令和６年１２月８日
[流れ星]
第448回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：11月10日～12月8日＞
［入試問題の改題］
問題１ 2021年関西大学（理系）入試問題の改題
問題２ 2024年名古屋市立大学（医学部）入試問題の改題
問題３ 2004年東京大学文Ⅰ・理Ⅰ入試問題の改題
ｘｙ平面の放物線ｙ＝ｘ２上の３点Ｐ，Ｑ，Ｒが次の条件を満たしている。
「三角形ＰＱＲは1辺の長さaの正三角形であり、点Ｐ，Ｑを通る直線の傾きは１である。」 このとき,aの値を求めよ。
追加問題（出題者は「ジョーカー」） 新作シリーズ３,４問目
問題1
問題２
NO1「ジョーカー」 11/10 16時01分 受信 更新 12/8
寄せられた解答です
NO2「スモークマン」 11/11 00時44分 受信 更新 12/8
問題1 2021年関西大学（理系）入試問題の改題
f(θ)
=sin^2(θ)+1+1/(4sin^2θ)+cos^2(θ)+1/2+1/(16cos^2(θ))
=5/2+(1/(2sin(θ))^2+1/(4cos(θ))^2)
sin^2(θ)=t, cos^2(θ)=1-t
(1/(2sin(θ))^2+1/(4cos(θ))^2)
=1/(4t)+1/(16(1-t))
=(1/16)(4/t+1/(1-t))
f(t)=4/t+1/(1-t)
f’(t)
=-4/t^2+1/(1-t)^2
=(-4(1-t)^2+t^2)/(t^2*(1-t)^2)
=(-3t^2+8t-4)/(t^2*(1-t)^2)
=-(3t-2)(t-2)/(t^2*(1-t)^2)
=0
0<t<1
t 0 2/3 1 2
f(t) + 0 +
so…t=2/3 のとき最小値=4/(2/3)+1/(1/3)=9
So…
Min{f(θ)}=5/2+9/16=49/16, sin(θ)=√6/3 のとき。
問題2 2024年名古屋市立大学（医学部）入試問題の改題
(1)
3^n-2^n
3,9,7,1の周期
2,4,8,6の周期
So…4周期で
1,5,-1,-5
つまり、
n=4k+1のとき1
n=4k+2 のとき 5
n=4k+3 のとき 9
n=4k のとき 5
(2)
3^n-2^n+4n
4n…4,8,2,6,0 の5周期
1,5,-1,-5の4周期とで以下の20周期
4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0
1 5 9 5 1 5 9 5 1 5 9 5 1 5 9 5 1 5 9 5
5 3 1 1 1 9 7 7 7 5 3 3 3 1 9 9 9 7 5 5
r(s)=7 は
20個のうち7,8,9,18番目の4個
So…
n=20(m-1)+7,8,9,18
so…
a(2024)は、
2024/4=506
2024は4の倍数だから
So…
n=18＋20*（506-1）=10118
問題３ 2004年東京大学文Ⅰ・理Ⅰ入試問題の改題
ｘｙ平面の放物線ｙ＝ｘ２上の３点Ｐ，Ｑ，Ｒが次の条件を満たしている。
「三角形ＰＱＲは1辺の長さaの正三角形であり、点Ｐ，Ｑを通る直線の傾きは１である。」 このとき,aの値を求めよ。
P(p,p^2)
Q(q,q^2)
R(x,x^2)
p<q
(q^2-p^2)/(q-p)=q+p=1
p<q, p+q=1, (p-q)^2+(p^2-q^2)^2=a^2, x^2-(p^2+q^2)/2=-(x-(p+q)/2), (x-p)^2+(x^2-p^2)^2=a^2
(p-q)^2+(p-q)^2=a^2
2(p-q)^2=a^2
p+q=1
より、
p^2+q^2=(a^2+2)/4
(x-p)^2+(x^2-p^2)^2-((x-q)^2+(x^2-q^2)^2)=0
より、
p^4-q^4+p^2-q^2-2x^2(p^2-q^2)-2x(p-q)=0
(p^2+q^2)+1-2x^2-2x=0
2x^2+2x=(a^2+2)/4+1
((x+p+q)/3-x)^2+(((x^2+p^2+q^2)/3-x^2)^2=a^2/3
