<水の流れ> (私の一日NO38)

震え上がるような数の神秘を知るためにあなたは青春をかけてみないか!

N021:2001年8月13日(月)登校して、部活の荷物を車のトランクから出しました。その後、20・21日のある県高等学校教育課程研究集会(数学部会)で、先日行われた「高校数学セミナー」の内容を報告することに急遽することになりました。そのための資料(筑波大学の渡辺教授が準備なされたグラフ)をソフト「grapes」で13枚用意しました。実は、当日、渡辺先生から、「先生もこのようなグラフを作られたら」と声をかけられまして、自分自身も作成したいと思ったからです。報告のときに使います。
 その中の1つに、x+y=1があります。この曲線上には、有理数を組に持つ点がないというのです。「フェルマーの定理」のn=3の場合です。ときどき、本の表紙にこのグラフが載っていますけど。

N020:2001年8月12日(日)久しぶりにゆっくりできる一日ですが、家事が一杯残っています。朝5時に起きて、天候をみます。曇っていましたが、昨夜どうも路面が濡れていましたから、降雨があったのでしょう。だから、田圃に追肥をおく作業を午前9時頃からにしました。で、・・・6時までは、庭師は昨日から入っていましたから、その後始末です。一汗かきました。
 夜、「数学の重要性」についてのメールがありましたから、このページに掲載させてもらいます。
【「数学の重要性」数学を学ぶと言う事は、もはや公理、定理や公式を使って証明する事、計算する事では無くなっていると思う。
 数学を学ぶと言う事は、新しい定理や公式を発見する事であり、問題を解決する能力を開発する事、活性化する事であると言って良いのではないか。
 それゆえに、政治や経済の分野においてもその数学が重要となるのです。

「創造力」と言う言葉はごく一般的ですが、「工夫力」とはあまり言わないようです。 「創造力」とは、ひらめき力の事であり、「工夫力」とは、そのひらめいた物、ひらめいた事を具体化、具現化するプロセスにおける問題解決力と言って良い。

    企業社会における、創造力と工夫力とは、すなわち「ヨシ! 100円で作ろう」と言う創造力と「どのようにしてそれを作るのか」と言う工夫力の関係である。

    其処でこの「工夫力」を開発すると言う事、それは例えば、一枚の長方形 の用紙を生徒に与え、「その用紙の面積を三等分せよ」とする時、どのようにこの問題を解決するのかと言う能力を開発するに等しく、これは大変重要な事である。解答は一通りではありません。

 学生たち、いや、多くの社会人が数学嫌いである現状は多いに憂慮されなければならない。私は「工夫力」の開発、活性化のために、提案を続けていきたいと思います。

 問題 「用紙 B5版の面積の1/3となる正方形を作りなさい」この用紙を使います。】
<水の流れ:「数学の重要性」についての話は、数学教育にとって今までにないものを教えてくださいました。これから先、機会をみつけて、この重要性を生徒に話していきたいです。本当に、感謝します。
3等分にする方法は、昨年、テレビの番組「伊藤家の食卓」に取り上げられたことを記憶していますが、しかし、その方法となぜという部分を覚えていません。>

N019:2001年8月11日(土)夏休み19日目の部活動日は西濃地区総合体育大会という公式試合日です。朝から男女4試合の結果を書きます。第一試合女子で大垣南94(28、26、18、22)対55(15、8、10、22)大垣西高に勝ち。第2試合男子で大垣南110(27、28、24、31)対76(18、15、21、22)大垣西高に勝ち。
第三試合女子で大垣南37(4、19、7、7)対55(14、11、20、17)大垣東高にスピードとスタミナ・技術すべて劣勢デ完敗でも、前半が終わったときは、2点差だったのに・・・・。第四試合男子で大垣南70(21、13、12、24)対86(19、28、22、17)大垣東高にパスエンドランとスタミナ不足で惜しくも負けてしまった。男女ともあれだけ練習してきたのですが、相手チームが上でした。9月からまた、次の公式試合に向けてチーム向力・バージョンアップにしたいです。帰宅は6時でした。明日から部活はしばらく休みです。

