令和６年４月２８日

[流れ星]

　　第440回数学的な連続応募解答

　　　＜解答募集期間：３月３１日〜４月２８日＞

「極限値］

防衛医科大学は防衛医科大学校の誤りでした。ここに訂正します。4月1日記

追加問題（出題者は「ジョーカー」）

新シリーズ（正三角形の辺や円弧によって囲まれる図形内の3円の半径について）２問目

問題1

問題２(第427回からの「確率等」の問題シリーズの11問目)

NO1「ジョーカー」 　 4/1 　　 20時18分 受信 更新 4/28

　寄せられた解答です

NO2「kasama」 4/6 22時26分　　 受信 更新 4/28

寄せられた解答です

NO3「三角定規」　　　　4/7 9時42分　 受信 更新 4/28

寄せられた解答です

NO4「よふかしのつらいおじさん」 4/10 17時06分 受信 更新 4/28

寄せられた解答です

NO5「二度漬け白菜」 4/21 14時49分　 受信 更新 4/28

[問題1] 

P_nをnの式で表すと，P_n = n*(n+1)*(n+5)/6．

P_n

=[x^3](x^2+x+1)^(n+1)

=[x^3]((1-x^3)/(1-x))^(n+1)

=[x^3](1-x^3)^(n+1)*(1-x)^(-n-1)

=[x^3](1-x)^(-n-1) + (n+1)*(-1)*[x^0](1-x)^(-n-1)

=binomial(-n-1,3)*(-1)^3-(n+1)*binomial(-n-1,0)*(-1)^0

=(-n-1)*(-n-2)*(-n-3)/3!*(-1)-(n+1)*1*1

=(n+1)*(n+2)*(n+3)/6-(n+1)

=n*(n+1)*(n+5)/6.

(1)

lim[n→∞](1/n^4)*Σ[k=1..n]P_k = 1/24 (答)

f(n)=(1/24)*n*(n-1)*(n-2)*(n-3)+(1/2)*n*(n-1)*(n-2)+n*(n-1)

とおくと，

f(k+1)-f(k)

=k*(k+1)*(k+5)/6

=P_k

となることがわかる．

よって，

lim[n→∞](1/n^4)*Σ[k=1..n]P_k

=lim[n→∞](1/n^4)*Σ[k=1..n](f(k+1)-f(k))

lim[n→∞](1/n^4)*(f(n+1)-f(1))

=(1/24).

(2)

lim[n→∞]Σ[k=1..n]1/P_k = 163/200 (答)

f(n)=(-15*(n-1)*(n-2)*(n-3)-195*(n-1)*(n-2)-645*(n-1)-489)/(5*n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4))

とおくと，

f(k+1)-f(k)=(1/P_k)=6/(k*(k+1)*(k+5))

となることがわかる．

よって，

lim[n→∞]Σ[k=1..n]1/P_k

=lim[n→∞]Σ[k=1..n](f(k+1)-f(k))

=lim[n→∞](f(n+1)-f(1))

=0-f(1)

=489/(5*5!)

=163/200.

[問題2] 

求める極限値は，(27/4)*exp(-1) (答)

A(n)=(1/n)*((3*n)!/(2*n)!)^(1/n) とおく．

A(n)

=((1/n)^n*Π[k=1..n](2*n+k))^(1/n)

=(Π[k=1..n](2+k/n))^(1/n)

=Π[k=1..n](2+k/n)^(1/n).

よって，

log(A(n))

=log(Π[k=1..n](2+k/n)^(1/n))

=(1/n)*Σ[k=1..n]log(2+k/n).

よって，

lim[n→∞]log(A(n))

=∫_[x=0..1](log(2+x))dx

=3*log(3)-1-2*log(2)

=log((27/4)*exp(-1)).

よって，

(与式)

=lim[n→∞]A(n)

=(27/4)*exp(-1).

[追加問題 1]

甲円の半径は，-4+3*2^(1/2) (答)

甲円の半径を r とする．

xy直交座標を設定して考える．

頂点A,B,Cの座標がそれぞれ，

A(1/2,(1/2)*3^(1/2)),

B(0,0),

C(1,0)

となるようにする．

その中心が点Bに最も近い甲円を円Dとし，円Dの中心をDとする．

対称性により，Dは∠ABCの二等分線：y=x/3^(1/2) 上にあるので，Dの座標は，

D(t,t/3^(1/2)) (0<t<1/2)

とおける．さらに，対称性により，

円Dは線分BCの垂直二等分線: x=1/2 に接する．よって，

t+r=1/2 ---(1)

また，円Dは点Cを中心とする半径1の円：(x-1)^2+y^2=1に内接する．

よって，

((1-t)^2+(-t/3^(1/2))^2)^(1/2)+r=1 ---(2)

(1),(2)から，

t=(1/2)*(9-6*2^(1/2)),

r=3*2^(1/2)-4.