((1-2x)/3)^2+(((a^2+2)/4-2x^2)/3)^2=a^2/3
So…
((1-2x)/3)^2+(((a^2+4)/8-(a^2+4)/8+1-2x)/3)^2=a^2/3
より
(1-2x)^2=3a^2/2
2(1-2x)^2=3a^2
8x^2-8x=3a^2-2
8x^2+8x=(a^2+2)+4=a^2+6
3a^2=8x^2-8x+2=(8x^2+8x-6)*3
より、
x=1/2, -5/2
a^2=8x^2+8x-6=0, 24
so…
a=2√6
このとき、
2(p-q)^2=(2√6)^2 , p+q=1
より
P=((1-2√3)/2,(13-4√3)/4)
Q=((1+2√3)/2,(13+4√3)/4)
((1+2√3)/2-(1-2√3)/2)^2+(((1+2√3)/2)^2-((1-2√3)/2)^2)^2
=24=(2√6)^2
R=(-5/2,25/4)
25/4-13/4=3
-(-5/2-(1/2))=3
(-5/2-(1-2√3)/2)^2+(25/4-(13-4√3)/4)^2=24
で満たしてる ^^
追加問題１
＜水の流れ：丙の1辺の値は丁の１辺です＞
NO3「二度漬け白菜」 11/24 10時46分 受信 更新 12/8
[問題1]
f(θ)の最小値は 49/16 (答)
f(θ)=(sin(θ)+1/(2*sin(θ)))^2+(cos(θ)+1/(4*cos(θ)))^2
=5/2+(1/16)*(4-3*(sin(θ))^2)/((sin(θ))^2*(1-(sin(θ))^2)).
ここで，t=4-3*(sin(θ))^2 とおく．
0<(sin(θ))^2<1 であることより，1<t<4.
f(θ)をtの式で表すと，
f(θ)=5/2+(9/16)*(1/(-(t-1)*(t-4)/t)).
-(t-1)*(t-4)/t>0であることを考えると，
f(θ)が最小
⇔ -(t-1)*(t-4)/t が最大
⇔ 5-(t+4/t) が最大
⇔ (t+4/t) が最小
⇔ t=2
である．
t=2は，sin(θ)=(2/3)^(1/2)のとき実現する．
[問題2]
(1) 3^n-2^nを10で割った余りは，
n≡1(mod 4)のとき，1
n≡2(mod 4)のとき，5
n≡3(mod 4)のとき，9
n≡0(mod 4)のとき，5 (答)
(2) a[2024]=10118. (答)
3^1≡3,3^2≡9,3^3≡7,3^4≡1,3^5≡3,…
2^1≡2,2^2≡4,2^3≡8,2^4≡6,2^5≡2,…
であるから，
3^1-2^1≡1,
3^2-2^2≡5,
3^3-2^3≡-1≡9,
3^4-2^4≡-5≡5,
3^5-2^5≡1,
(以下周期4で繰り返し)
4*1≡4,4*2≡8,4*3≡2,4*4≡6,4*5≡0,
4*6≡4,4*7≡8,4*8≡2,4*9≡6,4*10≡0,
(以下周期5で繰り返し)
n=1,2,3,…に対するr[n]の値を順に並べると，
次のように周期20で繰り返すことがわかる．
r[n]=
5,3,1,1,1,9,7,7,7,5,3,3,3,1,9,9,9,7,5,5,
5,3,1,1,1,9,7,7,7,5,…
1周期の中に，r[n]=7となるようなnは4つある．
r[n]=7となるようなnを小さい順に，4つずつのブロックに並べると，
7,8,9,18 | 27,28,29,38 | 47,48,49,58 |
67,68,69,78 | …
k個目のブロックに並ぶ4つの数は，
20*(k-1)+7, 20*(k-1)+8, 20*(k-1)+9,
20*(k-1)+18
である．
よって，a[m]をmの式で表すと，
a[m]
=20*floor((m-1)/4)
+7*(1+floor((m-1)/4)+floor(-(m-1)/4))
+8*(1+floor((m-2)/4)+floor(-(m-2)/4))
+9*(1+floor((m-3)/4)+floor(-(m-3)/4))
+18*(1+floor((m-4)/4)+floor(-(m-4)/4)).
この式を使ってa[2024]の値を計算すると，
a[2024]=10118.
