令和８年１月４日
[流れ星]
第462回数学的な連続応募解答
＜解答募集期間：12月7日～1月4日＞
［最短距離］
令和８年丙午（ひのえうま）明けましておめでとうございます。
昨年までのご応募に深く感謝申し上げます。
今年も引き続きご愛顧賜りますようよろしくお願いいたします。
問題
文字はすべて正の数とする。
ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝４９
ｙ２＋ｚ２＋ｙｚ＝６４
ｚ２＋ｘ２＋ｚｘ＝２５
ｘ,y,ｚが上の３式を満たすとき,ｘ＋ｙ＋ｚの値を求めよ。
＊解法に使う参考図 点Pをフェルマー点という。
ただし、△ABCは鋭角三角形のときの図
補題 鋭角三角形ＡＢＣにおいて,AB=c,BC=a,CA=b,面積をSとする。△ABCの内部に点Pをとり,AP＋BP+CPを最小にする点Pとする。このときのAP+BP+CPの値をa,b,c,Sで表せ。
追加問題（出題者は「ジョーカー」） 新作シリーズ
四分円内の正方形と正三角形の1辺について『３』
問題１ シリーズ３問目
正方形と正三角形の1辺が異なる（ａ＞ｂ),
問題２ シリーズ４問目
正方形と正三角形の1辺が異なる（ａ＞ｂ),
NO1「ジョーカー」 12/07 20時14分 受信 更新 1/4
寄せられた解答です
NO2「スモークマン」 12/07 22時13分 受信 更新 1/4
いよいよ師走...(お坊さんが忙しないことからのようですね ^^)
１年が本当に早く過ぎちゃいます...
今年も楽しませていただきましたことに御礼申し上げます。
来年も楽しみにしております。
ちと早いですが、良い年をお迎えくださいませ Orz〜v
問題 最短距離
sin60°*(xy+yz+zx)=2√(10*3*2*5)=20√3
xy+yz+zx=40
2(x^2+y^2+z^2)=49+64+25-40=98
x^2+y^2+z^2=49
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=49+80=129
x+y+z=√129
補題
上の式を書き換えて...
a^2=x^2+y^2+xy
b^2=y^2+z^2+yz
c^2=z^2*x^2+zx
4S=(xy+yz+zx)√3
x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2-4S/√3
So…
AP+BP+CP=√(a^2+b^2+c^2-4S/√3+2S/√3)
=√(a^2+b^2+c^2-2S/√3)
NO3「よふかしのつらいおじさん」 12/09 22時26分 受信 更新 1/4
寄せられた解答です
今回の問題は、前回の漸化式の問題の2つめ（cosの半角の公式のもの）の問題を解く感覚でやりました。
フェルマー点という単語は知りませんでしたが、
三角形の各頂点までの距離の和が最小になる点は、
∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120度の点Pという知識はありました。
補題を使わないと計算が大変そうなので、助かりました。
NO4「三角定規」
12/13
19時39分 受信 更新 1/4
寄せられた解答です
フェルマー点，知るほどに興味が募る不思議な点ですね。
ところで，フェルマー点 - Wikipedia 内の記述
・フェルマー点から3辺に下ろした垂線の足は正三角形をなす。
は誤りですよね？
＜水の流れ：明らかに間違いです。＞
『数学的問題』の解答作成に没頭することで，大変充実した時間を過ごしております。
新年，次回以降も宜しくお願い致します。
NO5「amnesiac」 12/18 15時08分 受信 更新 1/4
初めて解きましたので、応募いたします。
寄せられた解答です
＜水に流れ：追加問題１で,正三角形の一辺の長さはこちらの答えと違っています。
NO6「kasama」
12/27
16時13分 受信 更新 1/4
寄せられた解答です
NO7「二度漬け白菜」 12/30 09時11分 受信 更新 1/4
第462回数学的な連続応募問題の解答：
［最短距離］
x+y+z=√(129) (答)
x^2+y^2+x*y=49 ---①
y^2+z^2+y*z=64 ---②
z^2+x^2+z*x=25 ---③
①-②より，x^2-z^2+y*(x-z)=-15.
よって，(x-z)*(x+y+z)=-15.
よって，1/(x+y+z)=(z-x)/15.
同様にして，②-③より，1/(x+y+z)=(y-x)/39.
よって，(z-x)/15=(y-x)/39 ---④
ここで，y=s*x, z=t*x
(s>0,t>0) とおく．
これを④に代入して，(t-1)*x/15=(s-1)*x/39.
