令和７年11月11日

[流れ星]

　　第460回数学的な連続応募解答

　　　＜解答募集期間：10月12日〜11月11日＞

［三角形の面積の二等分

＋NHKの算額］

　

　三角形ＡＢＣにおいて,ＡＢ≧ＡＣとする。辺ＢＣ上の点Ｐより垂線を引き,

辺ＡＢの交点をＱとする。このとき,垂線ＰＱは三角形ＡＢＣの面積を二等分している。ただし,三辺の長さをＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとする。

設問１　辺ＢＰの長さをａ，ｂ，ｃで表せ。

設問２　点Ｐを作図せよ。

お願い：設問２の点Ｐの作図方法が分かりません。教えてください。

別問題　＜9月2日(火)NHK総合TV午後11時からの「最深日本研究　和算　算額」で放送問題＞　

∠C=90°の直角三角形ＡＢＣにおいて,点Ｃから斜辺ＡＢに図のように垂線ＣＤを引く。△ＡＣＤ、△ＢＣＤの内接円を大円、小円とする。大円,小円の直径をそれぞれ、３２尺,２４尺としたとき, 直角三角形ＡＢＣの３辺の長さを求めよ。

追加問題（出題者は「ジョーカー」）　新作シリーズ

四分円内の正方形と正三角形の1辺について『２』　

問題１　　シリーズ7問目

正方形と正三角形の1辺が等しいとき(辺を共有しない),

問題２　シリーズ8問目

正方形と正三角形の1辺が等しいとき(辺を共有しない),

NO1「ジョーカー」 　 10/12　　09時56分 受信 　　　更新 11/11

寄せられた解答です

NO2「よふかしのつらいおじさん」 10/14 22時30分 受信 更新 11/11

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NO3「r-de-r」　　 10/17　 00時31分 受信 更新 11/11

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　寄せられた別問題の解答です

NO4「kasama」 10/29 17時31分　　 受信 更新 11/11

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NO5「三角定規」 10/29 17時45分　 受信 更新 11/11

寄せられた解答です

＜コメント：今回の問題, 以前どこかで見たような淡い記憶があるのですが，
きちんと考えたのは今回が初めてです。
解けてみると，面白い結果が出て来るものですね。

[設問2]の作図は，[1]の結果の形から，三平方の定理がうまく使えるように考えました。＞

NO6「二度漬け白菜」 11/08 10時29分　受信 更新 11/11

[設問1]

BP=(1/2)*√(a^2+c^2-b^2) (答)

頂点Aから線分BCへ下ろした垂線の足をHとする．

AH=x, BH=y とおく．

また，ΔABCの面積をSとおく．

三平方の定理より，

x^2+y^2=c^2, x^2+(a-y)^2=b^2.

この2式から，y=(a^2+c^2-b^2)/(2*a) ---(�@)

S=(1/2)*a*x より，(S/x)=(a/2) ---(�A)

ΔABH ∽ ΔQBP であるから，

(y^2):(BP)^2 = (x*y/2):(S/2).

よって，

(BP)^2

=(y^2)*(S/2)/(x*y/2)

=(S/x)*y

=(a/2)*y (∵�A) ---(★)

=(a^2+c^2-b^2)/4 (∵�@)

よって，

BP=(1/2)*√(a^2+c^2-b^2).

[設問2]

点Pは次のような手順で作図できる．

頂点Cを中心とする半径 y/8 の円を K_1 とする．

K_1と直線BCの2つの交点のうち，線分BC上にある

ものを D, 線分BC上にないものを E とする．

Eを中心とする半径 BD の円を K_2 とする．

線分BEの中点を M とし，Mを中心とする半径 BM

の円を K_3 とする．

2つの円 K_2, K_3 の交点(のうちの1つ)を T とする．

頂点Bを中心とする半径 BT の円を K_4 としたとき，

K_4と線分BCとの交点が求める点 P である．

(上記の手順で点Pが作図できることの説明)

長さ(y/8)は，線分BHの長さの1/8であるから，これは

コンパスを使って採寸可能．

また，ΔBTEは，∠BTE=90°の直角三角形である．

(∵∠TBM=θとおくと，BM=TMより，∠BTM=θ. よって，∠TME=2*θ．

TM=EMより，∠ETM=(1/2)*(180°-∠TME)=90°-θ.