[問題3]
a=2*6^(1/2) (答)
xy平面を複素平面と同一視して考える．
点P,Q,Rを表す複素数を z_P,z_Q,z_R とする．
z_P=p+i*p^2,
z_Q=q+i*q^2
とかける．ここで p≠q である．
(点Pと点Qは異なる点である．p=qだとすると，PとQは一致することになる)
直線PQの傾きが1であるから，
(p^2-q^2)/(p-q)=1. よって，p+q=1.
z_R=(z_Q-z_P)*(cos(π/3)+i*sin(π/3))+z_P
=(1/2)*(q-p)(1+i*(q+p))*(1+i*3^(1/2))+(p+i*p^2)
=(1/2)*(1-2*p)*(1+i)*(1+i*3^(1/2))+(p+i*p^2)
=(1/2)*(1-2*p)*(1-3^(1/2))+p+i*((1/2)*(1-2*p)*(1+3^(1/2))+p^2).
Rはy=x^2上の点であるから，
(1/2)*(1-2*p)*(1+3^(1/2))+p^2=((1/2)*(1-2*p)*(1-3^(1/2))+p)^2.
よって，(1-2*p)*(p+3^(1/2)-1/2)=0.
ここで，1-2*p≠0である．
(1-2*p=0だとすると，p=1/2となる. p+q=1とから，q=1/2.
つまり，p=qとなって，不合理)
よって，
p=1/2-3^(1/2).
a=2^(1/2)*|q-p|=2^(1/2)*|1-2*p|=2*6^(1/2).
[追加問題1]
甲の一辺の長さは，(1/4)*((12)^(1/4)+1-3^(1/2))，
乙の一辺の長さは，(1/4)*(-(12)^(1/4)+3+3^(1/2)),
丙の一辺の長さは，((3/4)*3^(1/2)+1-(3/8)*((108)^(1/4)+(12)^(1/4)))^(1/2)，
丁の一辺の長さは，((1/4)*(9-3*3^(1/2)))^(1/2)-((1/4)*(1+3^(1/2)))^(1/2).
第447回[追加問題2]の解答で使用した図をそのまま使う．
甲の一辺の長さを a とおく．
正三角形丁のz_3以外の2つの頂点のうち，虚軸上にない点を z_4とする．
z_1=(1/2)*(a+i*a*3^(1/2)),
z_2=(1/2)*((1+a)+i*(1-a)*3^(1/2))，
z_3=(z_2-z_1)*(cos(π/3)+i*sin(π/3))+z_1
=((4*a-1)/2)+i*((1/2)*3^(1/2)).
z_4=(i-z_3)*(cos(-π/3)+i*sin(-π/3))+z_3
=(1/2)*(2*a+3^(1/2)-2)+i*(a*3^(1/2)+1/2).
|z_4|=1より，
((1/2)*(2*a+3^(1/2)-2))^2+((a*3^(1/2)+1/2))^2=1.
これを解いて，
a=(1/4)*((12)^(1/4)+1-3^(1/2)).
(=0.2822897…)
(丙の一辺の長さ)=|z_2-z_1|=((3/4)*3^(1/2)+1-(3/8)*((108)^(1/4)+(12)^(1/4)))^(1/2),
(丁の一辺の長さ)=|i-z_3|=((1/4)*(9-3*3^(1/2)))^(1/2)-((1/4)*(1+3^(1/2)))^(1/2).
[追加問題2]
(1) AD=1+2*cos((360/7)°)，
(2) DH=2*cos(45°)，
(3) AH=2*cos((90/7)°) (答)
α=(1/7)*90°とおく．
任意の整数 k に対して，等式
sin(k*α)=cos(90°- k*α)=cos(7*α-k*α)=cos((7-k)*α)
が成り立つ．
以下，この等式を断りなしに使う．
・まず，ADを求める：
線分DEの中点をMとする．
∠DOE=(1/7)*360°= 4*α であることより，
∠DAM=(1/2)*(∠DAE)=(1/2)*(1/2)*(∠DOE)=α.
これより，ADは次のように計算できる．
AD
=DM/sin(∠DAM)
=(1/2)/sin(α)
=1/(2*sin(α)) ---(★)
=cos(α)/(2*sin(α)*cos(α))
=sin(6*α)/sin(2*α)
=(sin(6*α)-sin(2*α)+sin(2*α))/sin(2*α)
=(2*sin(2*α)*cos(4*α)+sin(2*α))/sin(2*α)
=2*cos(4*α)+1.
・次に，AHを求める：
∠MAH=∠BAH-∠BAM =90°- 5*α=2*α.