N018:2001年8月10日(金)今日は全校登校日です。昨日、本校3年生の武山佳恵選手が高校総体(熊本県開催)で、昨年に続いてフェンシング女子エペの部で、2連覇しました。これはフェンシング女子個人種目インターハイ2連覇は史上初なのです。ピンチがありました。
それは、準々決勝で7対12とリード(15本で勝ち、9分間戦って場合は、取った本数の多い方が勝ち)されていました。「1本ずつ取るしかないと、開き直った。返しているいつの間にか同点になり、いけると思った。8本を連取して逆転勝ちし、弾みがついた」、「尊敬するシドニー五輪のフェンサー新井祐子(朝日大講師)に追いついてみたいとも思う」<この部分中日新聞の記事から引用>
 中学時代は剣道の選手だった彼女は、沈着冷静な試合運びで、多彩な攻撃パターン。剣道で学んだ間合いの取り方を心得て、自分の技を出しての優勝です。各種新聞には、最高の笑顔が掲載されていました。お見事。
さて、明日は、バスケの公式試合です。どんな結果を載せることができるか。不安です。
 また、第80回応募問題の解答は問題1:0.3150076652965606...問題2:0.6865920780411631...と寄せられています。正解です。これからもよろしくお願いします。参考までに。

N017:2001年8月9日(木)午前中、部活動をみていました。12時頃12時頃職員室を覗いてみると、黒板に、熊本インターハイで本校の3年生武山選手がフェンシング 女子エペで2年連続優勝と書いてありました。校長から電話があったそうです。武山選手おめでとう。きっと、その場にいる人たちに最高の笑顔をみせたことでしょう。
大垣南高校のフェンシング部はいつも練習をしていますし、OBからの声援も大きいです。 でないと、2年連続全国制覇ですからね。次には、日本代表選手としての活躍を願っています。
 帰宅後、第80回応募問題の解答が「キューダ」と「kashiwagit」さんから一部修正して、2通入っていました。ありがとうございます。明日は、登校日です。太郎さんに、14日まで自宅休養がない。こんなに忙しい夏休みは過去経験ない。これ、「ゴチ」ならいいのですが、「グチ」。

N016:2001年8月8日(水)「高校数学セミナー」の3日目は、講師の筑波大学渡辺公夫教授でして、テーマは「フェルマーの最終定理を解決するにあたる経緯と証明の概要」です。
 最初から、受講生に力ずく、「数学を学ぶのに必要なことは、、人より早く解く方法だけでなく、なぜこの理論が生まれたかを考えることです。自分の思考空間をいかに広げるかなんです。これが数学のダイゴミなんです。」と話しかけられました。
講義の中にでてきた幾つかの問題を書きます。
問題1:肉屋に買い物に行って、√2kgの牛肉を買ってきてください。あなたが肉屋の主人ならどうようにして、測りますか。
問題2.三平方の定理を知ったばかりの中学生に、3辺の長さが、3cm、5cm、7cmの三角形がある。このとき、辺が7cmである対角の角度は何度ですか。
問題3:a、b、cが自然数のとき、次の三平方の定理の解を一般に表してください。
(1) a+b=c
(2)a+(a+1)=c
(3)a+b=(b+1)
(4)a+b=(2a±1)
問題4:lim n(2^1/n −1)の値です。(受講生には、結果として使いました)
    n→∞
   さらに、この値を電卓で求めました。この方法も考えてください。ただ、n=10で十分です。
また、丸いケーキを中心から、扇形に切ったケーキを半分にする方法や、楕円の場合はどうですか。(これらは、図形がないと考えにくいので、割愛します。)
さらに、カバリエリの原理を説明され、2次曲線の面積を求める問題もありました。(これも、グラフがないと考えにくいので、割愛します。)
 午後からy=1/xのグラフにおいて、区間[1,4]とx軸で囲まれた面積を半分にするには、区間[1,t]のどこで区切ればよいですか。ここでも、カバリエリの原理を使いました。まだ、積分も対数も知らない受講生なのに解けるのです。
 最後には、フライ曲線から、フライ予想、志村=谷山予想の話ででてきて
「フェルマーの最終定理」の講義が終了しました。
なお、2月9日の朝日新聞の夕刊の記事を載せておきます。☆ 有名な「フェルマーの最終定理」を解くカギになった数学の超難問「谷山・志村予想」を完全に証明したと、米国とフランスの共同研究チームが2月8日、明らかにした。チームの一員で、仏国立科学研究センターのクリストフ・ブルイユ研究員(32)は朝日新聞の取材に「証明は終わっており、米数学会誌への論文掲載も決まっている」と話した。谷山・志村予想は、東京大学の谷山豊・助教授(故人)と米プリンストン大の志村五郎名誉教授が1950年代半ばから60年代にかけて提示した。「楕円曲線」と呼ばれる曲線の仲間はすべて、数学的に極めて美しい「モジラー形式」に支配されるという内容だ。予想が提示されて以来、新しい数の理論が生まれ、素粒子論や暗号理論に影響を与えらた。☆
また、岐阜新聞の2月8日夕刊の「谷山・志村予想」の記事です。全文引用して、紹介します。
☆半世紀近く日本で生まれ、有名な「フェルマーの最終定理」が1995年に証明されたのに伴って一部が証明されていた数学の難問「谷山・志村予想」を、米国とフランスの共同チームが全面的に証明した。
谷山・志村予想は数論や解析学、代数幾何学という数学の異なる分野間にある深いつながりを示しており、フェルマーの最終定理よりはるかに豊富な数学的内容を持つ。証明を仕上げたのはリチャード・テーラー米ハーバード大学教授やフランス・パリ南大のクリストフ・ブルイユ博士ら四人。論文は米数学会誌に近く発表する。
谷山・志村予想は、有理数を係数に持つ方程式で決まる「だ円曲線」はすべて、非常に美しい対称性を持つ極めて特殊な関数「保型形式」に結びついているという内容だ。故・谷山豊博士(1927〜1958)が50年代に着想し、共同研究者の志村五郎・米プリンストン大名誉教授が60年代に定式化。全く違う2つの数学的対象の深い関連を示唆し、学界に衝撃を与えた。
アンドリュー・ワイルズ・プリンストン大教授がフェルマーの最終定理を証明した際、ある場合に予想が成り立つことを証明。その手法から藤原一宏名古屋大学助教授とフレッド・ダイヤモンド米ブランダイス大准教授が別々に同じ予想証明の基礎理論を作った。テーラー教授やダイヤモンド准教授らは今回、その理論に詳細な計算を組み合わせ、どんな場合も予想が成り立つことを証明した。
 以上です。太郎さんは以前から、気にしていたベル数のでてきる2つの問題を教授に尋ねておきました。 1つは、第46回の応募問題
「無限級数の和」
2つ目は、
「プレゼント問題」のNo106の中に出てくるベル数はどうしてですか。「(原点のまわりの)m次のモーメント」を求める公式は何ですか? どのような世界でつながっているか疑問の思っています。教えてください。

