令和５年３月７日

[流れ星]

　　第423回数学的な連続応募解答

　　　　＜解答募集期間：２月５日〜３月５日＞

［剰余の周期性］

整式f(x)＝ｘ^ｍを整式P_ｎ(x)で割った商をQ_ｎ(x)，余りをR_ｎ(x)とする。

ただし，ｍ，ｎは自然数，Q_ｎ(x)＝0も可とする。

問１　ｍ＝2023のとき，次の問に答えよ。

（１）P_１(x)＝ｘ^２＋１のとき，R_１(x)を求めよ。

（２）P_２(x)＝ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R₂(x)を求めよ。

（３）P_３(x)＝ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R₃(x)を求めよ。

（４）P_４(x)＝ｘ^４＋ｘ^２＋１のとき，R₄(x)を求めよ。

（５）P_５(x)＝ｘ^４＋１のとき，R₅(x)を求めよ。

（６）P_６(x)＝ｘ^４＋ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R_６(x)を求めよ。

問２　R_ｎ(x)の周期性を発見して，次の問に答えよ。

（１）R_１(x)＝R_３(x)となるｍの値を求めよ。

（２）R_２(x)＝R_４(x)となるｍの値を求めよ。

（３）R_３(x)＝R_５(x)となるｍの値を求めよ。

（４）R_４(x)＝R_６(x)となるｍの値を求めよ。

（５）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)となるｍの値を求めよ。

（６）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)＝R_５(x)となるｍの値を求めよ。

（７）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)＝R_５(x) ＝R_６(x)となるｍの値を求めよ。

参考にした過去の大学入試問題です。

2021年早稲田大学ではx²⁰²¹をx^４―ｘ^２＋１で割った余りを求めよ。

2004年大分大学ではｎを正の整数とする。整式ｘ^ｎをｘ^５−１で割った余りを求めよ。

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズの第５問目になります。

追加問題２

図のように，円Oに２直線PACとPBDが垂直に交わっているとき，△OABと△OCDの面積が等しいことを証明せよ。

ただし，点Pは円外にあり，点Oは円Oの中心とする。

　

出典「パズルでひらめく補助線の幾何学」中村義作著　

BLUE BACKS

NO1「ジョーカー」 　02/04 　　 17時03分 受信 更新 3/5

今日の時点で問題がUpされていたので，応募します。

寄せられた問題の解答です

「ジョーカー」 　02/04 　　 18時51分 受信 更新 3/5

寄せられた追加問題の解答です

「ジョーカー」 　02/08 　　 06時05分 受信 更新 3/5

寄せられた参考にした大学入試問題の解答です

NO2「kasama」 02/07 00時04分　 受信 更新 3/5

寄せられた問題の解答です

「kasama」 02/08 01時37分　 受信 更新 3/5

　寄せられた追加問題の解答です

NO3「スモークマン」 02/07 20時01分　 受信 更新 3/5

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズの第５問目になります。　

回答

1辺2の正三角形の中の1辺1の正三角形で…

外側の大きな正三角形の高さ=√3

頂点から重心までの距離=(2√3/3)

So…甲の半径R=2√3/3-1=(2√3-3)/3　=0.1547…

乙の半径をrとすると…

方べきの定理より…

(√3/3-R-r)^2=r*(2+r)

((3-√3)/3-r)^2=r*(2+r)

