震え上がるような数の神秘を知るためにあなたは青春をかけてみないか！

Ｎ０24：2001年4月24日（火）19日に書いたイギリスの高校生から届いた「区分求積法」の問題で、太郎さんが送っておいた「解答」です。
　また、第７３回応募問題「最大数の確保」の解答が「Jun」さんから届いていました。
『こんにちは。「最大数の確保」について考えてみました。
F(2,0)=1,F(2,1)=1
F(3,0)=2,F(3,1)=3,F(3,2)=1
F(4,0)=6,F(4,1)=11,F(4,2)=6,F(4,3)=1
F(5,0)=24,F(5,1)=50? このあたりで数え上げは挫折・・・。
ここまででわかる性質は、
F(n,1)=(n-1)!
F(n,n-1)=1
F(n,0)+F(n,1)+・・・+F(n,n-1)=n!』
　また、第７３回の応募問題の解答で、１５日届いた「清川(kiyo)」さんからのを載せます。
『いつもお世話になっています。kiyoです。
問題１：Ｆ（２、０）＝１、Ｆ（２、１）＝１
問題２：Ｆ（３、０）＝２、Ｆ（３、１）＝３、Ｆ（３、２）＝１
問題３：Ｆ（４、０）＝６、Ｆ（４、１）＝１１、Ｆ（４、２）＝６、Ｆ（４、３）＝１
問題４：Ｆ（５、０）＝２４、Ｆ（５、１）＝５０、Ｆ（５、２）＝３５、Ｆ（５、３）＝１０、Ｆ（５、４）＝１
問題５：Ｆ（ｎ，０）＝（ｎ−１）！　Ｆ（ｎ，ｎ−１）＝１
ｎ−１＞ｋ＞１で、Ｆ（ｎ，ｋ）＝Ｆ（ｎ−１，ｋ）＊（ｎ−１）＋Ｆ（ｎ−１，ｋ−１）
問題６　保留。』
　さて、先日の回文素数について、「浜田」さんから報告を受けました。
『１００万以下の回文素数を求めるエクセルのマクロを作りました。気がついたことと言えば，４桁と６桁の回文素数が存在しなかったことくらいです．規則性は見えて来ません．
2,3,5,7
11
101,131,151,181,191,313,353,373,383,727,757,787,797,919,929
10301,10501,10601,11311,11411,12421,12721,12821,13331,13831,13931,14341,14741,15451,15551,16061,16361,16561,16661,17471,17971,18181,18481,19391,19891,19991,30103,30203,30403,30703,30803,31013,31513,32323,32423,33533,34543,34843,35053,35153,35353,35753,36263,36563,37273,37573,38083,38183,38783,39293,70207,70507,70607,71317,71917,72227,72727,73037,73237,73637,74047,74747,75557,76367,76667,77377,77477,77977,78487,78787,78887,79397,79697,79997,90709,91019,93139,93239,93739,94049,94349,94649,94849,94949,95959,96269,96469,96769,97379,97579,97879,98389,98689
＜水の流れ：コメント＞規則性については、私の真意が伝わらなくてごめんなさい。一般に、多くの素数や数について、他のいろんな規則性と言うわけで回文素数についての規則性のつもりで書いたのではありません。言い方が誤解を招く言葉で申し訳ありませんでした。でも、まだ気がついていないだけで、すでに発見されているかもしれませんが。これからもよろしくお願いします。

Ｎ０23：2001年4月23日（月）今日学校で、部発足式がありまして、１年生の新入部員は中学時代の経験者も含めて、男女合わせて３０人も入りました。２・３年の先輩達には大変良い刺激になります。インターハイ県予選の地区大会は５月12日・13日あります。３年生にとっては、最後の公式試合です。思いっきり動き、バスケの青春を飾ってもらいたいです。県大会での１勝が目標です。

Ｎ０22：2001年4月22日（日）まだ、第７３回応募問題「最大数の確保」の応募期間です。読者の皆さんのご応募を待っています。
答を三角形状に並べてみると、すでに良くご存じのはずの数列になります。太郎さんは１月下旬行った研究授業でもこの数列の話は生徒にしました。ご参考までに。