N015:2001年8月7日(火)昨日に続いて「高校数学セミナー」の2日目に参加してきました。講師は午前中、岐阜大学教育学部山田助教授でした。1限目:1.命題と論理の講義です。命題の定義から始まって、pかつqをp∧q、pまたはqをp∨q、pでないことをp⌒と表す。さらに、真偽表(太郎さんにとっては、久しぶりです)を作成し、定理:「p⇒q」⇔「p⌒∨q」を証明しました。2限目:「p⇒q」の証明方法の1つに、対偶「p⌒⇒q⌒」があり、これが同値であることを示しました。2つ目の方法には、背理法があります。これは、「p⇒q」を証明するのに、pであるけどqでないと仮定して矛盾を導き出す。定理:「p⇒q」⇔「pかつqでない⇒矛盾」を証明しました。
2限目は、集合の濃度です。自然数全体をΝ、整数全体をΖ、有理数全体をQとする。ここで、問題1.NとZの要素の個数はどちらが多いか。受講生に聞いたところ、半数近くがZが多いと答えていましたが、中には同じと考えている受講生もいました。(さすが、レベルが高い。どこで知ったのだろう。)証明:Z∋0を、N∋1に対応し、Z∋n(正の整数)をN∋2n+1(奇数)、Z∋n(負の整数)をN∋ー2n(偶数)に対応させると、ZとNの要素のそれぞれがもれなく1対1に対応しているから、ZとNは同じ濃度を持つ。証明終。問題2.正の有理数全体と自然数全体は同じ濃度か。丁寧に証明させましたが、答えは同じ。問題3.自然数全体と実数全体は同じ濃度か。ここで、1=0.99999……が等しいことを確認してから、0から1までの実数をすべて無限小数に表すと、番号がつかない無限小数があるので、同じ濃度でない。(太郎さんにとって、この証明方は大学以来です。高校では扱っていません)
 午後からは、数学オリンピックの過去問を5題受講生に解いてもらいました。3問紹介します。
1問目:1998以下の正の整数nでn^1998−1が10の整数倍になるものが何個あるか。(出典:1998年日本数学オリンピック予選)
2問目:1996個の電球があり、順に1,2,…,1996と番号がついている。最初、これらの電球はすべてOFFである。正整数kに対し、操作P(k)は、番号がkの倍数であるすべての電球のON/OFFを反転させる操作とする。この操作P(k)をk=1,2,…,1996について1回ずつ行ったとき、最終的にONになっている電球の個数を求めよ。(出典:1996年日本数学オリンピック予選)
3問目:一辺が長さ1の正二十面体のもっとも長い対角線の長さを求めよ。(出典:1999年日本数学オリンピック予選)
<太郎さんのコメント:受講生の目の輝きが違います。本当に未だ見ぬ偉大な数学者といった感じです。考え方がスムーズで発想が柔らかいという感じ。答えに至るまでの時間が短んです。驚き。>
 帰宅後、、第80回応募問題の解答が「キューダ」と改めて「清川kiyo」さんの2通入っていました。
『早速解答ですが、...閏年は無視し、一年は365日とします。
また、無用な気遣いかも知れませんが、12月31と1月1日は「一日違い」=「一日離れている」として、解くことにします。が、...
問題1〜4を一般化、かつ、拡張して、次のような問題を考えることにします。
【問題α】N人いて、どの二人の誕生日もD日以上離れている確率を求めよ。ただし、この世界の一年は、M日とする。
αでは、与えられた問題の余事象を求めている事に注意すると、αの解を、P(M,N,D)とすると、問題1〜4の答えはそれぞれ
問題1:  1−P(365,17,1)
問題2:  1−P(365,17,2)
問題3:  1−P(365, N,1)
問題4:  1−P(365, N,2) となります。』
後、更新まで待ってください。