(3-√3)^2/9=(2+2(3-√3)/3)*r

r=(9-4√3)/33　=0.062…

追加問題２

図のように，円Oに２直線PACとPBDが垂直に交わっているとき，△OABと△OCDの面積が等しいことを証明せよ。

ただし，点Pは円外にあり，点Oは円Oの中心とする。

「スモークマン」 02/12 19時02分　 受信 更新 3/5

問1

(6）P６(x)＝ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１のとき，R６(x)を求めよ。

f(x)=x^2023=(x^5-1)/(x-1)*Q(6)+a*x^3+b*x^2+c*x+d

x^5-1=0 の1以外の根の一つをzとする…

f(z)=z^3=a*z^3+b*z^2+c*z+d

so…a=1,b=c=d=0

so…

R6(x)=x^3

他も同じように考えれば…

(1) P１(x)＝ｘ２＋１のとき，R１(x)を求めよ。

f(x)=x^2023=(x^4-1)/(x^2-1)*Q(1)(x)+a*x+b

f(z)=z^3=-z=a*z+b

so…R1(x)=-x

(2) P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１のとき，R2(x)を求めよ。

f(x)=x^2023=(x^2+x+1)*Q(2)(x)+a*x*b

=(x^3-1)/(x-1)*Q2(x)+a*x+b

z^3=1

f(z)=z=a*z+b

so…a=1,b=0

so…R2(x)=x

(3) P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１のとき，R3(x)を求めよ。

f(x)=(x^3+x^2+x+1)*Q3(x)+a*x^2+b*x+c

=(x^4-1)/(x-1)*Q3(x)+a*x^2+b*x+c

z^4=1

f(z)=z^3=a*z^2+b*z+c=-z^2-z-1

so…

R3(x)=-x^2-x-1

(4) P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１のとき，R4(x)を求めよ。

f(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)*Q4(x)+a*x^3+b*x^2+c*x+d

=(x^6-1)/(x^2-1)*Q4(x)+a*x^3+b*x^2+c*x+d

z^6=1

f(z)=z=a*z^3+b*z^2+c*z+d

so…

R4(x)=x

(5) P５(x)＝ｘ４＋１のとき，R5(x)を求めよ。

f(x)=(x^4+1)*Q5(x)+a*x^3+b*x^2+c*x+d

(x^8-1)/(x^4-1)*Q5(x)+a*x^3+b*x^2+c*x+d

z^4=-1

f(z)=(z^4)^(505)*z^3=-z^3=a*z^3+b*z^2+c*z+d

so…

R5(x)=-x^3

「スモークマン」 02/20 20時52分　 受信 更新 3/5

問2

意味がよく掴めないのですが…

上の問題に示されているもので考えると…

P１(x)＝ｘ２＋１

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１

P５(x)＝ｘ４＋１

P６(x)＝ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１

（21）R１(x)＝R３(x)となるｍの値を求めよ。

4,4の最小公倍数

以下、kを自然数とする

So…m=4k

（22）R２(x)＝R４(x)となるｍの値を求めよ。

3,6の最小公倍数

So…m=6k

（23）R３(x)＝R５(x)となるｍの値を求めよ。

4,8の最小公倍数

So…m=8k

（24）R４(x)＝R６(x)となるｍの値を求めよ。

6,5の最小公倍数

So…m=30k

（25）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)となるｍの値を求めよ。

4,3,4,6の最小公倍数

So…m=12k

（26）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)＝R５(x)となるｍの値を求めよ。

4,3,4,6,8 の最小公倍数

So…m=24k

（27）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)＝R５(x) ＝R６(x)となるｍの値を求めよ。

4,3,4,6,8,5の最小公倍数

So…m=120k

＜水の流れ：剰余が一致する場合は他にもあります。＞

「スモークマン」 02/22 10時57分　 受信 更新 3/5

問2

上の問1に示されているもので考えると…あまりの周期は...

P１(x)＝ｘ２＋１・・・(x^4-1)/(x^2-1)・・・x,-1,-x,1 の4周期

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^3-1)/(x-1)・・・x,x^2=-x-1,1 の3周期

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^4-1)/(x-1)・・・x,x^2,(-x^2-x-1),1 の4周期

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^2-1),(-x^3-x),1 の6周期

P５(x)＝ｘ４＋１・・・(x^8-1)/(x^4-1)・・・x,x^2,x^3,-1,-x,-x^2,-x^3,1 の8周期

P６(x)＝ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^5-1)/(x-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^3-x^2-x-1),1 の5周期

（21）R１(x)＝R３(x)となるｍの値を求めよ。

4,4の最小公倍数 4

以下、kを自然数とする

x,1が同じなので…

So…m=4k-1,4k

（22）R２(x)＝R４(x)となるｍの値を求めよ。

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^3-1)/(x-1)・・・x,(-x-1),1

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^2-1),(-x^3-x),1

x,1が同じなので…

3,6の最小公倍数 6

So…m=6k-5,6k

（23）R３(x)＝R５(x)となるｍの値を求めよ。

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^4-1)/(x-1)・・・x,x^2,(-x^2-x-1),1

P５(x)＝ｘ４＋１・・・(x^8-1)/(x^4-1)・・・x,x^2,x^3,-1,-x,-x^2,-x^3,1

X,x^2,1が同じ

4,8の最小公倍数 8

So…m=8k-7,8k-6,8k

（24）R４(x)＝R６(x)となるｍの値を求めよ。

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^2-1),(-x^3-x),1

P６(x)＝ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^5-1)/(x-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^3-x^2-x-1),1

x,x^2,x^3,1が同じ…

6,5の最小公倍数 30

So…m=30k-29,30k-28,30k-27,30k

（25）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)となるｍの値を求めよ。

P１(x)＝ｘ２＋１・・・(x^4-1)/(x^2-1)・・・x,-1,-x,1

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^3-1)/(x-1)・・・x,x^2=-x-1,1

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^4-1)/(x-1)・・・x,x^2,(-x^2-x-1),1