Ｎ０21：2001年4月21日（土）皆さん！来る４月２３日はどんな日かご存じですか。「サン・ジョルディの日」です。『サン・ジョルディの日は、男性から女性に「青い麦の穂を添えた１本の赤いバラ」、女性は男性に「本」を贈るスペイン・カタルーニャ地方の伝統行事。州都のバルセロナ市・ランブラス通りではこの日、本と花の市が立ち、大勢の市民でにぎわう。
　サン・ジョルディは、303年４月23日に現在のトルコのカッパドキアで殉教したキリスト教徒。カタルーニャ地方では魔物を倒して村を守り、女王を救った伝説の騎士として親しまれ、15世紀半ばに、命日を「サン・ジョルディの祭日」とするようになった。
贈り物は「赤いバラの花」がサン・ジョルディが魔物を剣で倒したときに流れた血から生まれた真っ赤なバラに、「本」がこの日「ドンキホーテ」でおなじみのスペインの文豪・セルバンテスと、イギリスの文豪・シェークスピアの命日でもあることに、それぞれちなんだもの。ユネスコは1999年、この日を「世界本の日」に制定している。』以上、朝日新聞の記事からの引用です。
　サン・ジョルディの日は、絶好の、プレゼントの口実ができる日です。さりげなく贈り物をしたらどうですか。

Ｎ０20：2001年4月20日（金）昨日の宿題の解答が「浜田」さんから以下のように送られてきました。ありがとうございます。
If X≧0, then f(x)=x^3 is an increasing function over the range from x=0 to x=X.
Therefore, the lower sum is　
f(0X/n)*X/n + f(X/n)*X/n + f(2X/n)*X/n + ... + f((n-1)X/n)*X/n
=Σ(0≦k≦n-1) f(kX/n)*X/n
=Σ(0≦k≦n-1) k^3*X^3/n^3*X/n
=X^4/n^4Σ(0≦k≦n-1) k^3
=X^4/n^4Σ(1≦k≦n-1) k^3

The upper sum is
f(X/n)*X/n + f(2X/n)*X/n + f(3X/n)*X/n + ... + f(nX/n)*X/n
=Σ(1≦k≦n) f(kX/n)*X/n
=X^4/n^4Σ(1≦k≦n) k^3

The difference between these two sums is
X^4/n^4Σ(1≦k≦n) k3 - X^4/n^4Σ(1≦k≦n-1) k^3
=X^4/n^4*n^3
=X^4/n → 0 as n → ∞
The difference → 0 as n → ∞. Therefore, the limit of the lower sum equals that of the upper one.
So the integral of y=x^3 from x=0 to x=X is
limit(n→∞) X^4/n^4Σ(1≦k≦n) k^3
=limit(n→∞) X^4/n^4*n^2(n+1)^2/4
=X^4/4*limit(n→∞) (1+2/n+1/n^2)
=X^4/4

Ｎ０19：2001年4月19日（木）早朝、イギリスの高校生からこんな質問を受けました。皆さん！英語での問題です。Σｋ、Σｋ＾２，Σｋ＾３までの公式は日本では扱っていますが、英国では、Σｋ＾４まで習っていそうです。
『こんにちは。ホームページ拝見させていただきました。実は私は現在、イギリスの高校に通っているのですが数学がまったく苦手になってしまいました。
たくさん宿題が出たのですがまったく解らないのです。１つだけファイルとして「添付」しますので解いてみていただけますか。残りはそれを参考に自分でがんばってみます。突然失礼なお願いで申し訳ありません。お願いします。』
　皆さん、挑戦して解いてくだされば、幸いです。

Ｎ０18：2001年4月18日（水）昨日も「回文素数」の件で「kiyo」さんから知らせがありました。
『いつもお世話になっています。kiyoです。狭義の回文素数についてのサイトを見つけました。いろんな規則性等が載っています。』
皆さんも「World!Of Palindromic Primes」をご覧ください。
さらに、美しい話第35話「回文素数」としてまとめました。

