令和７年３月３０日
[流れ星]
第452回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：３月２日～３月３０日＞
［単位分数］
分子が１の分数を単位分数といい、分数を異なる単位分数の和で表すことを単位分数分解という。
実は、単位分数分解の方法は無限通りあり、証明することも可能です。
後述にある参考を参照ください。
単位分数分解の方法は、2通りあります。
１ 分解したい分数から、最大の単位分数をひいていく方法
２ 不等式によって、分母にあてはまる自然数をしぼっていく方法
単位分数分解の方法１
① もとの分数から、それより小さい最大の単位分数をひく。
② その結果が単位分数なら終了。単位分数でないなら、その分数より小さい最大の単位分数をひく。
③ ②を繰り返す。
＊ 有限回の計算で必ず単位分数が登場する。
例 
の単位分数分解
① 
より小さい最大の単位分数は、 
なので、
∴ 
② は単位分数のため、分解終了。
単位分数分解の方法２
① もとの分数 
(x<y) とおく。
② x にあてはまる可能性のある自然数を求める。
③ x をそれぞれ代入し、そのときのy の値が自然数（
が単位分数)なら終了し、そうでなければその分数について(1)から同じ作業を行っていく。
＊ x にあてはまる可能性のある自然数は、n より大きく、2n より小さい分数となります。
ここで、問題です
問題 
のように３個の単位分数に分解できます。
１を４個の単位分数に分解してください。
余力問題 １を５個の異なる単位分数に分解すると。何組になりますか。
紙の上で、解を見つけるには、相当な時間がかかり、途中で諦めました。
誰か、PCで求めて頂けませんか。
参考文献 BLUEBACKS 大学受験で語る数論の世界 清水健一 講談社
参考に
追加問題（出題者は「ジョーカー」） 新作シリーズ11,12問目
今回で終了です。
問題1
問題２
NO1「三角定規」 03/02 21時42分 受信 更新 3/30
[問題452] (余力問題) 1＝1/a+1/b+1/c+1/d+1/e
(a<b<c<d<e)につきまして
参考資料もキチンと読んでおらず, (問題1 も 余力問題も) まだキチンとは考えていないのですが，
> 誰か、 PC で求めて頂けませんか。
とあったので，エクセルでマクロを組み，解の例のみ求めてみました。
添付 エクセルファイル「1を5個の単位分数の和で.xlsm」をご覧下さい。
e≦100 で 42個の，e≦200 で 57個の 解の例があるようです。
「三角定規」 03/15 09時37分 受信 更新 3/30
「三角定規」 03/16 09時18分 受信 更新 3/30
前回から修正された解答です
NO2「ジョーカー」 03/04 16時13分 受信 更新 3/30
「ジョーカー」 03/07 21時31分 受信 更新 3/30
前回から予力問題の解法が追加された解答です
NO3「日曜数学者」 03/05 12時32分 受信 更新 3/30
[解答]
(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)=1 --------- (1)
を満たす4個の自然数x,y,z,w (0<x<y<z<w)を求める。
(1)および0<x<y<z<wより、
(1/x)<(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)=1
よって、
x>1 -------- (2)
である。
また、仮に、x>=3ならば、
(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)<=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20<1
より、(1)は成立しない。
よって、x<3 ------- (3)
自然数xは(2),(3)を満たすので、x=2である。
(1)にx=2を代入して、
(1/y)+(1/z)+(1/w)=1/2 ---------- (4)
2<y<z<wより、仮に、y>=6ならば
(1/y)+(1/z)+(1/w)<=1/6+1/7+1/8=73/168<1/2
となるので、(4)は成立しない。
よって、2<y<6である。
(i)y=3のとき
(4)にy=3を代入して、
(1/z)+(1/w)=1/6 -------- (5)
6*(z+w)=z*w
(z-6)*(w-6)=36
(5)より
z>6
(z-6),(w-6)は、36の約数で、0<x-6<w-6なので、
(z-6,w-6)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9)
(z,w)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15)
よって、
(x,y,z,w)=(2,3,7,42),(2,3,8,24),(2,3,9,18),(2,3,10,15)
(ii)y=4のとき
(4)にy=4を代入して、
(1/z)+(1/w)=1/4 -------- (6)
4*(z+w)=z*w
(z-4)*(w-4)=16
(6)より
z>4
(z-4),(w-4)は、16の約数で、0<z-4<w-4なので、
(z-4,w-4)=(1,16),(2,8)
(z,w)=(5,20),(6,12)
よって、
(x,y,z,w)=(2,4,5,20),(2,4,6,12)
(iii)y=5のとき
(4)にy=5を代入して、
(1/z)+(1/w)=3/10 -------- (7)
10*(z+w)=3*z*w
(3*z-10)*(3*w-10)=100
5<z<wより、整数(3*z-10),(3*w-10)は、100の約数で、0<3*z-10<3*w-10なので、
(3*z-10,3*w-10)=(1,100),(2,50),(4,25),(5,20)
(z,w)=(11/3,110/3),(4,20),(14/3,35/3),(5,10)
この中で、z,wが自然数で、z>5となるものは存在しない。
(i),(ii),(iii)より、
(x,y,z,w)=(2,3,7,42),(2,3,8,24),(2,3,9,18),(2,3,10,15),(2,4,5,20),(2,4,6,12)
(1)の自然数解(x,y,z,w)で0<x<y<z<wを満たすものは、6個である。
1/2+1/3+1/7+1/42=1
1/2+1/3+1/8+1/24=1
1/2+1/3+1/9+1/18=1
1/2+1/3+1/10+1/15=1
1/2+1/4+1/5+1/20=1
1/2+1/4+1/6+1/12=1
[参考]
1をn個の分母の異なる単位分数の和で表す方法の数をPari/GPのプログラムを作成して、
計算させてみました。
結果は、以下の通りです。
自然数n>=2に対して、
S(n)={[x_1,x_2,x_3,...,x_n] :(1/x_1)+(1/x_2)+(1/x_3)+...+(1/x_n)=1,
x_1,x_2,x_3,...,x_nは自然数, 0<x_1<x_2<x_3<...<x_n }
とする。
#S(2)=0
#S(3)=1
#S(4)=6
#S(5)=72
#S(6)=2320 (添付ファイル参照)
#S(7)=249264 (添付ファイル参照)
#S(8)=??? (157万以上)
[Pari/GPによる計算結果]
GP/PARI CALCULATOR Version 2.15.0 (released)
amd64 running netbsd (x86-64/GMP-6.1.2 kernel) 64-bit version
compiled: Oct 15 2022, gcc version 5.5.0 (nb2 20180327)
threading engine: single
(readline v7.0 enabled, extended help enabled)
Copyright (C) 2000-2022 The PARI Group
PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.