よって， t=(5*s+8)/13. よって，z=t*x=(5*s+8)*x/13.
y=s*xを①に代入して，
x^2+(s*x)^2+x*(s*x)=49.
よって，1/x^2 =(1+s^2+s)/49
---⑤
z=(5*s+8)*x/13を③に代入して，
((5*s+8)*x/13)^2+x^2+((5*s+8)/13)*x^2=25.
よって，1/x^2
=(((5*s+8)/13)^2+1+(5*s+8)/13)/25 ---⑥
⑤,⑥より，
(1+s^2+s)/49=(((5*s+8)/13)^2+1+(5*s+8)/13)/25.
この2次方程式を解いて，s=64/25.
⑤より，x^2=49/(1+s^2+s)=625/129.
よって，x=25/√(129).
y=s*x=64/√(129).
z=(5*s+8)*x/13=40/√(129).
よって，
x+y+z=(1/√(129))*(25+64+40)=√(129).
[解法に使う参考図] における問い：
AP+BP+CPの最小値をa,b,c,Sで表すと，
sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2*sqrt(3)*S) (答)
ΔABCの内部に，∠AFB=∠BFC=120°となるような点Fをとる．
(このような点Fがただ一つ存在することは，∠AVB=120°を満たす
点Vの軌跡である円弧と，∠BWC=120°を満たす点Wの軌跡である
円弧の交点がFであることから判る．)
さらに，△BDCが正三角形になるように，辺BCに関して点Aとは
反対側に，点Dをとる．
このとき，次の等式および不等式が成り立つ．
△ABCの内部の任意の点Pに対して，
AP+BP+CP≧AD=AF+BF+CF．
(証明)
∠BFC+∠BDC=120°+60°=180°であるから，四角形BFCDは円に内接する．
よって，∠BFD=∠BCD=60°．
∠AFD=∠AFB+∠BFD=120°+60°=180°であるから，
3点A,F,Dは同一直線上にある．
よって，AF+DF=AD ---①
四角形BFCDにトレミーの定理を適用して，
DF*a=BF*a+CF*a. よって，DF=BF+CF ---②
①，②より，AD=AF+BF+CF.
四角形PBDCにトレミーの不等式を適用して，
BP*a+CP*a≧DP*a. よって，BP+CP≧DP.
よって，AP+BP+CP=AP+(BP+CP)≧AP+DP≧AD.
つまり，AP+BP+CP≧AD． (証明終)
ADを，a,b,c,Sで表すと次のようになる．
S=(1/2)*c*a*sin(∠ABC)より，sin(∠ABC)=2*S/(c*a).
ΔABDに余弦定理を適用して，
AD^2
=c^2+a^2-2*c*a*cos(∠ABD)
=c^2+a^2-2*c*a*cos(∠ABC+60°)
=c^2+a^2-2*c*a*(1/2)*(cos(∠ABC)-(√3)*sin(∠ABC))
=c^2+a^2-c*a*((c^2+a^2-b^2)/(2*c*a)-(√3)*2*S/(c*a))
=(1/2)*(a^2+b^2+c^2)+2*(√3)*S.
よって，
AD=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2*sqrt(3)*S).
追加問題:
[問題1]
正方形の一辺の長さは，sqrt(1/2),
正三角形の一辺の長さは，sqrt((5-sqrt(2)-sqrt(3*(1+2*sqrt(2))))/2).
(答)
正三角形の一辺の長さを s とすると，
(sqrt(1-(s/2)^2)-(s/2)*sqrt(3))/sqrt(1/2)=1/sqrt(1-(s/2)^2)．
これを解いて，
s=sqrt((5-sqrt(2)-sqrt(3*(1+2*sqrt(2))))/2)．
[問題2]
正方形の一辺の長さは，sqrt(2/5)，
正三角形の一辺の長さは，sqrt(2/15)
(答)
正方形の一辺の長さを t とすると，
(t/sqrt(2))^2+(t*sqrt(2))^2=1.
よって，t=sqrt(2/5).
正三角形の一辺の長さは，
t/sqrt(3)=sqrt(2/15).
(以上)
＜水の流れ＞ 更新 12/7
参考に ：2023年9月24日(日）昨日、本巣市市民文化ホールにて、秋山仁先生の「頭を使って楽しむながら難問解決」という講演を聞いてきました。その中で、石鹸膜に聞いてみようと言って実験をされました。
「何点を結ぶ最短経路の問題」です。 シュタイナー問題と言われています。テキストを貼っておきます。大変興味深い経路を石鹸膜が教えてくれます。
そのときの写真です。
正三角形の場合 正四角形の場合 正五角形の場合 正六角形の場合
