令和４年５月１日
[流れ星]
第412回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：4月03日〜5月01日＞
［大垣八幡宮奉納算額5］
岐阜県大垣市にある八幡神社
江戸時代末期、谷松茂（幽斎）は大垣藩士で致道館講官であった水野民興に学び、自ら塾を開いて和算を教えていました。彼の門人達が大垣市の八幡神社に天保年間に算額（絵馬）を奉納しています。この算額は残念ながら先の戦争で神社ごと焼失したことを知り、幽斎算約四編である奉納された算額の解法を後世に残すために、これから32問順に出題していきます。
今回は第７問題から第９問題です。
第７問題
１つの内角が６０°の菱形に赤円２個と黒円４個を容れる。黒円の直径を知って赤円の直径を求めよ。
出題者 岩田恒次郎福秀 謹考
第８問題
５個の等しい正方形、黄4個と紫1個を描いて、その内に青円１個と赤円５個を容れる。青円の直径を知って赤円の直径を求めよ。
術文（答） 赤円径＝青円径÷２
出題者 平松何某盛明 謹考
第９問題
紫円２個と赤円２個で青円2個と黒円を囲む。青円、黒円の直径を知って赤円の直径を求めよ。
出題者 大橋何某重記 謹考
追加問題（ジョーカーさん提供）
探求問題
何チームかでリーグ戦を行うとき、勝敗の分かれ方は何通りあるか。
ただし、各試合で引き分けはなく、また、チームに区別はつけないとする。
例えば、３チームのとき、２勝、１勝１敗、２敗、３チームとも１勝1敗
の2通りです。
ここで、参加チーム数をｎ（ｎ≧２）、また１つの順位表を各チームの勝敗の大きい順に（ ）で区切ったもので表すことにする。
すると、２チームのときは（１，０）の１通り
３チームのときは（２，１，０）、（１，１，１）の２通り
４チームのときは（３，２，１，０）、（３，１，１，１）
（２，２，２，０）、（２，２，１，１）の４通りとなる。
それでは、チーム数を多くしたときはどうなるか探求ください。
＜水の流れ：この探求問題は事前に一部の方には知らせてありました。＞
NO1「よふかしのつらいおじさん」04/03 21時26分 受信 更新 5/1
412解答 よふかしのつらいおじさん
第7問題
●図のように各円の半径を表します。（大円Ｒ、黒円ｂ、赤円ｒ）
△ＯＡＢは、
です。
また、△ＡＢＯ、△ＯＢＥ、△ＡＣＤは互いに相似の関係です。
●
よって、
ゆえに、
第8問題
●青円の半径をｂ、赤円の半径をｒとします。
正方形の1辺の長さは、
左上の正方形でみると2ｂ＋2ｒ、
右下の正方形で見ると6ｒです。
よって、
ゆえに、
第9問題
●図のように、各円の半径を表します。（紫ｍ、赤ｒ、青ａ、黒ｋ）
●直角三角形ＢＣＤに三平方の定理を用いて、
直角三角形ＡＣＤに三平方の定理を用いて、
ゆえに、
ゆえに、
追加問題
●この問題は3倍角の公式を使います。
●
とすると、
として、
NO2「ジョーカー」 04/03
23時37分 受信 更新 5/1
寄せられた大垣八幡宮奉納算額の第７問から第９問、解答です
また、追加問題の解答です.
NO3「スモークマン」 04/29
16時34分 受信 更新 5/1
追加問題
sin150°=sin30°=1/2
sin50°=t
sin150°=sin(3*50°)=3t-4t^3=1/2
so…
8t^3-6t+1
=(2t)^3-3(2t)+1
=a^3-3a+1
=0
1/(a^2-a-2)-1/(a^2+2a+1)
=1/((a+1)(a-2))-1/(a+1)^2
=3/((a+1)^2*(a-2))
=3/(a^3-3a-2)
=3/(-1-2)
=-1
1/(a^2-2a+1)-1/(a^2+a-2)
=1/(a-1)^2-1/((a-1)(a+2))
=3/((a-1)^2(a+2))
=3/(a^3-3a+2)
=3/(-1+2)
=3
So…
与式
=-1+3
=2
NO4「二度漬け白菜」 04/30
14時46分 受信 更新 5/1
追加問題の解答：
(与式)=2 (答
3倍角の公式：
sin(3*θ)=3*sin(θ)-4*(sin(θ))^3
において，θ=(5/18)*π として，
1/2=3*sin((5/18)*π)-4*(sin((5/18)*π))^3．
これに sin((5/18)*π)=a/2 を代入して，
1/2=3*(a/2)-4*(a/2)^3．
よって，
a^3=3*a-1.