Ｎ０17：2001年4月17日（火）昨日の「回文素数」の続きが報告されました。
『こんばんは。いつもお世話になっています。kiyoです。１００万までの回文の素数をプログラムを組んで求めて見ました。規則性は今後の課題です。今後とも宜しくお願いします。』
11 13 17 31 37 71 73 79 97
以上　＜9 個＞
101 107 113 131 149 151 157 167 179 181　191 199 311 313 337 347 353 359 373 383　389
701 709 727 733 739 743 751 757 761　769 787 797 907 919 929 937 941 953　967　971 983 991
以上＜43 個＞
1009 1021 1031 1033 1061 1069 1091 1097 1103 1109　1151 1153 1181 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231
1237 1249 1259 1279 1283 1301 1321 1381 1399 1409　1429 1439 1453 1471 1487 1499 1511 1523 1559 1583
1597 1601 1619 1657 1669 1723 1733 1741 1753 1789　1811 1831 1847 1867 1879 1901 1913 1933 1949 1979
3011 3019 3023 3049 3067 3083 3089 3109 3121 3163　3169 3191 3203 3221 3251 3257 3271 3299 3301 3319
3343 3347 3359 3371 3373 3389 3391 3407 3433 3463　3467 3469 3511 3527 3541 3571 3583 3613 3643 3697
3719 3733 3767 3803 3821 3851 3853 3889 3911 3917　3929 7027 7043 7057 7121 7177 7187 7193 7207 7219
7229 7253 7297 7321 7349 7433 7457 7459 7481 7507　7523 7529 7547 7561 7577 7589 7603 7643 7649 7673
7681 7687 7699 7717 7757 7817 7841 7867 7879 7901　7927 7949 7951 7963 9001 9011 9013 9029 9041 9103
9127 9133 9161 9173 9209 9221 9227 9241 9257 9293　9341 9349 9403 9421 9437 9439 9467 9479 9491 9497
　 9521 9533 9547 9551 9601 9613 9643 9661 9679 9721　9749 9769 9781 9787 9791 9803 9833 9857 9871 9883
9923 9931 9941 9967　以上＜204 個＞ ＜水の流れ＞「kiyo」さんからは、このあと１００万まで, ５桁は＜1499個＞、６桁は＜9538 個＞と報告を受けましたが、いずれ後日、「美しい話」の中で紹介する予定です。尚、掲示板に一部の「回文素数」を載せておきました。ありがとうございます。知識の財産にし、感謝申し上げます。
　昔から、回文を俳句にした人がいます。「きゆるまた　にわのこのはに　たまるゆき」、和歌では、「なかきよの　とおのねふりの　みなめざめ　なみのりふねの　おとのよきかな」。これは、太郎さんが、小学生のとき、「たけやぶやけた」・・・と、子供同士で遊んでいたとき、父から教えてもらった文です。ノートに書き留めておいたのを見て書きました。
　

Ｎ０16：2001年4月16日（月）素数を眺めていると、不思議なことに気がつきます。それは、「回文素数」という現象です。これは、回文の「トマト」や「しんぶんし」のように左から見ても、右から見ても同じ素数のことです。例としては、１桁の素数は明らかですので、２桁から探してみると、１１，１３，１７，３１，３７，７１，７３，７９，９７の９個です。
　また、３桁では、１０１、１０７，１１３，１３１，１４９，１５１，１５７，１６７，１７９，１８１，１９１，１９９，・・・と挙げられます。前に、こんな数列は出して、規則性を発見してください　と、載せたことがあります。続きは、読者の皆さんで発見してみては。太郎さんは、１００万ちょっとまでの素数を持っています。実に、不思議な数列で、他にも多くの謎があり、「早く、発見して」と叫んでいそうです。