Type ? for help, \q to quit.
Type ?18 for how to get moral (and possibly technical) support.
parisize = 6144000000, primelimit = 100000000
(08:03) gp > sss2a(1)
%1 = 0
(08:03) gp > sss3a(1)
1:[2, 3, 6]
%2 = 1
(08:04) gp > sss4a(1)
1:[2, 3, 7, 42]
2:[2, 3, 8, 24]
3:[2, 3, 9, 18]
4:[2, 3, 10, 15]
5:[2, 4, 5, 20]
6:[2, 4, 6, 12]
%3 = 6
(08:04) gp > sss5a(1)
1:[2, 3, 7, 43, 1806]
2:[2, 3, 7, 44, 924]
3:[2, 3, 7, 45, 630]
4:[2, 3, 7, 46, 483]
5:[2, 3, 7, 48, 336]
6:[2, 3, 7, 49, 294]
7:[2, 3, 7, 51, 238]
8:[2, 3, 7, 54, 189]
9:[2, 3, 7, 56, 168]
10:[2, 3, 7, 60, 140]
11:[2, 3, 7, 63, 126]
12:[2, 3, 7, 70, 105]
13:[2, 3, 7, 78, 91]
14:[2, 3, 8, 25, 600]
15:[2, 3, 8, 26, 312]
16:[2, 3, 8, 27, 216]
17:[2, 3, 8, 28, 168]
18:[2, 3, 8, 30, 120]
19:[2, 3, 8, 32, 96]
20:[2, 3, 8, 33, 88]
21:[2, 3, 8, 36, 72]
22:[2, 3, 8, 40, 60]
23:[2, 3, 8, 42, 56]
24:[2, 3, 9, 19, 342]
25:[2, 3, 9, 20, 180]
26:[2, 3, 9, 21, 126]
27:[2, 3, 9, 22, 99]
28:[2, 3, 9, 24, 72]
29:[2, 3, 9, 27, 54]
30:[2, 3, 9, 30, 45]
31:[2, 3, 10, 16, 240]
32:[2, 3, 10, 18, 90]
33:[2, 3, 10, 20, 60]
34:[2, 3, 10, 24, 40]
35:[2, 3, 11, 14, 231]
36:[2, 3, 11, 15, 110]
37:[2, 3, 11, 22, 33]
38:[2, 3, 12, 13, 156]
39:[2, 3, 12, 14, 84]
40:[2, 3, 12, 15, 60]
41:[2, 3, 12, 16, 48]
42:[2, 3, 12, 18, 36]
43:[2, 3, 12, 20, 30]
44:[2, 3, 12, 21, 28]
45:[2, 3, 14, 15, 35]
46:[2, 4, 5, 21, 420]
47:[2, 4, 5, 22, 220]
48:[2, 4, 5, 24, 120]
49:[2, 4, 5, 25, 100]
50:[2, 4, 5, 28, 70]
51:[2, 4, 5, 30, 60]
52:[2, 4, 5, 36, 45]
53:[2, 4, 6, 13, 156]
54:[2, 4, 6, 14, 84]
55:[2, 4, 6, 15, 60]
56:[2, 4, 6, 16, 48]
57:[2, 4, 6, 18, 36]
58:[2, 4, 6, 20, 30]
59:[2, 4, 6, 21, 28]
60:[2, 4, 7, 10, 140]
61:[2, 4, 7, 12, 42]
62:[2, 4, 7, 14, 28]
63:[2, 4, 8, 9, 72]
64:[2, 4, 8, 10, 40]
65:[2, 4, 8, 12, 24]
66:[2, 4, 9, 12, 18]
67:[2, 4, 10, 12, 15]
68:[2, 5, 6, 8, 120]
69:[2, 5, 6, 9, 45]
70:[2, 5, 6, 10, 30]
71:[2, 5, 6, 12, 20]
72:[3, 4, 5, 6, 20]
time = 1 ms.
%4 = 72
(08:04) gp > sss6c(1)
time = 23 ms.
%5 = 2320
(08:04) gp > sss7c(1)
time = 8,337 ms.
