令和８年３月１日

[流れ星]

　　第464回数学的な連続応募解答

　　　＜解答募集期間：２月１日〜３月１日＞

［2026の雑題(2)］

　

追加問題（出題者は「ジョーカー」）　新作シリーズ

四分円内の正方形と正三角形の1辺について『３』　

問題１　　シリーズ７問目

正方形と正三角形の1辺が異なる（ａ＞ｂ),

問題２　シリーズ８問目

正方形と正三角形の1辺が異なる（ａ＞ｂ),

NO1「ジョーカー」 　 　　 2/1　　　18時31分 受信 更新 3/1

寄せられた解答です

NO2日曜数学者」 2/1　　　22時24分 受信 更新 3/1 　　　　　　　　　　

問題4

[解答]

(mod 3)で考えると、

      2026≡1 (mod 3), 2027≡2 (mod 3)

より、

     2026^20+2027≡1^20+2≡1+2≡3≡0 (mod 3)

である。

よって、2026^20+2017は3より大きく、3で割り切れるので、合成数である。

[別解1]

(mod 17)で考えると、

   2026≡3 (mod 17),  2027≡4 (mod 17)

である。

また、17は素数なので、Fermatの小定理より、

　　3^16≡1 (mod 17)

である。

　　2026^20≡3^20≡(3^16)*(3^4)≡81≡13 (mod 17)

より、

     2026^20+2027≡13+4≡17≡0 (mod 17)

である。

よって、2026^20+2027は17より大きく、17で割り切れるので、合成数である。

[別解2]

f(x)=x^20+x+1,ω=(-1+√(-3))/2とおくと、ωはx^2+x+1の根であり、ω^3=1である。

　f(ω)=ω^20+ω+1=(ω^3)^6*ω^2+ω+1=1^6*ω^2+ω+1=ω^2+ω+1=0 より、

　整数係数20次多項式f(x)は根ωおよびωのconjugateを根に持つので、x^2+x+1で割り切れる。

実際に割り算を実行すると、

     f(x)=(x^2+x+1)*(x^18 - x^17 + x^15 - x^14 + x^12 - x^11 + x^9 -

x^8 + x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1)

となる。

ここで、x=2026とすると、

　　2026^18 - 2026^17 + 2026^15 - 2026^14 + 2026^12 - 2025^11 + 2026^9 -

2026^8 + 2026^6 - 2026^5 + 2026^3 - 2026^2 + 1

     =(2026^17+2026^14+2026^11+2026^8+2025^5+2026^2)*2025+1

は、1より大きい整数である。

よって、2026^20+2027=f(2026)は、2026^2+2+2026+1より大きく、2026^2+2026+1で割り切れるので、合成数である。

[参考]

素因数分解すると、

　　2026^2+2026+1=4106703=3*61*22441,

    2026^18 - 2026^17 + 2026^15 - 2026^14 + 2026^12 - 2025^11 + 2026^9

- 2026^8 + 2026^6 - 2026^5 + 2026^3 - 2026^2

+

1=330594424597045750127798162416935330416519828388622109700901

=17*29927*7974731*7696120477411*10587551108614655783053776426202979

より、

2026^20+2027=1357653115275961573187079096992115572227513228803039583775019239403

 =3*17*61*22441*29927*7974731*7696120477411*10587551108614655783053776426202979

　となる。

「日曜数学者」です。　　2月5日　07時13分　受信　更新　3月1日

最近(ここ４カ月ほど)は、とても興味深い問題

「平方因子を持たない整数nで、gcd(n,290)=1となるnについて、不定方程式

A^4+B^4+C^4=2*n^2*D^4

の整数解A,B,C,D　(ただし 0<A<=B<=C,gcd(A,B,C,D)=1, A+B≠C)を求める」

に注力しております。

例えば、n=101のとき、小さい整数解(D<=1000)が無いことはすぐに分かりますが、

大きい(これまで誰も見たことが無かった)整数解を無数に持つことが分かりました。

11566524698278008178175494709128636544635230699^4+55533467549319684604321403836601861318197410455^4+96201694481007146665176733936502346101197249772^4=20402*8264519317562045735851914877899065409532634189^4

4295871272152466746761976654307690460850681558116960^4+5169308675927745227653369081559493536138890498803277^4+18709046623091823208347464671193295234961314573378103^4=20402*1568787235259872750692717840566404947094690664091313^4

...

これを求めたのは、おそらく世界で初めてです。

多倍長の整数四則演算ができるソフトウェア(Python, ruby, pari/gp, asir, GNU Common LISP, Google AIモードなど)を

使えば、簡単に確認できます。

多倍長の整数四則演算ができない(64bitの整数四則演算はできる)場合は、上記の２式については、

４桁の異なる素数pを十分な数だけ(100個くらい)用意して、

両辺が(modp)で等しくなることを確認して、

中国剰余定理を適用すれば、両辺が等しいことを証明できます。

最新の整数解のまとめは、

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-to1000.html

にあります。整数解を求める方法については、以下のどれかを参照ください。

n=41のとき

　　 https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-41.html

JANT講演資料(2026/03/11予定) "On Diophantine Equation"

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/jant/OnDiophantineEqA4+B4+C4-2n2D4.pdf

論文(査読なし、preprint) "Constructing Infinite Families of Solutions to Diophantine Equation $^4+y^4+z^4=2 n^2 w^4$ with $z \ne x+y$ via 4-dscent on Elliptic curves"

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/paper/math-paper-de.pdf

＜水の流れ：世界で初めての発見には驚きと共に、「日曜数学者」さんの日頃の素晴らしく、奥行きの深い研究には頭が下がります。今後の成果を期待しています。ご活躍をお祈りします。＞