N014:2001年8月6日(月)「高校数学セミナー」の報告をします。講師は岐阜大学教育学部山田助教授でして、1限目は数についての話でした。最初は、1.数の分類で、自然数から始まり整数、有理数、無理数、実数と受講生に問いかけながら定義の説明がありました。次に、2.数の歴史についてです。BC500年くらいピタゴラス教団が数とは正の有理数のみと思われてた(ただし、0の記号をない。また、無理数を発見してはいた)。紀元後600年くらいインドで「0の発見」があった。1500年くらいドイツで「+」「−」を導入。1860年くらいドイツのデデキントが「無理数とは何か」。1890年くらいイタリアのペアノが「有理数とは何か」を考えた。
3.補数について、補数とは9と1、93と7とかいう組を互いに補数という。ここで、積98×87の計算を補数を用いて行う説明がありました。すなわち、補数2と13をかけて26(下2桁、ただし、3桁の場合は百の位だけ後で足ます)。次に98と87を足して185、このとき、百の位は1は無視(100を引く)し、下2桁の85が上2桁になり、答えは8526という方法です。みなさん!理屈を考えてください。さらに、93×82は、2つの補数の積7×18=126、93+82=175で、百の位は補数から1と75を足して76とし、答えは7626となります。<受講生はこの計算方法に感動:太郎さん知らなかった>
2限目は倍数についてです。3や9の倍数の発見方法を証明しながら、解説されました。この考え方で11の倍数についても考えなさいと問題を出されていました。では、まとめておきます。
「3の倍数」は、ある数の数字の和が3の倍数なら、その数は3の倍数。
「9の倍数」は、ある数の数字の和が9の倍数なら、その数は9の倍数。
「11の倍数」は、1けたおきにとった数字の和の差が、11の倍数。このセミナーの中にはなかったのですが、あと、「7の倍数」「13の倍数」の発見方法があります。ヒントは「11の倍数」と同じですが、1001=7×11×13に由来しています。読者のみなさん考えてみては。
 次に、素数の話です。「素数は無限個ある」という定理を証明するのに、背理法を用いて解説がありました。<この証明は、簡単に理解できたようで、記憶に残っていくでしょう。>
ここで、昼食をはさんで、午後から3限目に入り、1.素数はどうかを見分けるのに、調べたい数より大きくて、一番近い平方数の平方根をみつけ、みつけた数より、小さい素数で割れるか調べる。
2.自然数のペアノの公理を5つあげられ、集合Nが自然数であることを定義された。
3.数学的帰納法はペアノの公理を5番目でして、、この証明方法で何となく自然数全体で成り立つことを認めてくださいと。で、この帰納法で。問題:1+2+3+・・・+n=(1/2)n(n+1)を証明しなさい。<初めて試みる受講生にとっては、理解がしずらかったようです。>これで、1日目が終了でした。明日からが楽しみです。
 帰宅後、第80回応募問題の解答が「kashiwagit」と「清川kiyo」さんの2通入っていました。ありがとうございます。いずれ、機会をみて公開します。