Ｎ０15：2001年4月15日（日）午前中に、第７３回応募問題「最大数の確保」という問題を作成しました。多くの皆さんからのご応募をお待ちしています。
さて、「ペトロス伯父とゴールドバッハの予想」という本を読みました。本の中に当時一緒に研究した数学者の名がありました。「ハーデイ」、「リトルウッド」、「ラマヌジャン」で、ゲーゲルも出てきます。ゴールドバッハの予想に青春をかけた青年がいたことを知りました。「２より大きいすべての偶数は、二つの素数の和で表わす」ですが、４＝２＋２を除けば、「４より大きいすべての偶数は、２つの奇数の素数の和で表すことができる」と変わります。
表し方は１通りではありません。１４＝３＋１１＝７＋７，１６＝３＋１３＝５＋１１で、４８＝５＋４３＝７＋４１＝１１＋３７＝１７＋３１＝１９＋２９と５通りにも書けます。現在、コンピューターによりかなり大きな数まで予想が正しいことがチェックされています。未だに、例外が発見されていません。皆さんもチャレンジしてみては。でも、ペトロス伯父さんのようにならないでくださいね。恋をして青春を満喫することを忘れないでください。
　早くも、16時57分に、第７３回の応募問題の解答が「清川(kiyo)」さんから寄せられています。ありがとうございます。

Ｎ０14：2001年4月14日（土）昨日の帰宅は、会食のため夜遅くなり、ＨＰの更新が今朝になったことをお詫びします。先日、注文していた「ペトロス伯父とゴールドバッハの予想」＜酒井武志訳、早川書房＞という名の本が届きました。ゴールドバッハの予想＝「２より大きいすべての偶数は、二つの素数の和で表わすことができる」に青春をかけたペトロス伯父さんの生涯を甥が書いています。早速、読み始めています。＜朝９時記入＞

Ｎ０13：2001年4月12日（木）昨日、室内管弦楽部のことを書きましたが、バイオリン、ビオラ、チェロ、コントラバス、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴット、ホルン、トランペット、トロンボーン、チィンパニーという楽器で演奏しています。いつも発表会のときは、綺麗な音色を聴いています。本当にありがたいことです。
　学校の周りにある桜を撮影しました。まだまだ、カメラの腕は未熟です。７日の土曜日に撮った桜です。
　　　

Ｎ０12：2001年4月11日（水）午後から、１年生と２，３年生の対面式があり、この後、新入生歓迎イベントありました。音楽部の合唱と、全国の高校（14日に訂正、県内高校、顧問から全国にはありますとのこと）では、きっと、本校にしかない室内管弦楽部の演奏を聴きました。素晴らしい音色に聞き惚れていました。さすがです。さらに、演劇部の観劇と盛りたくさんの内容です。
　放課後、久しぶりに体育館へ部活動（バスケット）を見に行くと、さわやかな新入生を勧誘する声が聞こえていました。やはり、４月は、プレイヤーの動きはつらつとしたものがあり、一段と成長した跡が伺えました。太郎さんは、今年で２０回目のバスケット顧問です。過去には、最後の最後まで、勝敗をあきらめずに、残り４秒で同点にし、延長戦を制した試合や、一日の２試合とも延長戦で勝ち進んだこともありました。
べンチにいて、選手とともに感動を共有できることは、他の顧問では味わえない、何か目が熱くなるものがあります。今年はどんな感動を与えてくれるか、楽しみにしています。

Ｎ０11：2001年4月10日（火）岐阜県総合センターの「ホームページ」です。一度ご覧ください。教育に関する情報が多くあります。
　名古屋ドームで、１対１の同点で延長１２回まで行った熱戦の中日対巨人戦を聞いていましたので、更新が遅くなりました。結果はセリーグ最初の引き分けとなりました。明日以降の戦いが楽しみです。

Ｎ０10：2001年4月9日（月）太郎さんは久しぶりに教え子の顔を見ることができました。ユタ研修を終えて、一回り大きくなった生徒を見て、これからの人生できっとこの経験が役立つだろうと思います。男子２１人女子１９人のクラスです。教室の黒板の上に掲げた額には、「学問の発見」と書いてあります。これは、フィールズ賞に輝いた広中平祐さんが書いた書物の名から浮かんだ言葉です。この言葉のように生徒に学ぶ喜びを味合わせたいです。
　さて、第７２回応募問題「２段に並べる」の「解答」が、「浜田」さんから寄せられていました。本当にありがたいです。感謝の念でいっぱいです。早速、更新作業をしました。