さて，
(a-2)*(a+1)^2=-3，
(a+2)*(a-1)^2=1
が成り立つ．
なぜなら，
(a-2)*(a+1)^2
=a^3-3*a-2
=(3*a-1)-3*a-2
=-3，
(a+2)*(a-1)^2
=a^3-3*a+2
=(3*a-1)-3*a+2
=1．
(与式)
=1/(a^2-a-2)-1/(a^2+a-2)+1/(a^2-2*a+1)-1/(a^2+2*a+1)
=(1/(a^2-a-2)-1/(a^2+2*a+1))
+ (-1/(a^2+a-2)+1/(a^2-2*a+1))
=(1/((a-2)*(a+1))-1/(a+1)^2)
+ (-1/((a+2)*(a-1))+1/(a-1)^2)
=3/((a-2)*(a+1)^2)
+ 3/((a+2)*(a-1)^2)
=3/(-3) +
3/1
=2.
(別解)
A=1/(a^2-a-2)-1/(a^2+a-2),
B=1/(a^2-2*a+1)-1/(a^2+2*a+1)
とおく．
(-3*A)/(2*a-1)
=(-3)/((a^2-a-2)*(2*a-1))+3/((a^2+a-2)*(2*a-1))
=(-3)/(2*a^3-3*a^2-3*a+2)+3/(2*a^3+a^2-5*a+2)
=(-3)/(2*(3*a-1)-3*a^2-3*a+2)+3/(2*(3*a-1)+a^2-5*a+2)
=1/(a^2-a)+3/(a^2+a)
=(4*a^2-2*a)/(a^4-a^2)
=(4*a-2)/(a^3-a)
=(4*a-2)/(3*a-1-a)
=2．
よって，
A=(-2/3)*(2*a-1)．
また，
B=1/(a-1)^2-1/(a+1)^2
=(4*a)/(a^2-1)^2
=(4*a)/(a^4-2*a^2+1)
=(4*a)/(a*a^3-2*a^2+1)
=(4*a)/(a*(3*a-1)-2*a^2+1)
=(4*a)/(a^2-a+1)
=(4*a*(a+1))/(a^3+1)
=(4*a*(a+1))/(3*a)
=(4/3)*(a+1)．
よって，
(与式)=A+B=(-2/3)*(2*a-1)+(4/3)*(a+1)=2． （以上）
NO4「三角定規」 05/01
21時46分 受信 更新 5/2
寄せられた第７問から第９問までの解答です。
さらに、追加問題の解答です。
＜コメント：締め切りをうっかり失念しておりました。＞
ここからは探求問題の報告です。
NO1「よふかしのつらいおじさん」03/07 17時39分 受信 更新 5/1
リーグ戦の場合の数を考えてみました。
ｎチームまではとてもいきませんが、7チームまでは多分あっていると思います。
書いたものの「B'」に当たる部分がもう少しきちんとできれば、数列の漸化式でできるかなと思います。
●あるリーグ戦の結果が次のようであったとします。
引き分けはないので各チームの試合数から勝ち数を引くと敗け数になります。
上の場合を勝ち数で(3,2,1,0)と表すことにします。
●チーム数ごとのあり得るリーグ戦の結果を書き並べます。
全勝のチーム（全敗のチーム）は、あっても1チームだけです。
1敗のチーム（1勝のチームは）は、あっても3チームまでです。
（このとき全勝のチームはありません）
・３チーム（1チーム試合数2）
(2,1,0)、(1,1,1)
・4チーム（1チーム試合数3）
(3,2,1,0)、(3,1,1,1)、(2,2,2,0)、(2,2,1,1)
・5チーム（1チーム試合数4）
(4,3,2,1,0)、(4,3,1,1,1)、(4,2,2,2,0)、(4,2,2,1,1)、
(3,3,3,1,0)、(3,3,2,2,0)、(3,3,2,1,1)、(3,2,2,2,1)、(2,2,2,2,2)
これらを次のように分類します。
●表の仕組みを考えます。