%6 = 249264
＜水の流れ：[Pari/GPのプログラム(n=4,5の場合)]は割愛させていただきます。＞
<水の流れ：この解答は異なる単位分数の和を考えています。>
「日曜数学者」 03/06 14時23分 受信 更新 3/30
[参考2]
単位分数(分母の重複を許す)の和で表す場合についても、計算しました。
1を4個の単位分数(分母の重複を許す)の和で表す方法は、以下の14通りである。
1/2+1/3+1/7+1/42=1
1/2+1/3+1/8+1/24=1
1/2+1/3+1/9+1/18=1
1/2+1/3+1/10+1/15=1
1/2+1/3+1/12+1/12=1
1/2+1/4+1/5+1/20=1
1/2+1/4+1/6+1/12=1
1/2+1/4+1/8+1/8=1
1/2+1/5+1/10+1/10=1
1/2+1/6+1/6+1/6=1
1/3+1/3+1/4+1/12=1
1/3+1/3+1/6+1/6=1
1/3+1/4+1/4+1/6=1
1/4+1/4+1/4+1/4=1
自然数n>=2に対して、
T(n)={[x_1,x_2,x_3,...,x_n] :(1/x_1)+(1/x_2)+(1/x_3)+...+(1/x_n)=1,
x_1,x_2,x_3,...,x_nは自然数, 0<x_1<=x_2<=x_3<=...<=x_n }
とする。
#T(2)=1
#T(3)=3
#T(4)=14
#T(5)=147
#T(6)=3483 (添付ファイル参照)
#T(7)=294314 (添付ファイル参照)
#T(8)=???
<水の流れ：6個、7個でできる単位分数の和が１となる場合が4桁、6桁となるとは驚きです・。
[Pari/GPによる計算結果]
(09:24) gp > sss2(1)
1:[2, 2]
%2 = 1
(09:24) gp > sss3(1)
1:[2, 3, 6]
2:[2, 4, 4]
3:[3, 3, 3]
%3 = 3
(09:31) gp > sss4(1,1)
1:[2, 3, 7, 42]
2:[2, 3, 8, 24]
3:[2, 3, 9, 18]
4:[2, 3, 10, 15]
5:[2, 3, 12, 12]
6:[2, 4, 5, 20]
7:[2, 4, 6, 12]
8:[2, 4, 8, 8]
9:[2, 5, 5, 10]
10:[2, 6, 6, 6]
11:[3, 3, 4, 12]
12:[3, 3, 6, 6]
13:[3, 4, 4, 6]
14:[4, 4, 4, 4]
%2 = 14
(09:31) gp > sss5(1,1)
1:[2, 3, 7, 43, 1806]
2:[2, 3, 7, 44, 924]
3:[2, 3, 7, 45, 630]
4:[2, 3, 7, 46, 483]
5:[2, 3, 7, 48, 336]
6:[2, 3, 7, 49, 294]
7:[2, 3, 7, 51, 238]
8:[2, 3, 7, 54, 189]
9:[2, 3, 7, 56, 168]
10:[2, 3, 7, 60, 140]
11:[2, 3, 7, 63, 126]
12:[2, 3, 7, 70, 105]
13:[2, 3, 7, 78, 91]
14:[2, 3, 7, 84, 84]
15:[2, 3, 8, 25, 600]
16:[2, 3, 8, 26, 312]
17:[2, 3, 8, 27, 216]
18:[2, 3, 8, 28, 168]
19:[2, 3, 8, 30, 120]
20:[2, 3, 8, 32, 96]
21:[2, 3, 8, 33, 88]
22:[2, 3, 8, 36, 72]
23:[2, 3, 8, 40, 60]
24:[2, 3, 8, 42, 56]
25:[2, 3, 8, 48, 48]
26:[2, 3, 9, 19, 342]
27:[2, 3, 9, 20, 180]
28:[2, 3, 9, 21, 126]
29:[2, 3, 9, 22, 99]
30:[2, 3, 9, 24, 72]
31:[2, 3, 9, 27, 54]
32:[2, 3, 9, 30, 45]
33:[2, 3, 9, 36, 36]
34:[2, 3, 10, 16, 240]
35:[2, 3, 10, 18, 90]
36:[2, 3, 10, 20, 60]
37:[2, 3, 10, 24, 40]
38:[2, 3, 10, 30, 30]
39:[2, 3, 11, 14, 231]
40:[2, 3, 11, 15, 110]
41:[2, 3, 11, 22, 33]
42:[2, 3, 12, 13, 156]
43:[2, 3, 12, 14, 84]
44:[2, 3, 12, 15, 60]
45:[2, 3, 12, 16, 48]
46:[2, 3, 12, 18, 36]
47:[2, 3, 12, 20, 30]
48:[2, 3, 12, 21, 28]
49:[2, 3, 12, 24, 24]
50:[2, 3, 13, 13, 78]