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,-x^2-1,-x^3-x,1

x,1 が同じ…

4,3,4,6の最小公倍数 12

So…m=12k-11,12k

（26）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)＝R５(x)となるｍの値を求めよ。

P１(x)＝ｘ２＋１・・・(x^4-1)/(x^2-1)・・・x,-1,-x,1

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^3-1)/(x-1)・・・x,x^2=-x-1,1

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^4-1)/(x-1)・・・x,x^2,(-x^2-x-1),1

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,-x^2-1,-x^3-x,1

P５(x)＝ｘ４＋１・・・(x^8-1)/(x^4-1)・・・x,x^2,x^3,-1,-x,-x^2,-x^3,1

x,1が同じ…

4,3,4,6,8 の最小公倍数 24

So…m=24k-23,24k

（27）R１(x)＝R２(x)＝R３(x)＝R４(x)＝R５(x)＝R６(x)となるｍの値を求めよ。

P１(x)＝ｘ２＋１・・・(x^4-1)/(x^2-1)・・・x,-1,-x,1

P２(x)＝ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^3-1)/(x-1)・・・x,x^2=-x-1,1

P３(x)＝ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^4-1)/(x-1)・・・x,x^2,(-x^2-x-1),1

P４(x)＝ｘ４＋ｘ２＋１・・・(x^6-1)/(x^2-1)・・・x,x^2,x^3,-x^2-1,-x^3-x,1

P５(x)＝ｘ４＋１・・・(x^8-1)/(x^4-1)・・・x,x^2,x^3,-1,-x,-x^2,-x^3,1

P６(x)＝ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１・・・(x^5-1)/(x-1)・・・x,x^2,x^3,(-x^3-x^2-x-1),1

x,1が同じ…

4,3,4,6,8,5の最小公倍数 120

So…m=120k-119,120k

NO4「よふかしのつらいおじさん」2/13 17時20分 受信 更新 3/5

問1

● 各Pn(x)を0とするｘを調べます。

・ （-1の平方根）

・

(1の立方根で1でないもの)

・

(1の4乗根で1でないもの)

・

(1の3乗根で1でないものと、-1の3乗根で -1でないもの

つまり、1の6乗根で±1でないもの)