・5Aは、5チームのリーグ戦で、全勝と全敗のチームがある場合です。
(4,3,2,1,0)、(4,2,2,2,0)の2通りです。
4チームにもう1チーム加わって5チームになったと考えます。
4チームが4Aのような結果(3,2,1,0)とします。
加わったチームが全敗とすると、(4,3,2,1,0)となります。
4チームが4A’のような結果(3,1,1,1)とします。
加わったチームが全敗とすると、(4,2,2,2,0)となります。
5A＝4A+4A’ と考えられます。
・5A’は、5チームのリーグ戦で、全勝のチームがあって、全敗のチームがない場合です。
(4,3,1,1,1)、(4,2,2,1,1)の2通りです。
4チームにもう1チーム加わって5チームになったと考えます。
4チームが4A’のような結果(3,1,1,1)とします。
加わったチームが全勝とすると、(4,3,1,1,1)となります。
4チームが4B’のような結果(2,2,1,1)とします。
加わったチームが全勝とすると、(4,2,2,1,1)となります。
5A’＝4A’+4B’ と考えられます。
・5Bは、5チームのリーグ戦で、全勝のチームがなく、全敗のチームがある場合です。
(3,3,3,1,0)、(3,3,2,2,0)の2通りです。
4チームにもう1チーム加わって5チームになったと考えます。
4チームが4Bのような結果(2,2,2,0)とします。
加わったチームが全敗のチームにだけ勝つとすると、(3,3,3,1,0)となります。
4チームが4B’のような結果(2,2,1,1)とします。
加わったチームが全敗とすると、(3,3,2,2,0)となります。
5B＝4B+4B’ と考えられます。
ここまでは、次のような結果です。
●流れに関係ありませんが、A’とBの場合の数は同じです。
4A’は、(3,1,1,1)ですが、敗け数で表すと、[0,2,2,2]となります。
これは、4Bの(2,2,2,0)と同じです。
さて、5B’ですが、なかなかわかりやすい考えが見つかりません。
今のところ、5A’を元に数えるのが間違いにくいです。
5A’は、(4,3,1,1,1)と(4,2,2,1,1)です。
これを全勝がないように変形していきます。
全勝チームが他のチームに敗れるのですが、1勝のチームに敗れるとします。
(4,3,1,1,1) → (3,3,2,1,1)
もう一つの方のパターンで、(4,2,2,1,1) → (3,3,2,1,1) は、上の結果と同じです。
(4,2,2,1,1) → (3,2,2,2,1) は、新しいパターンです。
さらに、この結果を変形して、(3,2,2,2,1) → (2,2,2,2,2) も新しいパターンです。
このように、A’をミスのないように変形してB’を数えることができます。
●もし、B’の場合の数を分かりやすく数えられれば、帰納的に数えることができます。
NO2「ジョーカー」 03/12 18時11分 受信 更新 5/1
５チーム ９通り
６チーム ２２通り
７チーム ５９通り
ここまで，いかがでしょうか。
「ジョーカー」 03/17 16時47分 受信 更新 5/1
知り合いの先生から教えていただきました。
1.次のサイトをご覧ください。
https://oeis.org/A000571
2.今回の問題は次の本に詳しく書かれているそうです。
（私は見ていませんが）
数学ランド・おもしろ探検 寺田文行監修／教材探検の会 （森北出版）
NO3「三角定規」 03/28 21時26分 受信 更新 5/1
リーグ戦勝敗数のパタン，私も考えて見ました。初めは，何らかの繰り返し規則があるのだろうから，
それが分かれば漸化式が作れるはず，と単純に思いました。
例えば５チーム（n＝5）のものは，全勝（４勝）のチームは必ずあるのだから
n＝4 のパタン（4通り）それぞれの左端に４をつければ得られる