51:[2, 3, 14, 14, 42]
52:[2, 3, 14, 15, 35]
53:[2, 3, 14, 21, 21]
54:[2, 3, 15, 15, 30]
55:[2, 3, 15, 20, 20]
56:[2, 3, 16, 16, 24]
57:[2, 3, 18, 18, 18]
58:[2, 4, 5, 21, 420]
59:[2, 4, 5, 22, 220]
60:[2, 4, 5, 24, 120]
61:[2, 4, 5, 25, 100]
62:[2, 4, 5, 28, 70]
63:[2, 4, 5, 30, 60]
64:[2, 4, 5, 36, 45]
65:[2, 4, 5, 40, 40]
66:[2, 4, 6, 13, 156]
67:[2, 4, 6, 14, 84]
68:[2, 4, 6, 15, 60]
69:[2, 4, 6, 16, 48]
70:[2, 4, 6, 18, 36]
71:[2, 4, 6, 20, 30]
72:[2, 4, 6, 21, 28]
73:[2, 4, 6, 24, 24]
74:[2, 4, 7, 10, 140]
75:[2, 4, 7, 12, 42]
76:[2, 4, 7, 14, 28]
77:[2, 4, 8, 9, 72]
78:[2, 4, 8, 10, 40]
79:[2, 4, 8, 12, 24]
80:[2, 4, 8, 16, 16]
81:[2, 4, 9, 9, 36]
82:[2, 4, 9, 12, 18]
83:[2, 4, 10, 10, 20]
84:[2, 4, 10, 12, 15]
85:[2, 4, 12, 12, 12]
86:[2, 5, 5, 11, 110]
87:[2, 5, 5, 12, 60]
88:[2, 5, 5, 14, 35]
89:[2, 5, 5, 15, 30]
90:[2, 5, 5, 20, 20]
91:[2, 5, 6, 8, 120]
92:[2, 5, 6, 9, 45]
93:[2, 5, 6, 10, 30]
94:[2, 5, 6, 12, 20]
95:[2, 5, 6, 15, 15]
96:[2, 5, 7, 7, 70]
97:[2, 5, 8, 8, 20]
98:[2, 5, 10, 10, 10]
99:[2, 6, 6, 7, 42]
100:[2, 6, 6, 8, 24]
101:[2, 6, 6, 9, 18]
102:[2, 6, 6, 10, 15]
103:[2, 6, 6, 12, 12]
104:[2, 6, 7, 7, 21]
105:[2, 6, 8, 8, 12]
106:[2, 6, 9, 9, 9]
107:[2, 7, 7, 7, 14]
108:[2, 8, 8, 8, 8]
109:[3, 3, 4, 13, 156]
110:[3, 3, 4, 14, 84]
111:[3, 3, 4, 15, 60]
112:[3, 3, 4, 16, 48]
113:[3, 3, 4, 18, 36]
114:[3, 3, 4, 20, 30]
115:[3, 3, 4, 21, 28]
116:[3, 3, 4, 24, 24]
117:[3, 3, 5, 8, 120]
118:[3, 3, 5, 9, 45]
119:[3, 3, 5, 10, 30]
120:[3, 3, 5, 12, 20]
121:[3, 3, 5, 15, 15]
122:[3, 3, 6, 7, 42]
123:[3, 3, 6, 8, 24]
124:[3, 3, 6, 9, 18]
125:[3, 3, 6, 10, 15]
126:[3, 3, 6, 12, 12]
127:[3, 3, 7, 7, 21]
128:[3, 3, 8, 8, 12]
129:[3, 3, 9, 9, 9]
130:[3, 4, 4, 7, 42]
131:[3, 4, 4, 8, 24]
132:[3, 4, 4, 9, 18]
133:[3, 4, 4, 10, 15]
134:[3, 4, 4, 12, 12]
135:[3, 4, 5, 5, 60]
136:[3, 4, 5, 6, 20]
137:[3, 4, 6, 6, 12]
138:[3, 4, 6, 8, 8]
139:[3, 5, 5, 5, 15]
140:[3, 5, 5, 6, 10]
141:[3, 6, 6, 6, 6]
142:[4, 4, 4, 5, 20]
143:[4, 4, 4, 6, 12]
144:[4, 4, 4, 8, 8]
145:[4, 4, 5, 5, 10]
146:[4, 4, 6, 6, 6]
147:[5, 5, 5, 5, 5]
time = 1 ms.
%5 = 147
(09:31) gp > sss5(1,0)
time = 1 ms.
%6 = 147
(09:31) gp > sss6(1,0)
time = 18 ms.
%7 = 3462
(09:32) gp > sss7(1,0)
time = 9,275 ms.