[追加問題 2]

求める期待値は，(7/6)^5 = 16807/7776 (答)

F=(1/6)*(t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)

とおく．

上がりとなるまでに要する，さいころを振る回数を X とする．

Xの期待値 E(X) は以下のようにして計算できる．

E(X)

=Σ[k=1..∞]k*P(X=k)

=Σ[k=1..∞](Σ[j=1..k]1)*P(X=k)

=Σ[j=1..∞]Σ[k=j..∞]P(X=k)

=Σ[j=1..∞]P(X≧j)

=Σ[j=0..∞]P(X>j)

=[t^0](Σ[j=0..∞]F^j)+[t^1](Σ[j=0..∞]F^j)+...+[t^5](Σ[j=0..∞]F^j)

=[t^5](Σ[j=0..∞]F^j)/(1-t)

=[t^5]1/((1-F)*(1-t))

=[t^5]1/(1-(7*t/6)+t^7/6)

=[t^5]Σ[r=0..∞]((-t^7/6)^r)/(1-(7*t/6))^(r+1)

=[t^5]1/(1-(7*t/6))

=(7/6)^5.

一般には次のようになりました．

m,Sを正整数とする．

m 種類の出目 1,2,3,…,m を持つダイスがある．

(どの目も1/mの確率で出るものとする)

このダイスを，出目の和がS以上になるまで振り続ける．

振る総回数 X の期待値を E(m,S) とする．

E(m,S)の計算は以下のようにできる．

F=(1/m)*(t+t^2+t^3+…+t^m)とおく．

E(m,S)

=Σ[k=1..∞]k*P(X=k)

=Σ[k=1..∞](Σ[j=1..k]1)*P(X=k)

=Σ[j=1..∞]Σ[k=j..∞]P(X=k)

=Σ[j=1..∞]P(X≧j)

=Σ[j=0..∞]P(X>j)

=[t^0](Σ[j=0..∞]F^j)+[t^1](Σ[j=0..∞]F^j)+...+[t^(S-1)](Σ[j=0..∞]F^j)

=[t^(S-1)](Σ[j=0..∞]F^j)/(1-t)

=[t^(S-1)]1/((1-F)*(1-t))

=[t^(S-1)]1/(1-(1+1/m)*t+t^(m+1)/m)

=[t^(S-1)]Σ[r=0..∞]((-t^(m+1)/m)^r)/(1-(1+1/m)*t)^(r+1)

=Σ[r=0..floor((S-1)/(m+1))]binomial(s-1-m*r,s-1-(m+1)*r)*(-1/m)^r*(1+1/m)^(s-1-(m+1)*r).

特に S≦m+1の場合には，

E(m,S)=(1+1/m)^(S-1).

(以上)

「スモークマン」 4/24 08時00分　 受信 更新 4/28

追加問題2

kマスのときのサイコロを振る期待値をP(k)とする。

P(6)

=(1/6){1+(1+P(5))+(1+P(4))+(1+P(3))+(1+P(2))+(1+P(1))}

=(1/6){6+P(5)+P(4)+P(3)+P(2)+P(1)}

=16807/6^5=7^5/6^5=2.16…

P(5)

=(1/6){2+(1+P(4))+(1+P(3))+(1+P(2))+(1+P(1))}

=(1/6){6+P(4)+P(3)+P(2)+P(1)}=2401/6^4

P(4)=(1/6){6+P(3)+P(2)+P(1)}=343/6^3

P(3)=(1/6){6+P(2)+P(1)}=49/6^2

P(2)=(1/6){6+P(1)}=7/6

P(1)=1

下から、逆に求めた ^^

So…P(6)=7^5/6^5≒2.16から、3回ということになるのかな？

「スモークマン」 4/24 09時05分　 受信 更新 4/28

(11)

P(n)=(n+1)C1*nC1+(n+1)C3

=(n+1)n+(n+1)n(n-1)/6

=(n+1)n(n+5)/6

=n^3/6+6n^2/6+5n/6

Σ[k=1,n]P(k)

=(1/6){((n(n+1)/2)^2+n(n+1)(2n+1)+5n(n+1)/2)

=(1/24)n(n+1)(n+2)(n+7)

So…

lim[n→∞]ΣP(k)/n^4=1/24　正解　

(12)

1/P(k)

=24/(k(k+1)(k+2)(k+7))

=4{1/(k(k+1)(k+2)-1/((k+1)(k+2)(k+7)))

So…

lim[n→∞]1/P(k)

=4/3!

=2/3　　不正解

(2)

log((3n/n)*((3n-1)/n)*…*((3n-(2n-1))/n)^(1/n)

=(1/n)(log3+log(2+(n-1)/n)+log(2+(n-2)/n)+…+log(2+1/n))

=∫[0,1]log(2+x)dx

=(-x+xlog(x+2)+2log(x+2))[0,1]

=-1+3log3-2log2

=log(27/(4e))

So…

与式=27/(4e)　正解

「水の流れ」　　　　　　　　　　　　　　　　　受信 更新 4/14

5月20日に「ジョカー」さんから送られてきた訂正です。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。