＜水の流れ＞
（私の一日NO57）Ｎ０22：2003年5月12日夕方（日）女子のバスケット試合結果は、残念ながら、４点差で、惜敗でした。３年生は３人いましたが、バスケ熱のある生徒でした３年良く頑張っていました。県大会は過去５回ほど経験したことになります。
また、第119回の応募問題
Ｎ０21：2003年5月11日午前（日）昨日は、午後から、男子のバスケットの地区予選の試合に行って来ました。残念ながら、負けてしまいました。これで、３年生（６人）の部活動も終わり後は、勉強中心の生活に変わります。女子は今から行って来ます。 Ｎ０20：2003年5月9日（金）昨日、第119回の応募問題 Ｎ０19：2003年5月7日（水）「中尾」さんからの研究課題で、「X+Y,X^2+Y^2,X^3+Y^3が全て平方数であるような正整数(X,Y)を求めよ。」ですが、桁数の小さいので２．３組解を紹介してもらいました。誰か、ＰＣで発見してもらいたいな。 Ｎ０18：2003年5月6日（火）帰宅後、第118回の応募問題で寄せられた Ｎ０17：2003年5月5日（月）第118回の応募問題で寄せられた Ｎ０16：2003年5月4日（日）今までに第118回の応募問題で寄せられた Ｎ０15：2003年4月29日（火）第118回の応募問題 Ｎ０14：2003年4月23日（水）第118回の応募問題 Ｎ０13：2003年4月21日（月）第118回の応募問題 Ｎ０12：2003年4月20日（日）昨日の午前中は、家業の農作業（稲の育苗をする箱に泥を入れる）をしました。１０ａの田圃の２２箱を予定しています。 Ｎ０11：2003年4月17日（木）「中尾」さんから、「初等的に解く」について、説明がありました。ご覧下さい。 Ｎ０10：2003年4月16日（水）帰宅は多忙でして、午後７時半になりました。第117回の応募問題 Ｎ０9：2003年4月15日（火）今宵、16日から応募する第118回の応募問題 Ｎ０8：2003年4月14日（月）第117回の応募問題で寄せられた Ｎ０7：2003年4月13日（日）昨日はウイルスつきメールを送信して、大変なご迷惑をおかけしました。以後、駆除用ソフトにて、細心の注意を払っていきます。これからもおつきあいのほどよろしくお願いします。 Ｎ０6：2003年4月12日（土）午前、PCにウイルスが進入しまして、メールの送受信に支障をきたしています。アドレス帳に記入してある方々にご迷惑になってはいないか、心配です。強烈なアタックにあたっていて、悪戦苦闘しています。 Ｎ０5：2003年4月7日（月）４日の９時３４分に、第117回の応募問題 Ｎ０4：2003年4月3日（木）第117回の応募問題 Ｎ０3：2003年4月2日（水）昨日から、新年度が始まり分掌が変わりました。担任はなくなり、１年の副担任（教員歴、７回目）です。部活動は放送部からバスケット部に戻りました。分掌は教務部から渉外部になり心機一転って感じです。 Ｎ０2：2003年3月31日（月）帰宅後、「中尾」さんから、次のようなメールが届いていました。 Ｎ０1：2003年3月30日（日）家の近くの桜はこの土・日の暖かさで２・３分咲きって感じです。今週が花見に最適ではないでしょうか。家族で桜の下、食事ができれば最高でしょう。皆さん！至福のひとときを過ごしてみては。 <自宅＞
「中尾」さんからの研究課題で、「kiyo」さんから、十進ベーシック(1000桁モード)で出力したのが届いていました。ご覧ください。
十進ベーシック(1000桁モード)で出力してみました。
FOR M=1 TO 5
FOR N=1 TO 5
LET X=184*(2*M-1)^4*N^2
LET Y=345*(2*M-1)^4*N^2
PRINT USING "##########":X;
PRINT USING "##########":Y;
PRINT USING "##########":X+Y;
PRINT USING "#######":SQR(X+Y);
PRINT USING "##################":X^2+Y^2;
PRINT USING "##########":SQR(X^2+Y^2);
PRINT USING "##########################":X^3+Y^3;
PRINT USING "##############":SQR(X^3+Y^3)
NEXT N
PRINT
NEXT M
END
x y x+y √x+y x^2+y^2 √x^2+y^2 x^3+y^3 √x^3+y^3
184 345 529 23 152881 391 47293129 6877
736 1380 2116 46 2446096 1564 3026760256 55016
1656 3105 4761 69 12383361 3519 34476691041 185679
2944 5520 8464 92 39137536 6256 193712656384 440128