NO3「よふかしのつらいおじさん」 2/2 21時57分 受信 更新 3/1

<新聞記事を見ての感想：算額の関連の新聞記事を読みました。

算額は難しいというイメージが自分にはあります。

応募問題にも歯の立たない問題がありました。

しかし、自分が一番すごいと思うのは、照明や文房具が不十分だったり、

算用数字がないのに複雑な計算をしていたということです。

最近は応募問題に面倒な計算はありませんが、以前は何枚も計算して

ようやく解答に至る問題がありました。

そんな計算を昔の人はよくやったなと思います。＞

「よふかしのつらいおじさん」 2/3 23時22分 受信 更新 3/1

寄せられた解答です

NO4「スモークマン」 2/3 17時19分　 受信 更新 3/1

(1)

2026(x+y)=xy

x(2026-y)-2026(2026-y)=-2026^2

(x-2026)(y-2026)=2026^2=2^2*1013^2

So…2^x*1013^y・・・片方が決まれば残りも決まる=1:1対応

So…3^2=9通り

「スモークマン」 2/4 21時33分　 受信 更新 3/1

以下の２行の応募は上記のものです。

x≠0 なので、 (x-2026)(y-2026)=2026^2=2^2*1013^2 において、x-2026=y=2026=2026 のケースは除かれるわけですね ^^v

(2)

(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=x^6-1=0 の解のうち、1以外の解がa1〜a5

x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)

so…±ω,±ω^2,-1

ak^2026=(ak^6)^337*ak^4

so…

Σ[k=1,5] ak^2026=a1^4+a2^4+a^3^4+a4^4+a5^4

=(ω)^4+(ω^2)^4+(-ω)^4+(-ω^2)^4+(-1)^4

=ω+ω^2+ω+ω^2+1

=-2+1

=-1

(3)

x^2+1/x^2=√2

(x^2+1/x^2)^2=2

So…

x^4+1/x^4=0

x^4=t

t+1/t=0

t^2+1=0

t=±i

x^2026+1/x^2026

=(x^4)^506*x^2+1/((x^4)^506*x^2)

=(t^2)^253*x^2+1/((t^2)^253*x^2)

=-(x^2+1/x^2)

=-√2

(4)

2026^20+2027

mod 3で

与式≡1^20+2≡0

So…3の倍数なので素数ではない。

NO5「二度漬け白菜」 2/7 11時16分　 受信 更新 3/1

第464回数学的な連続応募問題の解答：

[問題 1]
1/x+1/y=1/2026を満たす整数の組(x,y)は，17組 (答).
1/x+1/y=1/2026
⇔
x*y≠0 かつ (2026-x)*(2026-y)=(2^2)*(1013^2).
(2026-x)*(2026-y)=(2^2)*(1013^2)を満たすような
整数(2026-x,2026-y)の組は，a,bを0≦a,b≦2なる任意の整数として，
(2026-x,2026-y)=(2^a*1013^b, 2^(2-a)*1013^(2-b))　または
(2026-x,2026-y)=(-2^a*1013^b, -2^(2-a)*1013^(2-b))．
このうち，(2026-x,2026-y)=(2026,2026)の場合のみは，
x=y=0となるので，不適．
適するのは，3*3*2-1=17組．

[問題 2]
��[k=1〜5](α[k])^2026 = -1 (答).
α[0]=1 とおく．そうすると，
6個の異なる複素数α[0],α[1],α[2],…,α[5]
は，x^6-1=0の解である．つまり，
{α[0],α[1],α[2],…,α[5]}={exp(I*2*j*π/6) | j=0,1,2,…,5}．
よって，
��[k=1〜5](α[k])^2026
=��[k=0〜5](α[k])^2026 - (α[0])^2026
=��[j=0〜5](exp(I*2*j*π/6))^2026 - (1)^2026
=��[j=0〜5](exp(I*π*(2026/3)))^j - 1
=(1-exp(I*π*(2026/3)*6))/(1-exp(I*π*(2026/3))) - 1
=0-1
=-1.

[問題 3]
x^2026+(1/x)^2026 = -√2 (答).
x^2+(1/x)^2=√2
⇒(x^2+(1/x)^2)^2=2
⇒x^4+(1/x)^4=0
⇒x^8=-1.
よって，
x^2026+(1/x)^2026
=(x^2)*(x^8)^(253)+((1/x)^2)*((1/x)^8)^(253)
=(x^2)*(-1)^(253)+((1/x)^2)*(-1)^(253)
=(-1)*(x^2+(1/x)^2)
=-√2.

[問題 4]
2026^20+2027は，合成数 (答).
2026≡1(mod 3) であるから，2026^20≡1^20≡1(mod 3).
さらに，2027≡2(mod 3)であることにより，
2026^20+2027≡1+2≡3≡0(mod 3).

(以上)

NO6「kasama」 2/17 00時17分　 受信 更新 3/1

寄せられた解答です

NO7「三角定規」 2/17 11時37分　 受信 更新 3/1 <

　　　寄せられた解答です

＜　今回の [問題４] は，前回の [問題１] が大きなヒントになったので出来ました。

ノーヒントだったら出来なかったかも？？

前回 give up した [問題３] の 2026^2026 ですが

＜水の流れさんの解でようやく理解しました。ですが，

　2026＝675×3＋1 から

　2026^2026＝((2026^2025)^3)×2026

は，私には見えませんでした。脱帽です。。

「水の流れ」 更新 3/1

　

<水の流問題１の訂正　

ｘ−２ｐ＝ｙ−２ｐ＝2026は　ｘ＝ｙ＝０　となり　不適

従って　１８−１＝１７（組）が正解となります。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。