Ｎ０9：2001年4月8日（日）午後から近くの川岸に咲いている花を見に行ってきました。桜の花びらを間近に見ながら、川の流れのせせらぎを聞いての、風情ある時を過ごしてきました。明日からは始業式入学式があり、本格的に始まります。太郎さんは生徒とともに、感動の瞬間を味わいたいと思っています。
　午前中に、第７２回応募問題「２段に並べる」の寄せられた「解答」の更新作業をしました。
今日の朝日新聞の新刊案内に、数学の本が紹介してありました。題は「ペトロス伯父とゴールドバッハの予想」＜酒井武志訳、早川書房＞です。＊数学の超難問を解こうとして人生を棒に振った天才数学者の孤独な生涯を、甥が綴った物語です・・・＊　と紹介文が載っていました。太郎さんは是非読みたくなりました。「ゴールドバッハの予想」にどうようにして、チャレンジしたか、知りたいです。この難問に青春を捧げたように思えてきます。

Ｎ０8：2001年4月7日（土）４月３日の朝日新聞に、京都大学大学院、上野健爾教授が「数学の基礎学力とは、一体何か」という話を書いておられます。太郎さんと同感の部分がありますから、ここに、記事を引用させてもらいます。
【質問：学力とは。上野：「大事なのは、どれだけ理解したかという『学んだ力』よりも、学んだことを活用し自ら新しいことを『学ぶ力』です。数学も自分の持つ知識を使って答えを見つけ、人にわかる形で表現するのが本来の姿です。公式や最短の答え方を覚えることばかり重視されてきたのは反省する必要がある。新学習指導要領で台形の面積の公式を削るのは疑問。どう工夫して面積を求めるのか、一番面白い部分が失われてしまいます。」
「今の大学生は知識不足以上に学ぶことへの興味や意欲が衰えています。校外で学ぶ機会が減ったことも背景にあります。内容を減らさず授業を増やすことこそ、ゆとりだし、総合的学習も地域を巻き込んだ方が効果が大きい。旧文部省は前の学習指導要領改訂で、新しい学力観として学ぶ力を重視したはず。その立場の方々が学力低下論争になると、日本のペーパーテストの成績は落ちていないから学力低下はないと反論する。矛盾しているとしか思えません」以上、全引用しています。】

Ｎ０7：2001年4月6日（金）昨夜、第７２回の応募問題の「２段に並べる」の解答で、数列の一般項を「kiyo」さんから頂きました。ご覧ください。
【いつもお世話になっています。kiyoです。一般項を求めることが出来ました。 A(n)=((SQR(2)+1)*(3+SQR(8))^n-(SQR(2)-1)*(3-SQR(8))^n)/2 。今後とも宜しくお願いします。】
ありがとう　ございます。
４月３日の朝日新聞に、京都大学大学院、上野健爾教授が「数学の基礎学力とは、一体何か」という話を書いておられます。太郎さんと同感の部分がありますから、ここに、記事を引用させてもらいます。
【質問：では方程式はどうですか。上野：「方程式は、問題を式に表し答を出す。一種の抽象化です。一見違う問題でも同じ式が出てくれば、両者を関係づけることもあります。様々な問題の本質をとらえときも、私たちは実は、こうした数学的な考え方を無意識のうちに使っています。水や空気のようだから理解されにくいのだと思います。」 明日は、”学力とは”載せます。