4600 8625 13225 115 95550625 9775 738955140625 859625
14904 27945 42849 207 1003052241 31671 25133507768889 5013333
59616 111780 171396 414 16048835856 126684 1608544497208896 40106664
134136 251505 385641 621 81247231521 285039 18322327163520081 135359991
238464 447120 685584 828 256781373696 506736 102946847821369344 320853312
372600 698625 1071225 1035 626907650625 791775 392711058888890625 626666625
115000 215625 330625 575 59719140625 244375 11546174072265625 107453125
460000 862500 1322500 1150 955506250000 977500 738955140625000000 859625000
1035000 1940625 2975625 1725 4837250390625 2199375 8417160898681640625 2901234375
1840000 3450000 5290000 2300 15288100000000 3910000 47293129000000000000 6877000000
2875000 5390625 8265625 2875 37324462890625 6109375 180408969879150390625 13431640625
441784 828345 1270129 1127 881328541681 938791 654597781122941929 809072173
1767136 3313380 5080516 2254 14101256666896 3755164 41894257991868283456 6472577384
3976056 7455105 11431161 3381 71387611876161 8449119 477201782438624666241 21844948671
7068544 13253520 20322064 4508 225620106670336 15020656 2681232511479570141184 51780619072
11044600 20708625 31753225 5635 550830338550625 23469775 10228090330045967640625 101134021625
1207224 2263545 3470769 1863 6581025753201 2565351 13356976502206139049 3654719757
4828896 9054180 13883076 3726 105296412051216 10261404 854846496141192899136 29237758056
10865016 20371905 31236921 5589 533063086009281 23088159 9737235870108275366721 98677433439
19315584 36216720 55532304 7452 1684742592819456 41045616 54710175753036345544704 233902064448
30180600 56588625 86769225 9315 4113141095750625 64133775 208702757846970922640625 456839969625
また、「中尾」さんからの研究課題で、「Iga」さんから、BASICでプログラムを組んだのが届いていました。ご覧ください。
10 for m=1 to 1000
20 for x=1 to (m*m-1)/2
30 let y=m*m-x
40 let a=x*x+y*y
50 if a<>int(sqr(a))*int(sqr(a)) then goto 100
60 let b=x*x*x+y*y*y
70 if b<>int(sqr(b))*int(sqr(b)) then goto 100
80 print x;y,m*m;m,a;sqr(a),b;sqr(b)
100 next x
110 next m
120 END
その結果、
n x y x+y √x+y x^2+y^2 √x^2+y^2 x^3+y^3 √x^3+y^3
1 184 345 529 23 152881 391 47293129 6877
2 736 1380 2116 26 2446096 1564 3026760256 55016