ことはすぐに分かりました。
しかし，全勝チームがない場合はパタンの変化がとても複雑で，
だいぶ時間を掛けましたが繰り返し規則の発見に至りませんでした。
それに，筆算では見落としが多くてほとんど役立たず…そこで，エクセルVBA でプログラムを組み，虱潰しを敢行しました。
パタン数.sheet は，これをもとに見やすく編集しました。
N(5)=9, N(6)＝22, N(7)＝60, N(8)＝176, N(9)＝573,
五輪の場合の n＝10 では，なんと N(10)＝1697 です！
寄せられたエクセルの.sheetをＰＤＦにしました。
＜水の流れ：N(8)＝176, N(9)＝573, N(10)＝1697 は割愛しました＞
<水の流れ：「ジョーカー」さんからのサイトhttps://oeis.org/A000571
によると、数列は１，２，４，９，２２，５９になっています。＞
「三角定規」 03/29 11時15分 受信 更新 5/1
> ７チームのときは、59通り
これについては，昨夜メール送信後すぐに気がつきました。
『３チームが，１勝，１勝，０勝となる場合はない』
で，私の表で言えば
『右端が１１０のもの（n＝7 の23番目）はない』です。
これを除けば，N(7)=59 は OK なのですが，n≧8 について
ジョーカーさんのサイトにあるものとまだ一致しません。
さらに他に「不可能パタン」が潜んでいるようです。
「ジョーカー」 04/25 18時21分 受信 更新 5/1
寄せられた報告です。
NO4「二度漬け白菜」 04/29
11時44分 受信 更新 5/1
探求問題について，調べたことを以下に書きます．
．
n 人が参加するリーグ戦において，勝数の小さいものから順に，
その値を書き並べた数列を，「スコア数列」と呼ぶことにします．
例えば，3人が参加するリーグ戦においては，スコア数列は，
(0,1,2) および (1,1,1) の2種類があります．
n人が参加するリーグ戦において，スコア数列が全部で a(n) 種類あるとします．
a(2)=1, a(3)=2,
a(4)=4, a(5)=9, a(6)=22, a(7)=59, a(8)=167,…
となるようです．
a(n)のさらに詳しい値，計算プログラムなどは OEIS A000571 にあります．
a(n)の計算に関して，上記サイトに登録されている次の PARIプログラムが
相当に高速です．
(PARI)
{A145855(n)=sumdiv(n, d, (-1)^(n+d)*eulerphi(n/d)*binomial(2*d, d)/(2*n))}
{a(n)=polcoeff(exp(sum(m=1,
n, A145855(m)*x^m/m)+x*O(x^n)), n)} \\ Paul D. Hanna, Jul 17 2013
この計算式を用いて a(2022) の値を計算してみたところ，わずか数秒で
値を表示しました．
しかし，なぜこの計算式でa(n)の値を算出できるのでしょうか？
私にはまだ理解できていない状態です．
a(n)に関しては相当深く研究されているようです．
次の定理はよく知られているようです．
この定理は，「ランダウの定理 (Landau's
Theorem)」と呼ばれているようです．
-----------------------------------
[定理]
全ての項が0以上の整数であるような非減少のn項数列
(
s[1],s[2],s[3],…,s[n] )
が，或るリーグ戦のスコア数列であるための必要十分条件は，
次の(ランダウの条件)が成り立つことである．
(ランダウの条件)
1≦k＜n なるすべての k に対して，Σ[j=1〜k]s[j] ≧
k*(k-1)/2
であり，なおかつ， Σ[j=1〜n]s[j] = n*(n-1)/2.