∠EAH=∠MAH-∠MAE =2*α-α=α.
∠AEH=∠AEG+∠GEF =2*α+2*α=4*α.
∠AHE=180°-(∠EAH+∠AEH)=14*α-(α+4*α)=9*α.
ΔAEHに正弦定理を用いて，
AH/sin(4*α)=AE/sin(9*α).
よって，
AH=AE*(sin(4*α)/sin(9*α))
=AE*(cos(3*α)/cos(-2*α))
=AD*(cos(3*α)/cos(2*α))
=cos(3*α)/(2*sin(α)*cos(2*α)) (∵(★)より，AD=1/(2*sin(α)))
=cos(3*α)*cos(α)/(2*sin(α)*cos(α)*cos(2*α))
=cos(3*α)*cos(α)/(sin(2*α)*cos(2*α))
=cos(3*α)*cos(α)/((1/2)*sin(4*α))
=cos(3*α)*cos(α)/((1/2)*cos(3*α))
=2*cos(α).
・次に，DHを求める：
∠DAH=∠DAM+∠MAH=α+2*α=3*α.
ΔADHに正弦定理を用いて，
DH^2
=AD^2+AH^2-2*AD*AH*cos(∠DAH)
=(1/(2*sin(α)))^2+(2*cos(α))^2-2*(1/(2*sin(α)))*(2*cos(α))*cos(3*α)
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*(2*sin(α)*cos(α))^2-4*2*sin(α)*cos(α)*cos(3*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*(sin(2*α))^2-4*sin(2*α)*cos(3*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*(cos(5*α))^2-4*cos(5*α)*cos(3*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*cos(5*α)*(cos(5*α)-cos(3*α)))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1-8*cos(5*α)*sin(4*α)*sin(α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1-8*cos(5*α)*cos(3*α)*cos(6*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1-4*(cos(8*α)+cos(2*α))*cos(6*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1-4*(-cos(6*α)+cos(2*α))*cos(6*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*(cos(6*α))^2-4*cos(2*α)*cos(6*α))
=(1/(2*sin(α)))^2*(1+4*(sin(α))^2-4*cos(2*α)*cos(6*α))
=1+(1/(2*sin(α)))^2*(1-4*cos(2*α)*cos(6*α))
=1+(1/(2*sin(α)))^2*(1-4*cos(2*α)*sin(α))
=1+(1/(4*sin(α)*cos(α)*sin(α)))*cos(α)*(1-4*cos(2*α)*sin(α))
=1+(1/(4*sin(α)*cos(α)*sin(α)))*(cos(α)-4*cos(2*α)*sin(α)*cos(α))
=1+(1/(2*sin(2*α)*sin(α)))*(cos(α)-sin(4*α))
=1+(1/(2*sin(2*α)*sin(α)))*(cos(α)-cos(3*α))
=1+(1/(2*sin(2*α)*sin(α)))*2*(sin(2*α)*sin(α))
=1+1
=2.
よって，DH=2^(1/2).
(以上)
＜水の流れ：答えに至る計算過程に苦労の跡が伺えます。大変な気力が必要です。感謝します。＞
NO4「kasama」 11/25 00時59分 受信 更新 12/8
寄せられた解答です
＜水の流れ： 補足１・２で 計算過程、補足３で
ｎ倍角の公式記述してあり、参考になります。＞
NO5「よふかしのつらいおじさん」 11/29 17時02分 受信 更新
12/8
寄せられた解答です
＜水の流れ：追加問題１の丙の値がジョカーさんと結果が合値していなかったので、「よふかしのつらいおじさん」に尋ねてみました。
「よふかしのつらいおじさん」 11/30 17時35分 受信 更新
12/8
＜水の流れ：返事です。途中まで検算したのですが、最後まで出来なくて申し訳ありません。＞
NO6「三角定規」 12/4 15時23分 受信 更新 12/8
寄せられた解答です
今回ですが，《追加》の[問題２]に苦労しました。
「やればできるだろう」などと高をくくっていたのですが…！
(1)はすぐ出来ましたが，(2)(3)で頓挫！
答の形が(2)(3)ともに 2cos□ なので，その形にもっていこうと苦戦した結果がレポートでした。
AH の方は図形的に何とかなりましたが, DH＝2cos(π/4) の図形的な意味は未だに？です。
皆様の鮮やかな解答に期待します。
「水の流れ」 更新 12/8
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。