N013:2001年8月5日(日)長いバスケットの合宿が終わりました。昨夜は5対5の練習で、人数が足りないこともあり、何と太郎さん自身がコートの中で、生徒とともにセットプレイに参加しました。このように行うのは20年来無かった動きです。子供のバスケに対する意欲に応えてあげようと、年甲斐も無く張り切りました。夜のミーテイングの際、学ぶということに大切な要素に3つある。まず、1つ目には自分自身「謙虚」でなければならない。学びたいという謙虚な気持ちがないといけない。2つ目はこれを学んだことはすごい良い事だという「感動と記憶」が必要です。次にこのプレイをしようという意欲にもつながります。最後には、どのようなことにも言えるのですが、「感謝」の気持ちを持ち続けてください。これだけのよき指導者に対して、常に感謝の念がないと、生徒自身プレイの上達はありえません。さらに、有意義な継続練習も必要です。
 午前中、この合宿で身に付けたプレーの確認をし、太郎さんの笛でゲーム形式の試合をしました。昼食の前後に体育館や同窓会館を掃除して、3泊4日の合宿練習を終了しました。この成果を次に、11日にある公式試合に発揮できればと考えています。この合宿にあたり、お世話になった多くの関係者(男女部員・コーチ・特に教生のIさん・OB、並びに4日間食事をお願いしたレストランの方などすべて)に感謝します。
また、この<水の流れ>は、今晩から新しい環境設定にし、更新しています。明日から、3日間「高校数学セミナー」に参加してきます。

N012:2001年8月4日(土)男子のOBは集まってくれましたから、昨夜ゲームができました。何とOBの方がうまくて結果は現役の黒星でした。イージーミスが多いです。まだ、スタメンの呼吸があっていません。女子は決められた三人のプレー、五人のプレーを練習しましたが、試合では使えると良いですが・・・・。実際には状況中で満足いく決められたプレーは決めづらいです。
 さて、先日書きました中学生対象の「数学セミナー」が2,3日と県立加茂高校で行われました。『セミナーは、「身の回りにある数学の世界を探ろう」をテーマにした初の講座で、中学一年生から三年生までの74人が二日間参加しました。小中・高校の数学教師三人を講師に、数当てゲームや図形パズル、数学クイズを楽しんだり、いろんな大きさの折り鶴で数学の原理を探ったり、数列の不思議などを学んだ。中には高校レベルの内容もあったが、数学好きな生徒たちだけに目を輝かせ受講していた。』以上、岐阜新聞の記事を全引用しました。

N011:2001年8月3日(金)夕べ、ミーテイングで、この合宿中、うまいプレー・クレバーなプレイを1つ以上覚えてください。努力するとは、今まで、出来なかったことをやれるようになることが、努力したことになるのです。ガンバローと言いました。また、OBも来てくれて、助かっています。
 午前中、近くの学校と練習試合を行いました。始めゾーンデフェンスをして、うまくファーストブレイクが決まりましたが、徐々にスタミナ不足が露呈しまして、第4クオーターに一時逆転されました。スタメンで今日は出したくなかったのですが、切り札のプレーアーを出場させて勝ちにいきました。結果は4点差で逃げ切りましたが。公式試合のときは相手も考えて来ます。
午後、試合で出来なかったことを反省して、オフェンスのボール運び、リバントからの速攻を中心に、酷暑の体育館で練習しました。太郎さんもチームの中に入って、生徒と共に汗を流したのです。夜はOBが来ますから、ゲームを行います。続きは明日書きます。

N012:2001年8月2日(木)午後1時に集合して、2時より、3時間暑い体育館の中で合宿1日目の練習を始めました。夕食後、7時半から9時まで夜間練習です。明日は練習試合を組んであります。これから夜のミーテイングをします。