3 1656 3105 4761 69 12383361 3519 34476691041 185679
4 2944 5520 8464 92 39137536 6256 193712656384 440128
5 4600 8625 14225 115 95550625 9775 738955140625 859625
6 6624 12420 19044 138 198133776 14076 2206508226624 1485432
7 9016 16905 25921 161 367067281 19159 5563989333721 2358811
8 11776 22080 33856 184 626200576 25024 12397610008576 3521024
9 14904 27945 42849 207 1003052241 31671 25133507768889 5013333
10 18400 34500 52900 230 1528810000 39100 47293129000000 6877000
11 22264 41745 64009 253 2238330721 47311 83782662904369 9153287
12 26496 49680 76176 276 3170140416 56304 141216526503936 11883456
13 31096 58305 89401 299 4366434241 66079 228274900695361 15108769
14 36064 67620 103684 322 5873076496 76636 356095317358144 18870488
15 41400 77625 119025 345 7739600625 87975 538698297515625 23209875
16 47104 88320 135424 368 10019209216 100096 793447040548864 28168192
…
これを見ていたら、√x+y が23の倍数になっていることに気付きました。
さらに当然のことながら、n=1のときは x=184=23*8 y=345=23*15 x+y=529=23^2 x^2+y^2=152881=391^2=(23*17)^2 x^3+y^3=47293129=6877^2=(23^2*13)^2
となっていて、n=2以降はそれぞれn倍、n^2倍、n^3倍になっています。中途半端で申し訳ありませんが、この２３がどんな意味を持つのか、なぜ２３なのかについては、よくわかりませんでしたが 、とりあえずここまでの結果を送ります。
＜水の流れコメント：貴重な報告ありがとうございます。大変参考になります＞
さらに、第119回の応募問題「複雑な不定積分」で、「Toru」さんから、解答が寄せられました。６問とも正解です。すらすら解ける問題ではないのですが・・・。
また、第63回の応募問題「多項式展開係数」で、、（１＋ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾３＋ｘ＾４＋・・・）＾ｎ の係数で、Toru」さんから、発見があり、下記のような報告がありました。
『ベキ級数（1+x+x^2+x^3+------）は収束半径｜x｜<1 内では絶対収束するので、この積については分配律が成り立つとしてよく、（1+x+x^2+x^3+------）^nはn個のカッコ内からそれぞれx＾m (m=0,1,2,----------)のどれかを選んでかけたもののあらゆる組み合わせの和としてよい。
あるカッコからx^mを選んだ時は、そこからm個選んだものと考えれば、x＾kの係数はn個から重複を許して、k個を選ぶ重複組み合わせで nＨk=n+k-1Ｃk=(n+k-1)!／(n-1)!k!
｜x｜<1で1+x+x^2+x^3+------=1/(1-x)、（1+x+x^2+x^3+----）^n=(1-x)^(-n)=F(x)とすると、これは同じ範囲で（？）マクローリン展開できて、
x＾kの係数は F(k) (0)／k！=n(n+1)------(n+k-1)／k! 、 (F(k) はFのk回微分です)
分配律が成り立つだの、マクローリン展開できるだののところは「解析概論」なんぞを引っぱりだして、この機会にちょこっと勉強しました。』
また、）今宵、6日から応募する第119回の応募問題「複雑な不定積分」を載せました。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
さらに、「中尾」さんから、次のような「報告」と「研究課題」を知らせてもらいました。
『Diophantus方程式X^3+Y^3=Z^2の整数解を求める問題に挑戦してみました。
この問題は一見やさしそうに見えて実はかなり難しく、既知の解
[X,Y,Z]=[s^4+6s^2t^2-3t^4 , -s^4+6s^2t^2+3t^4 , 6st(s^4+3t^4)],