%8 = 294314
＜水の流れ：[Pari/GPのプログラム(n=4,5の場合)]は割愛させていただきます。＞
NO4「スモークマン」 03/06 20時03分 受信 更新 3/30
問題 単位分数3 or 4個の和が1
1/a+1/b+1/c+1/d=1
a<b<c<d
4/a>1, 4/d<
So…aは3以下、dは5以上
(1) a=3
2/3=1/b+1/c+1/d
3/b>2/3…9/2>b・・・bは4以下、
b=4
2/3-1/4=5/12=1/c+1/d
5/12<2/c…24/5>c…cは4以下・・・b=c=4で適さない
(2) a=2
1/2=1/b+1/c+1/d
3/b>1/2…6>b・・・bは5, 4, 3
(21) b=5
1/2-1/5=3/10<2/c…c<20/3・・・cは6以下
3/10-1/6=(18-10)/60・・・X
(22) b=4
1/2-1/4=1/4<2/c・・・cは7以下
1/4-1/7=(7-4)/28・・・X
1/4-1/6=(6-4)/24=1/12
1/4-1/5=1/20
(23) b=3
1/2-1/3=1/6<2/c・・・cは12未満
1/6-1/11=(11-6)/66・・・X
1/6-1/10=(10-6)/60=1/15
1/6-1/9=(9-6)/54=1/18
1/6-1/8=(8-6)/48=1/24
1/6-1/7=1/42
結局…
1/2+1/3+1/10+1/15
1/2+1/3+1/9+1/18
1/2+1/3+1/8+1/24
1/2+1/3+1/7+1/42
1/2+1/4+1/6+1/12
1/2+1/4+1/5+1/20
同様にして
1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1
5/a>1・・・aは4以下
(1) a=4
3/4<4/b…b<16/3・・・bは5以下
3/4-1/5=(15-4)/20=11/20<3/c…c/60/11・・・cは5以下でX
(2) a=3
2/3<4/b…b<6・・・bは5以下
(21)b=5
2/3-1/5=(10-3)/15=7/15<3/c…c<45/7・・・cは6以下
7/15-1/6=(42-15)/90=27/90=3/10<2/d…d<20/3・・・dは6以下でX
(22)b=4
2/3-1/4=(8-3)/12=5/12<3/c…c<36/5・・・cは７以下
(31)c=5
5/12-1/5=(25-12)/60=13/60<2/d…d<120/13・・・dは９以下
13/60-1/9=(117-60)/540=57/540・・・X
13/60-1/8=(104-60)/480=44/480・・・X
13/60-1/7=(91-60)/420=31/420・・・X
13/60-1/6=(78-60)/360=18/360=1/20
1/3+1/4+1/5+1/6+1/20
(32)c=6
5/12-1/6=(30-12)/72=18/72=1/4<2/d…d<8・・・dは7以下
1/4-1/7=(7-3)/28・・・X
(33)c=7
5/12-1/7=(35-12)/84=23/94<2/d…d<188/23・・・dは8以下
23/94-1/8=(184-94)/(8*94)=90/(8*94)・・・X
(3) a=2
1/2<4/b・・・bは7以下
(31)b=3
1/2-1/3=1/6<3/c・・・cは17以下
1/6-1/17=11/102<2/d・・・d<204/11・・・dは18以下
11/102・・・なし
1/6-1/16=10/(6*16)=5/48<2/d・・・d<96/5・・・dは19以下・・・適するものはなし
1/6-1/15=1/10<2/d・・・dは19以下
ここもなし
1/6-1/14=8/84=2/21<2/d・・・dは20以下
2/21-1/15=1/35
1/2+1/3+1/14+1/15+1/35
1/6-1/13=7/78<2/d・・・d<156/7・・・dは22以下
ここはなし
1/6-1/12=1/12<2/d・・・dは23以下
1/12-1/21=1/28
1/2+1/3+1/12+1/21+1/28
1/12-1/20=1/30
1/2+1/3+1/12+1/20+1/30
1/12-1/18=1/36
1/2+1/3+1/12+1/18+1/36
1/12-1/16=1/48
1/2+1/3+1/12+1/16+1/48
1/12-1/15=1/60
1/2+1/3+1/12+1/15+1/60
1/12-1/14=1/84
1/2+1/3+1/12+1/14+1/84
1/12-1/13=1/156
1/2+1/3+1/12+1/13+1/156
1/6-1/11=5/66<2/d…d<132/5・・・dは26以下
5/66-1/22=1/33
1/2+1/3+1/11+1/22+1/33
5/66-1/15=1/110
1/2+1/3+1/11+1/15+1/110
5/66-1/14=1/231
1/2+1/3;1/11+1/14+1/231
1/6-1/10=1/15<2/d・・・dは29以下
1/15-1/24=1/40
1/2+1/3+1/10+1/24+1/40
1/15-1/20=1/60
1/2+1/3+1/10+1/20+1/60
1/15-1/18=1/90
1/2+1/3+1/10+1/18+1/90
1/15-1/16=1/240
1/2+1/3+1/10+1/16+1/240
1/6-1/9=1/18<2/d・・・dは35以下
1/18=1/30=1/45
1/2+1/3+1/9+1/30+1/45
1/18-1/27=1/54
1/2+1/3+1/9+1/27+1/54
1/18-1/24=1/72
1/2+1/3+1/9+1/24+1/72
1/18-1/22=1/99
1/2+1/3+1/9+1/22+1/99
1/18-1/21=1/126
1/2+1/3+1/9+1/21+1/126
1/18-1/20=1/180
1/2+1/3+1/9+1/20+1/180
1/18-1/19=1/342
1/2+1/3+1/9+1/19+1/342
1/6-1/8=1/24<2/d・・・dは47以下
1/24-1/42=1/56
1/2+1/3+1/8+1/42+1/56
1/24-1/40=1/60
1/2+1/3+1/8+1/40+1/60
1/24-1/36=1/72
1/2+1/3+1/8+1/36+1/72
1/24-1/33=1/88
1/2+1/3+1/8+1/33+1/88
1/24-1/32=1/96
1/2+1/3+1/8+1/32+1/96
1/24-1/30=1/120
1/2+1/3+1/8+1/30+1/120
1/24-1/28=1/168
1/2+1/3+1/8+1/28+1/168
1/24-1/27=1/216
