令和３年２月７日
[流れ星]
第396回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：１月10日〜２月７日＞
2021年も引き続きご愛顧賜りたくよろしくお願いします。
因みに、2021＝43×47で、素数列の中で連続する素数の積です。
［図形の重心（２）］
問題（１）図のような半径１の半円の重心座標を求めよ。
問題（２）図のような半径１の四分円の重心座標を求めよ。
問題（３）図のような半径１、中心角２θの扇形の重心座標を求めよ。
問題（４）図のような楕円の重心座標を求めよ。ただし、ａ>b とする。
参考に、第320回の図形と立体の重心（１）をご覧ください。
ここに、パップスギュルダンの定理とバウムクーヘン積分を利用した解法があります。
追加問題（提供者 ジョーカーさん）
そのために、次の補題を証明して利用ください。
NO1「三角定規」 1/16 18時 02分 受信 更新 2/7
寄せられた解答です
「三角定規」 2/05 23時 32分 受信 更新 2/7
寄せられた追加問題の解答です
寄せられた追加問題の補題の解答です
NO2「よふかしのつらいおじさん」 1/24 15時14分 受信 更新 2/7
問題（１）重心(ｇ,0)はｘ軸上にあります。
・半径１の半円の面積は、π/２なので、
です。
・円の方程式は、
です。
半円を縦方向に切り細い長方形を考えます。
この長方形の重心はｘ軸上にありモーメントは、2ydx･x です。
これをｘ軸方向に積分します。
とおくと、
、ｘ:０→１ならｔ:１→０よって、
・よって、
として、
問題（３）を先に解きます。
図の直線ＯＡは 
、弧ＡＢは 円 の上にあります。
重心(ｇ,0)は、ｘ軸上にあります。
ｘ軸方向の原点周りのモーメントを２通りで計算します。
・半径１、中心角2θの扇形の面積は、
なので、
です。
・0からcosθまでは 
、cosθから1までは 
を積分します。
とおくと、
、ｘ:cosθ→1ならｔ:sin2θ→０よって、
問題（２）問題（３）でθ＝π/4 とすると、
これを反時計回りに45°回転して、重心は
問題（４）
半楕円の重心(ｇ,０)はｘ軸上にあります。
ｘ軸方向の原点周りのモーメントを２通りで計算します。
・この半楕円は、円を縦方向にｂ/ａに縮めたものなので面積は、
よってモーメントは、
・図で 
です。
とおくと、、ｘ:０→aならｔ:a→０よって、
・よって、
として、
追加問題
●
･･････ 
と 
の相加平均
･･････ 
と 
の相加平均の正接
･･････ と の相乗平均
(*)と(**)の関係を調べます。
の範囲で 
なので、ｙは増加関数で下に凸です。
次の図を見ると 
であることが分かります。
(**)と(***)の関係を調べます。
ともに正の値なので2乗して差を調べます。
ここでα、βは0からπ/4までの範囲なので、分母は正です。
分子を調べます。
となり正になります。
よって、 
であることが分かります。
●もし、
と 
が等しければ、、、 が等比数列になります。
しかし、等しくならないので少しずらします。
そこで、
を考えます。
、
、
が等比数列になるには、
このｋは簡単には決められません。
●
、
です。
より、
のときの関数の値を調べます。
これは、
が等差数列
が等比数列であることを示しています。
ここで、0とπ/4 の間のことを調べます。
NO3「スモークマン」 1/28
20時05分 受信 更新 2/7
(1) 上下対称だから重心の位置を(x,0)とする
パップスギュルダンにあてはめて
(2xπ)(4πr^2/2)=4/3*πr^3 よってx=4/(3π)
(2) 重心を(x,y)とする
この図形を下半分に書くと(1)となり上半分と下半分の重心を足すと
(1)の重心になるからxは(1)と同じでx=4/(3π)
y=xに関して対称だからy=4/(3π)
(4) (1)を横方向にa倍だから( (4a)/(3π),0 )
（縦方向は釣り合っているのでbは関係なし）
(3) Θをn等分してθ/n=αとする あとでn=∞
この細長い扇形は2等辺三角形とみなして 重心は2/3のところ
r=2/3 の円弧状の針金の重心を求める。
重心を(x,0)とする。 xは針金各点のcosの平均値である
∫cos(x)dx (0,θ) =sin(θ) だからx=2sin(θ)/3θ
（結局積分無しでは出来ず）
NO4「ジョーカー」 ２/03 19時38分 受信 更新 2/7
ジョーカーさんの解答です。
こちらは ジョーカーさんの追加問題の解答です。
＜水の流れ：略解＞ 
の証明
証明 上の式で両辺の多対数を取ると示すべき不等式は
(1/2)log
tanα＋(1/2)log
tanβ≦log tan(1/2)(α＋β)
よって、ｇ（ｘ）＝log tanｘが区間内で上に凸であることを示さばよい。
微分して、ｇ‘（ｘ）＝２/sin2x
二階微分は、ｇ“（ｘ）＝−４cos2x/sin2xく０ （ただし、区間内で）
証明終わり
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