[(1/4)(s^4+6s^2t^2-3t^4) , (1/4)(-s^4+6s^2t^2+3t^4) , (3/4)st(s^4+3t^4)],
[s^4+8st^3 , -4s^3t+4t^4 , s^6-20s^3t^3-8t^6]
は導くことができたのですが、完全には解決できていません(つまり、他に解がないことをまだ証明できていません)。
未完成ですが、「楕円曲線の話題のページ」上に部分的な解をまとめました。少し時間を置いて、再度挑戦するつもりです。
次の研究課題にどうでしょうか？
もう少し条件を加えて、「X+Y,X^2+Y^2,X^3+Y^3が全て平方数であるような正整数(X,Y)を求めよ。」
という問題にすると、全ての整数解(X,Y)を決定することができます。』
「地球の自転と時刻のずれを修正するため毎年のように実施されていた「うるう秒」のない期間が４年半も続いている。自転が速くなったためで、地球が１回転する時間は３０年前に比べ４００分の１秒ほど短くなっているという。
国立天文台の真鍋盛二教授は「自転は月の引力の影響で長期的には遅くなっており、今回速くなったのは地球の歴史からみれば一瞬」とした上で、原因について「風の分布が変わるなど気候変動が一因だろう」と指摘。
川崎一朗京都大防災研究所教授は「地球深部の核とマントルの境界で巨大地震が起き、核の形が変化すれば回転速度が変わる可能性がある」と話している。」YAHOOニュースから（共同通信）引用しました。
さて、過去に戻りますが、第63回の応募問題「多項式展開係数」で、、（１＋ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾３＋ｘ＾４＋・・・）＾ｎ の係数を考えてみてください。素敵なことが発見できますよ。誰か気がついてください。
さて、嬉しいメールが届いていました。太郎さんにとって、大変勇気づけられます。感謝します。
『はじめまして 私はアメリカのIowa州の小さなリベラルアーツ大学に通う大学生です
数学についてのホームページを拝見させていただいて、その感想を送りたくてe-mailを送りました。
今、私の大学は10日間の休み期間で数学の問題をやりたくて大学の教授にいい問題はないかと聞いたところ、
ある数学の問題がたくさん掲載されたホームページの事を知り、やっていくうちに調和数列のsumを使った問題にぶつかり何かいい案はないかとホームページを検索していたところベルヌーイ数のこと知り、数秘眺望発見というホームページのことも知りました。
・・・
高校でいい先生にも出会いさまざまな問題にも触れることが出来て数学を出来ることが当たり前の環境にいました。
しかし、アメリカの小さな学校に来て高校のときのような楽しいと思えるような問題に大学の授業の中で出会うことが出来ず、初めて本当に数学をやりたいと思えるようになりました。
初めて本当に自分が数学を好きで勉強したいと思ってるということを知りました。
「震え上がるような数の神秘を知るために、あなたは青春をかけてみないか」というフレーズを見たとき私もついノートに書いてしまいました(笑) でもそれくら私にとってインパクトのある言葉でした
幸い小さい大学ながらとてもいい数学の教授と出会うことが出来、数学を勉強する手助けをしてもらえるのでとても幸運です。
この休み中ずっと本当に他の教科を削ってまで数学を勉強することが将来の自分のためになるのか考えてました。
なのでホームページを拝見できて、自分が数学を好きだということを再確認できとてもよかったです。これからも仕事にホームページの更なる充実にと頑張ってください本当にありがとうございました』
【実情をお話します。１２日の土曜日に、私のＰＣにウイルスが侵入しました。その後、駆除はしたものの、自作のホームページのアクセスカウンタ・時間表示が共に、正常でなく８８８８８８ ８８８８８８のようになっていました。で、先日、場所を変えて、自分のホームページを見たら、これが正常に機能していたのです。
どうして、自分のＰＣからは正常に機能していないのですか。これが 実情なんです。教えてください。】以上のようにＯＣＮに尋ねてみましたら、次の返事がありました。
『上記お問い合わせにつきまして、お客様のご利用のパソコンにセキュリティソフト等をインストールされておられませんでしょうか。
セキュリティソフトの仕様により、アクセスカウンタ及び日時表示の表示が「８８８８８８」と表示される現象が起こります。』全くその通りです。
さて、第118回の応募問題
先日、第117回応募問題「人生模様」で、「午年のうりぼう」さんと「RARAちゃん」の「解答」を更新しました。遅くなりまして、お許しください。
『「解く」の意味が違うのでないかと思いますが.....「初等的に解くのが難しい」という意味は、「いくつかの解(この問題では２個の解)を見つけるのが難しい」ということではなく、
「他には解がないことを初等的に証明することが難しい（だろう）」ということです。