1/2+1/3+1/8+1/27+1/216
1/24-1/26=1/312
1/2+1/3+1/8+1/26+1/312
1/24-1/25=1/600
1/2+1/3+1/8+1/25+1/600
1/6-1/7=1/42<2/d・・・dは83以下
1/42-1/78=1/91
1/2+1/3+1/7+1/78+1/91
1/42-1/70=1/105
1/2+1/3+1/7+1/70+1/105
1/42-1/63=1/126
1/2+1/3+1/7+1/63+1/126
1/42-1/60=1/140
1/2+1/3+1/7+1/60+1/140
1/42-1/56=1/168
1/2+1/3+1/7+1/56+1/168
1/42-1/54=1/189
1/2+1/3+1/7+1/54+1/189
1/42-1/51=1/238
1/2+1/3+1/7+1/51+1/238
1/42-1/49=1/294
1/2+1/3+1/7+1/49+1/294
1/42-1/48=1/336
1/2+1/3+1/7+1/48+1/336
1/42-1/46=1/483
1/2+1/3+1/7+1/46+1/483
1/42-1/45=1/630
1/2+1/3+1/7+1/45+1/630
1/42-1/44=1/924
1/2+1/3+1/7+1/44+1/924
1/42-1/43=1/1806
1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806
(32)b=4
1/2-1/4=1/4<3/c・・・cは11以下
1/4-1/11=7/44<2/d・・・d<88/7・・・dは12以下
7/44-1/12=5/66・・・X
1/4-1/10=6/40=3/20<2/d・・・d<40/3・・・dは13以下
3/20-1/12=1/15
1/2+1/4+1/10+1/12+1/15
1/4-1/9=5/36<2/d・・・dは14以下
5/36-1/12=1/18
1/2+1/4+1/9+1/12+1/18
1/4-1/8=1/8<2/d・・・dは15以下
1/8-1/12=1/24
1/2+1/4+1/8+1/12+1/24
1/8-1/10=1/40
1/2+1/4+1/8+1/10+1/40
1/8-1/9=1/72
1/2+1/4+1/8+1/9+1/72
1/4-1/7=3/28<2/d・・・dは18以下
3/28-1/14=1/28
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28
3/28-1/12=1/42
1/2+1/4+1/7+1/12+1/42
3/28-1/10=1/140
1/2+1/4+1/7+1/10+1/140
1/4-1/6=1/12<2/d・・・dは23以下
1/12-1/21=1/28
1/2+1/4+1/6+1/21+1/28
1/12-1/20=1/30
1/2+1/4+1/6+1/20+1/30
1/12-1/18=1/36
1/2+1/4+1/6+1/18+1/36
1/12-1/16=1/48
1/2+1/4+1/6+1/16+1/48
1/12-1/15=1/60
1/2+1/4+1/6+1/15+1/60
1/12-1/14=1/84
1/2+1/4+1/6+1/14+1/84
1/12-1/13=1/156
1/2+1/4+1/6+1/13+1/156
1/4-1/5=1/20<2/d・・・dは39以下
1/20-1/36=1/45
1/2+1/4+1/5+1/36+1/45
1/20-1/30=1/60
1/2+1/4+1/5+1/30+1/60
1/20-1/28=1/70
1/2+1/4+1/5+1/28+1/70
1/20-1/25=1/100
1/2+1/4+1/5+1/25+1/100
1/20-1/24=1/120
1/2+1/4+1/5+1/24+1/120
1/20-1/22=1/220
1/2+1/4+1/5+1/22+1/220
1/20-1/21=1/420
1/2+1/4+1/5+1/21+1/420
(33)b=5
1/2-1/5=3/10<3/c・・・cは９以下
3/10-1/9=17/90<2/d…d<180/17・・・dは10以下
3/10-1/8=7/40<2/d…d<80/7・・・dは11以下
3/10-1/7=11/70<2/d…d<140/11・・・dは12以下
3/10-1/6=4/30=2/15<2/d・・・dは14以下
2/15-1/12=1/20
1/2+1/5+1/6+1/12+1/20
2/15-1/10=1/30
1/2+1/5+1/6+1/10+1/30
2/15-1/9=1/45
1/2+1/5+1/6+1/9+1/45
2/15-1/8=1/120
1/2+1/5+1/6+1/8+1/120
(34)b=6
1/2-1/6=1/3<3/c・・・cは8以下
1/3-1/8=5/24<2/d・・・dは９以下
適するものなし
1/3-1/7=4/21<2/d・・・dは10以下
適するものなし
(35)
1/2-1/7=5/14<3/c…c<42/5・・・cは8以下
5/14-1/8=(40-14)/(8*14)=13/56<2/d…d<112/13・・・dは8以下・・・なし
PCでも
1/2+1/3+タイプ・・・45個
1/2+1/4+タイプ・・・22個
1/2+1/5+タイプ4個
1/3+1/4+1/5+1/6+1/20・・・1個
全部で72個
So…上のものですべてのはず
「スモークマン」 03/07 21時21分 受信 更新 3/30
NO5「二度漬け白菜」 03/16 19時59分 受信 更新 3/30
第452回の応募問題の解答：
［単位分数］
1を4個の単位分数に分解する方法は次の14通り．(答)
1=(1/2)+(1/3)+(1/7)+(1/42),
=(1/2)+(1/3)+(1/8)+(1/24),
=(1/2)+(1/3)+(1/9)+(1/18),
=(1/2)+(1/3)+(1/10)+(1/15),
=(1/2)+(1/3)+(1/12)+(1/12),
=(1/2)+(1/4)+(1/5)+(1/20),
=(1/2)+(1/4)+(1/6)+(1/12),
=(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/8),
=(1/2)+(1/5)+(1/5)+(1/10),
=(1/2)+(1/6)+(1/6)+(1/6),
=(1/3)+(1/3)+(1/4)+(1/12),
=(1/3)+(1/3)+(1/6)+(1/6),
=(1/3)+(1/4)+(1/4)+(1/6),
=(1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4).
