令和７年９月１４日

[流れ星]

　　第458回数学的な連続応募解答

　　　＜解答募集期間：8月17日〜9月14日＞

［ｘの値域］

　

問題　

（１）関数の増減を調べ,グラフの概形を描け。

（２）実数が次の４つの条件を満たしながら動くとき,のとり得る値の範囲を求めよ。

　　・・・�@

　　・・・�A

　　・・・�B

　　・・・�C

　　

　出典　2025年東京科学大学（理工系）の改題

追加問題（出題者は「ジョーカー」）　新作シリーズ

四分円内の正方形と正三角形の1辺について『２』　

問題１　　シリーズ３問目

正方形と正三角形の1辺が等しいとき(辺を共有しない),

問題２　シリーズ４問目

正方形と正三角形の1辺が等しいとき(辺を共有しない),

NO1「ジョーカー」 　 08/17　　 17時13分 受信 更新 9/14

寄せられた解答です

NO2「浜田明巳」　　　 08/18 11時29分　 受信 更新 9/14

寄せられた解答です

NO3「よふかしのつらいおじさん」 08/20 17時43分 受信 更新 9/14

寄せられた解答です

NO4「三角定規」 08/25 22時33分　 受信 更新 9/14

寄せられた解答です

NO5「スモークマン」 08/28 00時27分　 受信 更新 9/14

追加問題１，２

NO6「kasama」 08/29 01時10分　　 受信 更新 9/14

寄せられた解答です

NO7「二度漬け白菜」 09/06 15時38分　 受信 更新 9/14

[問題]

(1)

f(-t)=-f(t)であるから，y=f(t)のグラフは原点対称．

(d/dt)f(t)=(3-t)*(3+t)/t^4,

(d^2/dt^2)f(t)=2*(t-3*2^(1/2))*(t+3*2^(1/2))/t^5,

lim[t→+0]f(t)=-∞，lim[t→∞]f(t)=+0.

極大点:(3,2/9),

極小点:(-3,-2/9),

変曲点:(3*2^(1/2),(5/36)*2^(1/2)),(-3*2^(1/2),-(5/36)*2^(1/2)).

t>0でのf(t)の増減と原点対称性を考慮して，y=f(t)のグラフは

図のようになる．

図→ https://fpseries.exblog.jp/iv/detail/?s=33770748&i=202509%2F05%2F59%2Fe0454859_10462766.jpg

(2) x<-3 および -3^(1/2)<x<-(3/2) (答)

{�A，�B，�C}

⇔{(y^2-3)/y^3=(x^2-3)/x^3, (z^2-3)/z^3=(y^2-3)/y^3} ⇔{f(x)=f(y)=f(z)}

である．よって，

(x,y,zが4つの条件:�@，�A，�B，�Cを同時に満たす)

⇔

(x,y,zは tの方程式f(t)=k (kは実数) の異なる3つの実数解 かつ x<y<z).

グラフより，実数kが変化するとき，tの方程式 f(t)=k は，

高々3つの解しか持たないことがわかる．

f(t)=kがちょうど3つの解をもつようなkの値の範囲は，

(-2/9)<k<0 および 0<k<(2/9)---★である．

f(t)=(2/9)となるようなtのうち，t=3以外のものは，t=-(3/2).

(∵f(t)=(2/9)⇔9*(t^2-3)=2*t^3⇔2*(t-3)^2*(t+3/2)=0.)

kが★の範囲を動くときの，f(t)=kの3つの解のうちの最小のものが

xであるから，グラフより，xの取り得る値の範囲は，

x<-3 および -3^(1/2)<x<-(3/2)　(答)

[追加問題1]

一辺の長さは，(1/3)*(9-3*6^(1/2))^(1/2) (答)

一辺の長さをsとすると，

(s*2^(1/2)+s*(1/2)*3^(1/2))^2+(s/2)^2 = 1^2.

よって，s=(1/3)*(9-3*6^(1/2))^(1/2).

[追加問題2]

一辺の長さは，(2/5)*(2*2^(1/2)-3^(1/2)) (答)

一辺の長さをtとすると，

t*2^(1/2)+t*(1/2)*3^(1/2)=1.

よって，t=(2/5)*(2*2^(1/2)-3^(1/2)).

(以上)

＜水の流れ＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　更新　9月14日

解答（１）　　はf(-t)=-f(t)より奇関数である。

よって、グラフは原点対象である。また,　

　より,　　

さらに,

であるから,f(t)の増減表は次のようになる。

よって,f(t)のグラフの概形は以下のである。

（２）・・・�@

　　・・・�A

　　・・・�B

　　・・・�C

をすべて満たす実数y,zが存在することである。

�Aより,である。このもとで�Bは

　　,　　から,

ｆ(ｙ)＝f(ｘ)となる。同様にして�Cはｆ(ｚ)＝f(ｙ)となるから、

�Bかつ�Cは, ｆ(ｙ)＝f(ｚ)＝f(ｘ)となる。

これと�@から求める条件は, ｆ(ｘ)＝f(ｙ)＝f(z)=k を満たす異なる実数x,y,zが存在するようなｘの範囲を考えてみる。

このためにはｔの方程式f(t)＝ｋが異なる３つの実数解をもつことである。

（１）のグラフから,であり、ｘはu＝ｆ（ｔ）とu＝ｋの３つの交点のうち最も左側のものに対応する・

そこで,　となるとｔを求めると,　,　

より,（ｔ−３）^２（２ｔ＋３）＝０　となるから, である。

（１）で描いたｕ＝ｆ（ｔ）のグラフから求める条件は,

　　である。

以上より,ｘのとり得る値の範囲は, 　答

参考　ｙのとり得る値の範囲は, 　答

　　　ｚのとり得る値の範囲は,