Ｎ０6：2001年4月5日（木）４月３日の朝日新聞に、京都大学大学院、上野健爾教授が「数学の基礎学力とは、一体何か」という話を書いておられます。太郎さんと同感の部分がありますから、ここに、記事を引用させてもらいます。
【質問：なぜ算数や数学が必要なのでしょうか。上野：「電卓やコンピューターがあれば計算はできなくてもいいとよく言われますが違います。日常生活で大事なのは、多い少ない、どれだけ減ったか増えたか、といった数の感覚です。これはある程度計算練習を積み重ねなければ養われない。だからこそ小学生低学年できんとやってほしい」
「今の社会はほとんどが数値化されて動き、数学を避けて通れません。数の感覚がなければ、不利になったり危険が及んだりすることもあります」
「コンピューターの打ち込みミスでとんでもない答えが出たときに変だと直感で分からなければ、工場なら大事故につながります。財政では億や兆、環境ホルモンではごく微量の数字が問題になる。これらを実感できる感覚も必要です」
「子供ができなかったことができるようになると喜ぶ。計算が嫌いな大人の感覚でなく、子供の立場で考えてほしい」】
　このあたりは、太郎さんが気にしている”数覚”とよく似ています。昨日のＮＨＫのテレビの中で、癌細胞が分裂するとき、１００日に１回２倍に分裂します。ここで、９年経つと、約２の３２乗（テレビは３０乗と言っていた）となり、米１粒を例にして、スタジオでは運べなくて、米倉を見せていました。太郎さんは、以前、こんな話を書いたことを思い出しました。
「今日は米１粒をください。そして、明日からは前日の２倍のづつ１ヶ月の間ください。１粒、２粒と日々戴くのは面倒ですから１ヶ月後にまとめて戴きたい」
『皆さん！こんな話を聞いたことがあるでしょう。戦国武将豊臣秀吉（1537〜1598）の御伽衆（お話相手をする人々）の１人に泉州堺の鞘師（刀の鞘を作る職人）の曽呂利新左衛門（？〜1603）がいました。彼は鞘師としての腕前だけでなくおどけた話や狂歌の名手として、機知に富み話上手で、常に秀吉のそばに仕え大変恩寵を受けていました。
　あるとき、秀吉が新左衛門に何か褒美を与えるが何が欲しいかを尋ねると、新左衛門は、「今日は米１粒・・・。」と望み、秀吉も「何だその位の望みか」と簡単に承知しました。
　そこで、皆さん！米５０粒で１グラムとして計算します。ただし、１ヶ月３０日とします。
問題１：一体何トン位になるか計算してください。
問題２：米６０ｋｇで１俵といいます。新左衛門は一体何俵の米俵をもらうことになるでしょう。
問題３：１年間に１成人はだいたい米を１俵位食べるといいます。この米粒は１成人の年分にあたるでしょうか。』
　皆さん、もう一度数の感覚を養ってください。

Ｎ０5：2001年4月4日（水）第７３回選抜高校野球大会（毎日新聞社、日本高校野球連盟主催）の優勝戦があり、常総学院（茨城）が仙台育英（宮城）を７対６で破り初優勝を果たした。１９９４年に準優勝するなど強豪で、５回目のセンバツ出場で、悲願を達成し、２１世紀初の紫紺の優勝旗は常総学院（木内監督）に渡りました。おめでとうございます。 今回、２１世紀枠があって、沖縄県の宜野座高校と福島県の安積高校の２校増えています。太郎さんは、決勝戦が終了後、全試合の得点経過を分析し、次のような報告書をまとめました。「全国高校野球はポアソン分布？」ご覧ください。