また，1を4個の単位分数に，単位分数分解する表す方法は次の6通り．
1=(1/2)+(1/3)+(1/7)+(1/42),
=(1/2)+(1/3)+(1/8)+(1/24),
=(1/2)+(1/3)+(1/9)+(1/18),
=(1/2)+(1/3)+(1/10)+(1/15),
=(1/2)+(1/4)+(1/5)+(1/20),
=(1/2)+(1/4)+(1/6)+(1/12).
1=(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d), a≦b≦c≦d
を満たすような正整数a,b,c,dの組(a,b,c,d)を
すべて求めればよい．
1-(1/a)=(1/b)+(1/c)+(1/d)>0 より，2≦a.
(4/a)≧(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)=1 より，a≦4.
よって，2≦a≦4.
1-(1/a)-(1/b)=(1/c)+(1/d)>0 より，floor(1/(1-(1/a)))+1≦b.
(3/b)≧(1/b)+(1/c)+(1/d)=1-(1/a) より, b≦floor(3/(1-(1/a))).
よって，max(a,floor(1/(1-(1/a)))+1)≦b≦floor(3/(1-(1/a))) ---(1)
1-(1/a)-(1/b)-(1/c)=(1/d)>0 より，floor(1/(1-(1/a)-(1/b)))+1≦c.
(2/c)≧(1/c)+(1/d)=1-(1/a)-(1/b) より, c≦floor(2/(1-(1/a)-(1/b))).
よって，max(b,floor(1/(1-(1/a)-(1/b)))+1)≦c≦floor(2/(1-(1/a)-(1/b))) ---(2)
・a=2の場合：
(1)より，3≦b≦6.
(a,b)=(2,3)のとき，(2)より，7≦c≦12.
このうち，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))が 7 以上の整数となるような(a,b,c)は，
(a,b,c)=(2,3,7),(2,3,8),(2,3,9),(2,3,10),(2,3,12).
(a,b)=(2,4)のとき，(2)より，5≦c≦8.
このうち，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))が 5 以上の整数となるような(a,b,c)は，
(a,b,c)=(2,4,5),(2,4,6),(2,4,8).
(a,b)=(2,5)のとき，(2)より，5≦c≦6.
このうち，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))が 5 以上の整数となるような(a,b,c)は，
(a,b,c)=(2,5,5)のみ.
(a,b)=(2,6)のとき，(2)より，c=6.
このとき，(d)=1/(1-(1/a)+(1/b)+(1/c))=6 となる．
・a=3の場合：
(1)より，3≦b≦4.
(a,b)=(3,3)のとき，(2)より，4≦c≦6.
このうち，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))が 4 以上の整数となるような(a,b,c)は，
(a,b,c)=(3,3,4),(3,3,6).
(a,b)=(3,4)のとき，(2)より，c=4.
このとき，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))=6 となる．
・a=4の場合：
(1)より，b=4.
(a,b)=(4,4)のとき，(2)より，c=4.
このとき，(d)=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c))=4 となる．
以上より，次の14組が解となる．
(a,b,c,d)
=(2,3,7,42),(2,3,8,24),(2,3,9,18),(2,3,10,15),(2,3,12,12),
(2,4,5,20),(2,4,6,12),(2,4,8,8),(2,5,5,10),(2,6,6,6),
(3,3,4,12),(3,3,6,6),(3,4,4,6),(4,4,4,4).
[余力問題]
1=(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e),
a<b<c<d<e
を満たすような正整数a,b,c,d,eの組(a,b,c,d,e)の総数を
数えればよい．この組の総数は 72 (答)
1-(1/a)=(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e)>0 および
(5/a)>(1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e)=1 より，
2≦a≦4.
1-(1/a)-(1/b)=(1/c)+(1/d)+(1/e)>0 および
(4/b)>(1/b)+(1/c)+(1/d)+(1/e)=1-(1/a) より,
max(a+1,floor(1/(1-1/a))+1)≦b≦ceil(4/(1-1/a))-1.
1-(1/a)-(1/b)-(1/c)=(1/d)+(1/e)>0 および
(3/c)>(1/c)+(1/d)+(1/e)=1-(1/a)-(1/b) より,
max(b+1,floor(1/(1-(1/a)-(1/b)))+1)≦c≦ceil(3/(1-(1/a)-(1/b)))-1.
1-(1/a)-(1/b)-(1/c)-(1/d)=(1/e)>0 および
(2/d)>(1/d)+(1/e)=1-(1/a)-(1/b)-(1/c) より,
max(c+1,floor(1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c)))+1)≦d≦ceil(2/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c)))-1.