N011:2001年8月1日(水)今日の暑さは史上記録になりそうです。39.7度(岐阜市観測)でした。午前中体育館でバスケットをしていましたが、汗がだらだらでてくる始末です。生徒の健康管理には十分気をつけながらしています。
明日から、3泊4日の部活合宿です。校内の同窓会館での泊ます。食事はすべて外食産業に委託してあります。寝具はレンタルです。太郎さん初めての体験です。したがって、このHPの更新はすべて携帯電話と接続してノートパソコンから行う予定です。時間を見つけてしたいです。
 さて、補習を受けていた生徒からこんなメールが入っていました。生徒からのメールは良いものがあり、これから「ガンバルゾー」という勇気と気力が湧いてきます。サンクス。
『先生、こんにちは。先生のホームページ見る事ができました。今日は、先生が、数学を教えてくださったおかげで、なんだか、脳細胞が、つながった気がしました!先生ありがとう☆また、分からない問題など、教えてくださいね。8月10日、数学のテストで、良い点とれたら、先生に報告するわ〜。がんばるぞ!!!!!!!

N010:2001年7月31日(火)今日、かねて注文していた2台目のデスクトップ(FMV C7/100WL)が入りました。DVDの映像が観ていて綺麗です。本人納得しています。インターネットの接続はまだしていませんが、家庭内ランを考えています。
 さて、第80回応募問題
「誕生日」を載せました。いつものように多くの人からのご応募をお待ちしています。太郎さんは、1年前の今日のことを大変懐かしく思い出しています。人との出逢いを大切にしましょう。

N09:2001年7月30日(月)補習と部活の合間をみて、第79回応募問題「「放物線の弧の長さ」で、皆さんから寄せられた「解答」の更新作業をしていました。本当の皆様のおかげです。きっと多くの時間と労力をかけた賜物と感謝しています。明日で、補習が終わります。後は、8月11日に行われる西濃地区高校総体でのバスケットボール公式試合に向けての部活動になります。
 さて、第80回の応募問題は、先日読者(ぷりっぷ@大学院生)の方から頂いた誕生日の問題にしようと考えています。すでに、快諾を取っています。今から、考えてみてください。
問題1 17人いて,誕生日が同じ人が少なくとも1組いる確率は?
問題2 17人いて,誕生日が同じもしくは1日違いの人が少なくとも1組いる確率
17はN人でも構わないです.

N08:2001年7月29日(日)第79回応募問題「放物線の弧の長さ」の解答が「やぎ」さんからありました。本当にありがとうございます。月末には、更新させてもらいます。さらに、「kashiwagit」からは、23日7時40分に、一部修正がきていました。このことを載せるのが大変遅くなり失礼しました。お許しください。
『(4)ですが昨夜再度計算してみたら表面積もすぐにでました。計算過程を追ってみると、正に変形の際のミスですね。いやはや恥ずかしい限りです。x(superscript: 2)の項は出てこないのですね。
(4)S=2π∫(1−√x){√1+(1−1/√x)(superscript: 2)}dx とし、√x=t と置き、置換積分で解くと、なんとπ(1+(√2/2)log(√2+1))になりました。
(3)のπ倍というきれいな値に感動致しました。この計算も(3)と同じく、積分上の準公式を適用しました。
(3)は元の式のまま変形し、y=1−2√x +x とし、置換積分で解きました。
もうひとつは、座標軸を−45度回転し、y=x(superscript: 2)/√2+1/2√2とし、置換積分で解きました。ともかく変形して、∫√x(superscript: 2)+A dxの形にもっていけばおしまいですね。
但し、おっしゃるように、ここからが問題ですが、積分上の準公式と言える、
∫√x(superscript: 2)+A dx =1/2(x√x(superscript: 2)+A + Aiog|x + √x(superscript: 2)+A |)を使いました。これはまずいのですか?(コメント:数学の本質は自由な解法だと考えていますから、自分に理解されているものなら、どんな公式でも構いません)
(1)、(2)も置換などせず、y=1−2√x +x を積分式に代入し、まじめに計算する方が楽ですね。これも昨夜再度計算して実感として感じました。やはり、何か奇を衒う方法というのはダメですね。
久方振りに積分計算などして少しは頭が柔らかくなったようです。これからも面白い問題でご教授願います。(コメント:恐れ入ります)巷の夢でお願い申し上げます。
 さて、昨日、奇妙な数字の配列を書いたところ、「やぎ」さんからメールが来ていました。
『12345×9+6=111111等については  12345×(10−1)+6=123450-12345+6=111111』確かにそうですね。皆さんも考えてみてください。ありがとうございます。
さて、第78回応募問題「正七角形」
「解答」ですが、円に内接四角形において成り立つ「トレーミの定理」を用いた鮮やかな解法を載せておきます。