・ （-1の4乗根）

・

P6(x)を0とするｘは、1の5乗根で、1以外のものです。

　360÷5＝72なので、 です。（k＝1,2,3,4）

　ただし、これで計算すると面倒です。

● で となる を代入します。

すると、

この後は、この下線の式(*)で考えます。

(1) は、4乗すると、1になるので、

また、 は、2次式なので、 とします。

(2) は、3乗すると、1になるので、

また、 は、2次式なので、 とします。

(3) は、4乗すると、1になるので、

また、 は、3次式なので、 とします。

(4) は、6乗すると、1になるので、

また、 は、4次式なので、 とします。

(5) は、8乗すると、1になるので、

また、 は、4次式なので、 とします。

(6) です。

を一まとめにして考えます。

なので、

まず、 を で割ることを考えます。

とすると、1次式 で割るので、余りRは定数になります。

とすると、

ゆえに、

両辺を 倍すると、

となるので、余り です。

「よふかしのつらいおじさん」2/14 20時05分 受信 更新 3/5

問2

●Pn(x)を0とするｘは、1のべき乗根なので、 の値は周期的に同じ値を繰り返します。

ｍ＝1のときは、 です。

・ を0とする は、4乗すると、1になります。

　 は、ｍが4増えると同じ値をとります。

(*)の式 で考えます。

は、 を繰り返します。

●上のやり方は、場合の数が多く計算が面倒です。

別の方法を考えます。

・ を0とする は、4乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが4増えると同じ値をとります。

の形を考えます。

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

上の結果と同じになりました。

・ を0とする は、3乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが3増えると同じ値をとります。

の形に変形すると、

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

・ を0とする は、4乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが4増えると同じ値をとります。

の形に変形すると、

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

・ を0とする は、6乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが6増えると同じ値をとります。

（ωは、ｍが3増えると同じ値をとりますが）

の形に変形すると、

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

・ を0とする は、8乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが8増えると同じ値をとります。

の形に変形すると、

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

・ を0とする は、5乗すると、1になります。

つまり、 は、ｍが5増えると同じ値をとります。

の形に変形すると、

ｍが1から始めて、ｘ倍していくと、

つまり、 は、 を繰り返します。

まとめると、

は、周期が4で、、

は、周期が3で、、

は、周期が4で、、

は、周期が6で、、

は、周期が8で、

は、周期が5で、

以上からｋを自然数として、

(1)R1(x)＝R3(x)となるのは、ともに周期が4なので、

ｍ＝4(ｋ−1)＋１、4k

(2)R2(x)＝R4(x)となるのは、3と6の最小公倍数を考えて、

ｍ＝6(ｋ−1)＋1、6ｋ

(3)R3(x)＝R5(x)となるのは、4と8の最小公倍数を考えて、

ｍ＝8(ｋ−1)＋1、8(ｋ−1)＋2、8ｋ

(4)R4(x)＝R6(x)となるのは、6と5の最小公倍数を考ええて、

ｍ＝30(ｋ−1)＋1、30(ｋ−1)＋2、30(ｋ−1)＋3、30ｋ

(5)R1(x)＝R2(x)＝R3(x)＝R4(x)となるのは、4、3、4、6の最小公倍数を考えて、

ｍ＝12(ｋ−1)＋1、12ｋ

(6)R1(x)＝R2(x)＝R3(x)＝R4(x)＝R5(x)となるのは、4、3、4、6、8の最小公倍数を考えて、

ｍ＝24(ｋ−1)＋1、24ｋ

(7)R1(x)＝R2(x)＝R3(x)＝R4(x)＝R5(x)＝R6(x)となるのは、4、3、4、6、8、5の最小公倍数を考えて、

ｍ＝120(ｋ−1)＋1、120ｋ

追加問題1

●右上、左上、下の各円の中心をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとします。

△ＡＢＣは正三角形で円甲の中心Ｋは、△ＡＢＣの中線の交点なので重心です。

重心は中線の頂点の方から2：1の内分点です。

△ＡＢＣの1辺の長さが2なので、中線 です。

すると、

なので、円甲の半径ｋは、 です。

●円Ａ、Ｂ、甲、乙は互いに接しているので、デカルトの円定理を使います。

円Ａ、Ｂの半径は1、円甲の半径は 、円乙の半径をｒとすると、

1は不適なので、

追加問題２

●2つの三角形の面積は、次の式で表せます。

面積の計算に使う辺の長さは、円の半径ですべて等しいです。

なので、 を確かめます。

●少しずつ図を変形しながら考えます。

・図1

円Ｏが左と下で直線と接しているとします。

接点をＡ、Ｂとすると、△ＯＡＢは直角二等辺三角形です。

・図2

水平な直線を少し上にずらします。

図のように点Ｂ、Ｄ、Ｆを決めます。

すると △ＯＡＢ＝△ＯＢＤとなります。

なぜなら、点Ｂから直線ＯＡまでの距離、点Ｄから直線ＯＡまでの距離が等しくなるので、

二つの三角形の底辺と高さが等しくなるからです。

また、∠ＡＯＢ＝∠ＤＯＦであることも分かります。

なぜなら、△ＯＢＤが二等辺三角形で直線ＡＦとＢＤが平行だからです。

・図3

次に垂直な直線を右に少しずらします。

図のように、点Ａ、Ｃ、Ｅ、Ｇを決めます。

（ＥはＤＯの延長上です。また、Ｇは図1でＡだったところです。）

すると、∠ＤＯＦ＝∠ＥＯＧです。（対頂角）

よって、∠ＢＯＧ＝∠ＥＯＧです。（∠ＢＯＧは図2で∠ＡＯＢです）

△ＯＡＣが二等辺三角形なので、∠ＡＯＧ＝∠ＣＯＧです。

よって、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＥです。

以上から、△ＯＡＢの頂角∠ＡＯＢ（＝∠ＣＯＥ）と△ＯＣＤの頂角∠ＣＯＤの和が180°であることがわかります。

NO5「三角定規」　　　　02/04 13時22分 受信 更新 2/5

寄せられた問題の解答です

寄せられた追加問題の解答です

<水の流れ：2023年京都大学前期日程数学（理系）第1問の問2の問題と問１（６）の問題はほぼ同じでした。ご覧ください。＞

追加問題２の解法

　図のように, 線分ＣＢと, ＱをＣＯの延長と円の交点にとり，円周角∠ＣＱＤを作る。

また, ∠ＡＯＢ=２α, ∠ＣＯＤ＝２βとする。

四角形ＣＢＤＱは円に内接するから, ∠ＣＢＤ＋∠ＣＱＤ＝１８０°・・・�@　

円周角と中心角の関係から, ∠ＡＣＢ＝α,∠ＣＱＤ＝β

また,∠ＣＢＤ＝α＋９０°（△ＣＰＢの外角から）

よって, �@に代入して, （α＋９０°）＋β＝１８０°

故に, ２α＋２β＝１８０°

ここで, 円Ｏの半径をｒとして, 題意の２つの三角形の面積を表すと,

△ＯＡＢ＝（1/2）ｒ^２ｓｉｎ２α　　,　△ＯＣＤ＝（1/2）ｒ^２ｓｉｎ２β

ｓｉｎ２β＝ｓｉｎ（１８０°―２α）＝ｓｉｎ２αから

　即ち,　△ＯＡＢ＝△ＯＣＤ　∴　証明終わり

追加問題２の解法の別解

「ジョーカー」 　03/07 　　 12時36分 受信 更新 3/7

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。