ここで，
e=1/(1-(1/a)-(1/b)-(1/c)-(1/d))
としたとき，eが整数か否かをチェックすればよい．
以上をmaximaで計算させるプログラムが，次です．
count:0$
for a:2 thru 4 do (
for b:max(a+1,floor(1/(1-1/a))+1) thru ceiling(4/(1-1/a))-1 do ( for c:max(b+1,floor(1/(1-1/a-1/b))+1) thru ceiling(3/(1-1/a-1/b))-1 do ( for d:max(c+1,floor(1/(1-1/a-1/b-1/c))+1) thru ceiling(2/(1-1/a-1/b-1/c))-1 do ( s:[a,b,c,d,1/(1-1/a-1/b-1/c-1/d)],
if floor(s[5])+floor(-s[5])=0 then (count:count+1,print(count,":",s))
))));
このプログラムの実行結果 → https://fpseries.exblog.jp/33549829/
OEISには，1をn個の単位分数に単位分数分解する方法の総数 a(n)
の値が掲載されていますね．
この数え上げ問題は，かなりの難問のようです．
a(9)以降の値は未登録です．
単位分数分解の方法が無限にあることは，次の等式からもわかります．
2以上の任意の整数 n, m に対して，
(1/n) = 1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + 1/(n+1)^3 + … + 1/(n+1)^m + 1/(n*(n+1)^m)．
この等式から，(1/n)は，(m+1)個の異なる単位分数の和で表されることがわかります．
また，次の等式からも単位分数分解の方法が無限にあることがわかります．
(1/n) = 1/(n*(m+1)!) + Σ[k=1～m]1/(n*(k+1)!/k).
[追加問題 1]
(1)
(AE/CE)=(1-t)/√2 (答)
(2) CE=(2*a)/√(5-4*t+t^2), AE=(1-t)*a*√(2/(5-4*t+t^2)) (答)
BC=xとおく．
線分CEの中点を M とし，∠CBM=β とおく．
MB⊥CE，MF⊥CEであるから，3点 B,M,F は同一直線上にあることがわかる．
∠BFC=(α/2) である．
ΔBCFに正弦定理を使って，
FC=sin(β)*(x/sin(α/2)) ---(1)
∠DCF=∠BCF-(π/2)=(π-(β+α/2))-(π/2)=(π/2)-(β+α/2).
∠CDF=π-(∠DCF+∠CFD)=(π/2+β-α/2).
ΔCDFに正弦定理を使って，
FC=sin(π/2+β-α/2)*(x/sin(α)), すなわち，
FC=cos(β-α/2)*(x/sin(α)) ---(2)
(1),(2)より，
sin(β)*(x/sin(α/2))=cos(β-α/2)*(x/sin(α)).
よって，
sin(α)*sin(β)=sin(α/2)*cos(β-α/2).
両辺をsin(α/2)で割って，
2*cos(α/2)*sin(β)=cos(β-α/2).
よって，
2*cos(α/2)*sin(β)=cos(β)*cos(α/2)+sin(β)*sin(α/2).
両辺を cos(α/2)*sin(β) で割って，
2=cot(β)+tan(α/2) ---(3)
線分AEの中点を N とする．
AE=2*AN=2*BA*sin(∠ABN)=2*x*sin((π/2-2*β)/2)
=2*x*sin(π/4-β)=(2^(1/2))*x*(cos(β)-sin(β)).
CE=2*x*sin(β).
よって，
(AE/CE)
=(2^(-1/2))*(cot(β)-1)
=(2-tan(α/2)-1)/√2 (∵(3)より，cot(β)=2-tan(α/2))
=(1-tan(α/2))/√2
=(1-t)/√2.
(sin(β))^2
=1-(cos(β))^2
=1-1/(1+(tan(β))^2)
=(tan(β))^2/(1+(tan(β))^2)
=1/((cot(β))^2+1)
=1/((2-t)^2+1)
=1/(5-4*t+t^2).
よって，
sin(β)=1/√(5-4*t+t^2).
CE=2*x*sin(β)=(2*a)/√(5-4*t+t^2).
AE=((1-t)/√2)*CE=(1-t)*a*√(2/(5-4*t+t^2)).
[追加問題 2]
BC=(1/2)*(5*3^(1/2)-11^(1/2))
(答)．
ΔOAC ∽ ΔCAD である．
(まず明らかに，∠OAC=∠CAD.
OA=OCであることから，∠OAC=∠OCA.
CA=CDであることから，∠CAD=∠CDA.
よって，∠OCA=∠CDA. )
OA=xとおく．
ΔOAC ∽ ΔCAD であることから，
2:x=1:2. よって，x=4. OD=OA-AD=4-1=3.
∠AOC=2*α，∠AOB=2*β とおく．
sin(α)=(1/2)*(AC)/(OA)=1/x=(1/4).
cos(α)=(1-(sin(α))^2)^(1/2)=(1/4)*15^(1/2).
cos(2*β)=(1/2)*(OD)/(OB)=(1/2)*(3)/x=(3/8).
cos(β)=((1+cos(2*β))/2)^(1/2)=(1/4)*11^(1/2).
sin(β)=((1-cos(2*β))/2)^(1/2)=(1/4)*5^(1/2).
よって，
BC=2*(OB)*sin(β-α)
=2*4*(sin(β)*cos(α)-cos(β)*sin(α))
=(1/2)*(5*3^(1/2)-11^(1/2)).
(以上)
＜水の流れ：以下の情報ありがとうございます。数列として何かの規則性を見出そうとして考えましたが、断念した次第です。助かった。＞
OEISには，1をn個の単位分数に単位分数分解する方法の総数 a(n)
の値が掲載されていますね．
この数え上げ問題は，かなりの難問のようです．
a(9)以降の値は未登録です．
NO6「kasama」
03/21
01時26分 受信 更新 3/30
寄せされた解答です
NO7「よふかしのつらいおじさん」 03/23 16時05分 受信 更新 3/30
寄せされた解答です
「水の流れ」
更新 3/30
参考：実は過去の第291回の問題と同じでした。