よって，∠BTE=∠BTM+∠ETM=θ+(90°-θ)=90°．)

よって，三平方の定理より，

(BT)^2=(BE)^2-(ET)^2=(a+y/8)^2-(a-y/8)^2=(a/2)*y．

(★)より，(BP)^2=(a/2)*yであるから，

(BT)^2=(BP)^2. よって，BT=BP.

NHKの算額の問題：

AB=100尺，BC=60尺，CA=80尺　(答)

大円の半径を x ， 小円の半径を y とし，(x/y)=t とおく．

また，AB=c,BC=a,CA=b とおく．

ΔCAB ∽ ΔDCB ∽ ΔDAC である．

ΔDCB ∽ ΔDAC より，(y/a)=(x/b).

よって，

b=(x/y)*a=t*a ---(1)

c=√(a^2+b^2)=√(a^2+(t*a)^2)=a*√(1+t^2) ---(2)

ΔCABの内接円の半径を r とする．

ΔCABの面積を2通りの方法で表すことにより，

(1/2)*a*b=(r/2)*(a+b+c) ---(3)

ΔCAB ∽ ΔDAC であることより，(r/c) = (y/a).

よって，r=(c/a)*y ---(4)

(1),(2),(4)を(3)に代入して，

a*(t*a)=(√(1+t^2))*(y)*(a+(t*a)+a*√(1+t^2))

を得る．よって，

a=(1/t)*(√(1+t^2))*(y)*(1+t+√(1+t^2)).

y=12,t=(16/12)=(4/3)を代入して，a=60.

このとき，

b=t*a=80,c=a*(1+t^2)^(1/2)=100.

[追加問題 1]

一辺の長さは，(2/5)*(2*√2 - √3) (答)

一辺の長さをrとすると，

(r/2)*√3 + r*√2 = 1.

よって，

r=2/((√3)+2*√2))=(2/5)*(2*√2 - √3).

[追加問題 2]

一辺の長さは，((4-3^(1/2))/13)^(1/2) (答)

一辺の長さをsとすると，

|(-s)*(cos(-120°)+i*sin(-120°))+(s*√3)|=1.

よって，

((1/2+√3)*s)^2+((-s*√3)/2)^2=1.

よって，

s=√(1/(4+√3))=√((4-√3)/13).

(以上)

＜水の流れ＞　　　　　　　　　　　　　　更新　　11月11日

設問１

座標平面上に,３点の座標をとおく。

公式　３点のとき,

三角形の面積はを利用すると　

三角形ＡＢＣの面積Ｓは

ここで,直線ＯＡの方程式はから,Ｑの座標はとなる。

よって,三角形ＱＢＰの面積ＴはＴ＝

　題意から,２Ｔ＝Ｓより,ａｓ＝２ｐ^２・・・�@

一方,ＡＢ＝ｃから,ｓ^２＋ｔ^２＝ｃ^２・・・�A

　　ＡＣ＝ｂから,（ｓ−ａ）^２＋ｔ^２＝ｂ^２・・・�B

�A―�Bから,２ａｓ＝ａ^２＋ｃ^２−ｂ^２・・・�C

�@を�Cに代入して,　４ｐ^２＝ａ^２＋ｃ^２−ｂ^２　

∴　　　答

「水の流れ」 　　　　　　　　　　　　　　 更新 11/11

「 ジョカー」さんから,補題の簡単な証明が送られてきました。

（証明）

△ABCの内接円とAB，BC，CAとの接点をD，E，Fとする。

BD＝BE＝a-r，AD＝AF＝b-r

AB=BD+ADより，c=(a-r)+(b-r)

∴c=a+b-2r　（終）

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。