
追加問題１の丙の半径で修正された解答です
<コメント：筆算で解こうといくらか努力はしたのですが，余りの煩雑さに匙を投げた結果でした。
Wolfram の出力を手で３分割し再度 Wolfram にかけてみると，添付のように二重根号が外れ正解の形と一致しました。
無料版 WolframAlpha は今回のように，計算を最後までやってくれなかったり，計算そのものを拒否してしまったりすることがたまにあります。
「水の流れ」 更新 7/23
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。