------------------------------------
(証明)
下記にこの定理の証明があります．
http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Oktatas/TDK/FINAL/Chap%2014.PDF
以下は私なりに上記証明を日本語にしたものです．
n=2の場合には，定理が成り立つことは直接確かめることができる．
n≧3として考える．
(ランダウの条件) がスコア数列であるための必要条件になっている
ことは容易にわかる．以下では十分性を証明する．
(ランダウの条件)を満たしているにもかかわらず，
全ての項が0以上の整数であるような非減少のn項数列
(s[1],s[2],s[3],…,s[n])であって，
スコア数列ではないものが存在したと仮定する．
このような n のうち，最小の n について考える．
さらに，nが最小なもののうち，s[1]の値が最小なものを考える．
次の2つの場合に分けて考える．
(1) 1≦k＜n かつ Σ[j=1〜k]s[j] = k*(k-1)/2 となるような k が存在する場合．
n の最小性により，(s[1],s[2],…,s[k]) は，或るリーグ戦 T1 のスコア数列である．
さらに，1≦m≦(n-k) なるすべての m に対して，
Σ[j=1〜m](s[k+j]-k)
=Σ[j=1〜m+k](s[j]-k) - Σ[j=1〜k](s[j]-k)
=Σ[j=1〜m+k](s[j]) - Σ[j=1〜k](s[j]) - m*k
≧ (m+k)*(m+k-1)/2
- k*(k-1)/2 - m*k
=m*(m-1)/2
である．(m=n-kのときには上記のすべての等号が成立する)
よって，（ (s[k+1]-k),(s[k+2]-k),…,(s[n]-k) )は，(ランダウの条件)を満たすような
(n-k)項の数列である。
n の最小性により，これは或るリーグ戦 T2 のスコア数列である．
(T1の k 人の参加者とT2の (n-k) 人の参加者は重複しないようにしておく)
T1とT2を合併し，T2の参加者(n-k)人の各々が， T1の参加者 k 人の各々に勝利するような
新たなリーグ戦T3を考える． T3のスコア数列は，
(s[1],s[2],s[3],…,s[n-1],s[n]) となっている．
(2) 1≦k＜n を満たすすべての k に対して，
Σ[j=1〜k]s[j] ＞
k*(k-1)/2 となる場合．
このとき， s[1]≧1，s[n]≦(n-2) である．
さて，n項数列 ( s[1]-1, s[2], s[3], … , s[n-1], s[n]+1 ) は，
(ランダウの条件) を満たす数列である．s[1]の最小性により，この数列は
或るリーグ戦 T4 のスコア数列である．T4の参加者のうち，勝数が s[1]-1
となっている者を v_1，勝数が s[n]+1 となっている者をv_n とする．
v_n が v_1 に勝利している場合には，この勝敗を逆にすることによって新たな
リーグ戦の戦績表ができ，このリーグ戦のスコア数列は，
( s[1],
s[2], s[3], … , s[n-1], s[n] ) となる．
また，v_1 が v_n に勝利している場合には，v_1 に勝利し，なおかつ v_n に敗北
しているようなT4の参加者 p が存在する．
v_1 と p および v_n と p の勝敗を逆にすることによって新たなリーグ戦の戦績表ができ，
このリーグ戦のスコア数列は，( s[1], s[2],
s[3], … , s[n-1], s[n] )
となる．
(1),(2) のいずれの場合にも，矛盾が生じることが分かった．
よって十分性が証明できた．
(証明終)
次の本にも，「ランダウの定理」の証明が載っています．
「Topics on Tournaments」John W. Moon 著
https://www.gutenberg.org/ebooks/42833
この本の86ページから88ページにかけて証明があります．
(以上)
＜水の流れ：英語の論文までを含めた丁寧な報告に感謝します。私には分からないところがありますが、皆さんには参考になりますように＞
NO5「スモークマン」 04/29
16時34分 受信 更新 5/1
探求問題
2C2=1・・・2枠で１点以下でトータル１点
3C2=3・・・3枠―2点以下でトータル3点
4C2=6・・・4枠―3点以下でトータル6点
5C2=10・・・5枠―4点以下でトータル10点
6C2=15・・・6枠―5点以下でトータル15点
f(3)={3-2=1…2+1+1}+{1+1+1}=f(2)+1=2
f(4)={6-3=3…残り3枠で3点=f(3)}+{2+2+(1+*)+(*)...残り2枠で1点}+{2+2+2+0}=f(3)+f(2)+1=4
f(5)={10-4=6…6点を残り4枠=f(4)}+{3+3+(1+*)+(*)+(*)=残り3枠で3点=f(3)}
+{3+2+2+(1+*)+(1+*)…残り2枠で1点=f(2)}+{2+2+2+2+2}=f(4)+f(3)+f(2)+1=8
f(6)={15-5=10…残り5枠で10点=f(5)}+{4+4+(1+*)+(*)+(*)+(*)…残り4枠で6点=f(4)}+{4+3+3+(1+*)+(1+*)+(*)…残り3枠で3点=f(3)}+
{3+3+3+3+(2+*)+(*)+{3+3+3+2+2+2}...残り2枠で1点}=f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+1=16
So…
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+1=2^(n-2)
と予想？
<水の流れ：「ジョーカー」さんからのサイトhttps://oeis.org/A000571
によると、数列は１，２，４，９，２２，５９になっています。＞
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