N07:2001年7月28日(土)今日は比較的過ごしやすい一日でした。気温は30度程度でしたから。午前中、体育館でバスケットを見ていました。帰宅後昼食を取り、久しぶりの昼寝です。(仕事の皆さん!お許しを)夕方、田圃に追肥(穂肥)をおきました。とにかく、毎日の時間が大切なのです。夜は、大垣市の近くを流れる揖斐川河畔で花火大会が行われました。地元のテレビ局が放映していました。太郎さんの家族も遠くではありましたが、よく見える所まで出かけて、夜空に舞う綺麗な花火を鑑賞してきました。同じく、岐阜市内流れる長良川での花火大会がありました。こちらの方が全国的にも有名ですよ。
 さて、皆さんはこんな奇妙な現象をご存じでしたか。太郎さんは、本に書いたあったような気もしています。
1.(0×9)+1=1
2.(1×9)+2=11
3.(12×9)+3=111
4.(123×9)+4=1111
5.(1234×9)+5=11111
6.(12345×9)+6=111111
7.(123456×9)+7=1111111
8.(1234567×9)+8=11111111
9.(12345678×9)+9=111111111
 という現象です。どうしてでしょうか。教えてください。分かればきっと当たり前なんでしょうね。

N06:2001年7月27日(金)高校野球岐阜県大会の決勝戦が行われ、16:2で岐阜三田高校が美濃加茂高校に勝ち、3年ぶり2回目の甲子園に出場します。岐阜三田高校の甲子園での健闘を期待します。おめでとう選手並びに関係者の皆さん!
 さて、メールに投稿問題が入っていました。是非、チャレンジください。ぷりっぷ@大学院生さん、ありがとうございます。
『私,ぷりっぷ@大学院生です.ちょっと面白い問題を考えたので,よかったら取り上げてもらえるとうれしいです.
問題1 17人いて,誕生日が同じ人が少なくとも1組いる確率は?
問題2 17人いて,誕生日が同じもしくは1日違いの人が少なくとも1組いる確率
17はN人でも構わないです.
***
問題1は,そんなに難しくありません
. 問題2は,高校数学で解けると思うのですが(解答案は思いついている)結構,考えさせられ,良問だと思っております.

N05:2001年7月26日(木)高校野球県大会は県営長良川球場で第1試合岐阜三田高校5:3岐阜高校、第2試合美濃加茂高校4:3県岐阜商業高校で9回まで同点で迎えた表に1点勝ち越した県岐阜商業高校でしたが、その裏に美濃加茂に2点入り、サヨナラ勝ちとなりました。明日、岐阜三田高校と美濃加茂の甲子園をかけた決勝戦になります。

N04:2001年7月25日(水)大変暑い中同じサイクルで毎日を過ごしています。午前中に補習を行い、午後部活動です。さて、高校野球県大会の準決勝の組合わせが決まりました。明日、県営長良川球場で10:30から岐阜三田高校対岐阜高校、13:00から美濃加茂高校対県岐阜商業高校です。炎天下になりそうですが、甲子園まで後2勝です。どのチームも悔いの内容に戦ってください。

N03:2001年7月24日(火)高校野球県大会は今日ベスト4が出そろいました。結果を書きます。長良川球場で、第1試合、岐阜高校8:6岐山高校で9回の表に岐阜高校が4点を取り逆転で勝ちました。第2試合、加茂高校3:11美濃加茂高校で7回コールド勝ち、大垣市営球場では、第1試合、岐阜三田高校11:2岐阜第一でコールド勝ち、第2試合県岐阜商11:10大垣商業で延長10回の裏1点リードされていたが、2点取ってのサヨナラ勝ち。3点とってから9点取られての2試合続きのサヨナラゲームです。 これで、岐阜高校・岐阜三田高校・県岐阜商業・美濃加茂高校がベスト4です。組み合わせは明日行われ、準決勝は26日、決勝は27日になります。
 大変な暑さの中、70分2コマの補習を午前中行い、午後は風の通らない体育館でのバスケットの指導です。太郎さんは暑さに負けないように、体力と気力を維持しようと考えています。皆さんもくれぐれも健康にご留意ください。