Ｎ０4：2001年4月3日（火）昨夜、第７２回の応募問題の「２段に並べる」の解答を「kiyo」さんから寄せられました。下記に載せます。
【いつもお世話になっています。kiyoです。数列サイトで検索して見ました。( Chebyshev's polynomials of the 2nd kind.)とありました。検索結果は以下の通りでした。特性方程式からの一般項は今後の課題とします。今後とも宜しくお願いします。
ID Number: A002315 (Formerly M4423 and N1869)
Sequence: 1,7,41,239,1393,8119,47321,275807,1607521,9369319,54608393,318281039,1855077841,10812186007,63018038201,367296043199,2140758220993,12477253282759,72722761475561,423859315570607,2470433131948081
Name: a(n) = 6a(n-1) - a(n-2). a(0)=1,a(1)=7
Also NSW numbers: x such that x^2 - 2.y^2 = -1 for some y.
References E. Barcucci et al., A combinatorial interpretation of the　recurrence
f_{n+1} = 6 f_n - f_{n-1}, Discrete Math., 190 (1998),235-240.
A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover,NY, 1964, p.256.
A. S. Fraenkel, Recent results and questions in　combinatorial game　complexities, Theoretical Computer Science, vol. 249, no. 2　(2000),　265-288.
D. H. Lehmer, Lacunary recurrence formulas for the numbers　of　Bernoulli and Euler, Annals Math., 36 (1935), 637-649.　Problem 47, Amer. Math. Monthly, 4 (1897), 25-28.　P. Ribenboim, The Book of Prime Number Records.　Springer-Verlag, NY,　2nd ed., 1989, p. 288.
R. A. Sulanke, Moments of generalized Motzkin paths, J.Integer　Sequences, Vol. 3 (2000), #00.1.
P.-F. Teilhet, Reply to Query 2094, L'Interm\'{e}diaire des　 Math\'{e}maticiens, 10 (1903), 235-238.
Links: Sulanke paper
A.S. Fraenkel, Arrays, numeration systems and games.
Index entries for sequences related to Chebyshev　polynomials.
Link to a section of Eric Weisstein's World of Mathematics.
Formula: a(n)=sqrt(2*(A001653(n))^2-1). G.f.: (1+x)/(1-6*x+x^2).
a(n)= S(n,6)+S(n-1,6) = S(2*n,sqrt(8)), S(n,x)=U(n,x/2) are　Chebyshev's polynomials of the 2nd kind.
Cf. A049310. S(n,6)=A001109(n+1).
See also: Bisection of A001333. A002315=sqrt{2*(A001653)^2-1}.
Keywords: nonn,easy,nice　Offset: 0
Author(s): njas
Extension: More terms from James A. Sellers (sellersj@cedarville.edu),　Feb 16 2000
＜水の流れ：コメント＞この問題の数列が既に報告されていたのですか。驚きます。さらに、漸化式までもね。当初、この問題を作成していたときは、縦２個、横ｎ個の升目を考えていましたが、出題するときは、横を２ｎ個にしていました。太郎さんとの予定が違っていました。
漸化式を発見される場合は、縦２個、横ｎ個の升目として考えてください。そして、特性方程式の解から、一般項を求めます。この答えでｎの所を２ｎと置き換えても良いです。

Ｎ０3：2001年4月2日（月）新年度を迎え、新しい仲間とともに仕事を行うことになりました。新採用が２人います。３月までは大学生、４月からは立派な教師になっているのがこの世界です。太郎さんも、校務分掌が増えて益々ゆとりが無くなってきています。
　さて、「八木」さんから、こんなメールが来ていました。【先に送りましたプログラムで時刻関数（ｔｉｍｅ）を初期化していましたがこれは好ましくないので削除しました。それから一部を変更して計算速度がさらに約２倍になりました。M(40）を計算するのに約１分、M(60)ですと１時間前後と推定されます。】
そこで、昨日のプログラムを割愛しまして、修正された第70回の応募問題「マグネット」の「解答」に載せました。ご覧ください。

Ｎ０2：2001年4月1日（日）今日から、平成１３年度が始まります。皆様の暖かいご支援のもと、今に至っています。さて、毎日、ホームページへのアクセスカンターを記録していますが、統計を見ると、１月は1459、２月は1348、３月は1443になっています。今年度もどうぞよろしくお願いします。
昨日、「八木」さんから再び寄せられたファイルが、UBASICを使用してあって、DOSVタイプだったので、開けずに困っていました。本当にありがたいことに、再び、ワード形式に書き換えたプログラムを送って頂きました。太郎さんの未熟さを救っていただきました。心の温かさ・優しさに感謝します。
早速、第70回の応募問題「マグネット」の「解答」に載せました。ご覧ください。
　夜、第72回の応募問題の「２段に並べる」を作成しました。前回同様、多くの方からのご応募お待ちしています。

Ｎ０1：2001年3月31日（土）昨日の朝日新聞の天声人語に、７８歳で亡くなられた宇宙物理学者、小田稔さん話が書いてありました。ここから一部引用します。「僕は学問の中味を教えるのじゃなくて、学問っておもしろいということを伝えたい」とありました。
太郎さんも、同じような気持ちで教えています。「数学って不思議なことがあり、数学っておもしろいことがいっぱいあるよ。今、数学の話を知っておきと、後で創造する幅が広がっていくよ。」とね。「皆さんは、数学ってどんな印象をお持ちですか。」
さて、第７０回の応募問題「マグネット」の解答を、「八木」さんから再び寄せられました。「UBASICを使用しています。DOSVタイプです。」ところが、太郎さんは、この。DOSVタイプを全然使ったことが無いのです。Windows から知り始めましたので、寄せられたフャイルを開けません。申し訳ありません。

<自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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