N02:2001年7月23日(月)高校野球県大会大垣南高校は今日、大垣市営北球場で加茂高校と午前11時から対戦しました。相手の加茂高校は2回の表に1点、南高校は5回の裏1点取り同点、相手は7回の表に1点取り勝ち越し、土壇場の9回裏1点取って同点に追いつき、1アウト3塁1塁バッター4番のキャプテン絶好のサヨナラの場面でしたが、同点止まり。10回の表、左腕の3年生投手が力尽き2点を献上し、その裏2アウト2塁・3塁と一打同点の場面でしたが、サードライナーで万事休す。結局2対4で惜敗でした。惜しいの一言、6回裏1アウト満塁、8回の裏2アウト満塁での好機を逸したのが影響した感じです。
 
「応援風景」を写真に撮りました。20日に行われた郡上高校戦です。スタンドで室内楽部員やチャァーリーダーや卒業生やベンチに入れない野球部員の応援風景です。
本日の結果、各務原市民球場第1試合中京高校6:8岐阜高校、第2試合、中濃西高校6:8県岐阜商で9回サヨナラ2ラン、岐阜県営長良川球場では、第1試合、岐山高校8:5中津川工業、第2試合、延長10回、大垣日大高校2:4岐阜三田高校で、第3試合、加納高校5:6大垣商業、大垣市北公園球場では、第1試合、岐阜総合学園3:4岐阜第一、第2試合、延長10回、大垣南高校2:4加茂高校、第3試合、5回コールド土岐北高校0:11美濃加茂高校でした。明日は、長良川球場で、10:30から岐阜高校対岐山高校、13:00から加茂高校対美濃加茂高校、大垣市営球場では、10:30から岐阜三田高校対岐阜第一、13:00から県岐阜商対大垣商業 どのチームもベスト4を目指して熱戦を期待します。

N01:2001年7月22日(日)高校野球県大会大垣南高校は、県営長良川球場で岐阜南工業高校と対戦しました。結果は1回の表に2点、3回の表に5点を入れた南高校が相手の岐南工業を2年生ピチャーが7回まで零点に押さえて、コールド勝ちでした。選手全員が暑い中大変良く頑張っています。この大垣南高校は過去準優勝を3回(平成11年、平成6年、平成4年)しています。今年も悔いの残らない試合運びをしてもらいたいです。ガンバレ!この経験は君たちの人生の中できっと一番の思い出になり、生きていく中で役立つことになるでしょう。
 さて、明日がベスト8をかけて、次のような試合が組まれています。各務原市民球場10:30から中京高校対岐阜高校、13:00から中濃西高校対県岐阜商、岐阜県営長良川球場では、9:00岐山高校対中津川工業、11:30から大垣日大高校対岐阜三田高校、14:00から加納高校対大垣商業、大垣市北公園球場では、9:00から岐阜総合学園対岐阜第一、11:30から大垣南高校対加茂高校、14:00から土岐北高校対美濃加茂高校で行われます。太郎さんは、午前中7月末まで入っている補習がありますし、午後部活動がありますから、応援に球場までいけません。投手や野手は1球1球に魂を入れて投げて、打者はバットに魂を入れて打ってください。
次に、第79回の応募問題ですが、「kashiwagit」さんから寄せられました (1)と(2)はx=COS(superscript: 4)θ、y=SIN(superscript: 4)θと置き換えて解きました。それぞれ、1/6とπ/15になりました。
(3)は元の式のまま変形し、y=1−2√x +x とし、置換積分で解きました。
もうひとつは、座標軸を−45度回転し、y=x(superscript: 2)/√2+1/2√2とし、置換積分で解きました。
但し、おっしゃるように、ここからが問題ですが、積分上の準公式と言える、
∫√x(superscript: 2)+A dx =1/2(x√x(superscript: 2)+A + Alog|x + √x(superscript: 2)+A |)を使いました。
(4)も(3)と同様に解いたのですが、置換積分の2回目のところで分からなくなりました。
∫x(superscript: 2)(√x(superscript: 2)+1/4)dx の値が求まりません。三角関数での置き換えも同様です。解法をご教授願います。巷の夢でお願い申し上げます。
<水の流れ:コメント>微積分の本を読んでいて、(3)は√x=1/2+tとおいて置換とヒントがありました。ご参考に。

N037:過去の
「私の1日No37」平成13年6月21日〜7月22日のはここをクリック下さい。
NO1〜NO36までは過去の日記

<自宅>  mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

 最初のページへもどる