数学の解答としては、他に解が存在しないことを示さないと、(完全な)正解とは認められません。
２つの解を見つけただけで、他に解がないことを証明していない場合には、「Lucasのピラミッド問題の正整数解は、(1,1),(？,？)に限るだろう。」といっていることと同値です。
数学では、このようなものを「予想」または「仮説」と呼びます。』
また、第118回の応募問題「ピラミッド問題」の解答を「RARAちゃん」がEXCELで足し算してからSQRT関数を使用して平方数になるの（端数のでない数）を調べることにより、答えに到達していました。さらに、問題２：の解答で（１）、（２）の解答も寄せられていました。正解です。
さらに、「H7K」さんのは問題１で初等的な整数論でチャレンジしてありました。流石ですね。＜コメント：とりあえずここまで．１組が見つかったんですが...＞ 次に、問題２はガウス記号でうまく表現してありました。出題者の予定された答えには、ガウス記号は使ってありませんが・・・
なお、「ピラミッド問題」の出題者の「中尾」さんから、年号のLucas(1975)からLucas(1875)に出題年が100年違っていたと訂正が送信されてきました。また、＜コメントとして、それから、初等的に解くのは(ちゃんと考えたわけではありませんが)おそらく難しいと思います。＞とね。
明日にでも、第118回の応募問題は「中尾」さんから提供された「問題(Lucasのピラミッド問題)」を考えていますが、大変解くには難しいです。出典は、「論文 Michael A. Bennett, "Lucas' square pyramid Problem revisited", 2002」で、Lucas(1975)と書いてあったそうです。
解けそうなタイプと２種類出題しようと考えていますが、未だ、作成完了していません。昨日のウイルス騒動で、「水の流れ」のアクセスカウントや時計が壊れてしった。誰か、復旧方法を教えて下さい。
さて、先日「中尾」さんから、:「U^4-64V^4=6577W^2の有理整数解について」の結果報告がありましたから、お知らせします。
『やっと結果をまとめることができて、本日Webページ上で公開しました。使っている手法とツールは、既知・既存のものであり、パソコン上で比較的簡単に検証することができます』
詳しくは、
また、今までに第117回の応募問題で寄せられた「人生模様」の解答者一覧を載せておきます。ご覧ください。
大変申し訳ありません。既に感染したメールを受信された方がお見えになりました。ウイルス名はWORM_KLEZ.H ということです。午後から、駆除と修復にあたり、今午後6時に完全に正常になりました。今まで、細心の注意を払っていましたが、「間がさした感じ」で開いてしまいました。で、駆除用ソフトで緊急に回復に努めました。皆さん！お許しください。
なお、「浜田」さんからは次のようなコメントがありました。『エクセルのマクロで解きました。数列をGRAPESで調べたところ，６次以下のｎの整式で表す事は出来ないようです』皆さんは、この数列が有名であることをご存じでしょう。
さらに、「中尾」」さんから、「Diophantus方程式」について、報告がありましたから、下記にお知らせします。
『 Diophantus方程式 C: U^4-64V^4=6577W^2 ただし、U,V,Wは有理整数かつW!=0を解くことができました。
W!=0なる有理整数解[U,V,W]を求めることは、次の楕円曲線
E1: y^2=6577*(x^4-4)
の有理点を求める問題に帰着できます。E1はある有理変換を経由して、以下の楕円曲線
E2: y^2=x^3+2^4*6577^2*x とQ-同型になります。
E2のねじれ点群E2(Q)はZ/2Z, その生成元は、(0,0)であり、位数2です。
E2のMordell-Weil群E2(Q)のrankは１で、その生成元は、(105232/81,692110864/729)です。
よって、E2(Q)=Z×Z/2Z となります。
E2(Q)の元に対応するC(Q)の元をいくつか求めると、以下のようになります。
簡単のため、U,V,Wが正になる解のみを記述します。
[U,V,W]=[261031490364366200807, 8347128996462993282,840151008514666587975087863083976062841],
[22024320179993071755613051, 3142409344984909594388037,5901385341993913838054270690158581108823795906369],
[12418043845210301269321859904314639,3073561806037628478232364555924976,1657479267800678635216636276520356298349727092661754715780090788201],
[48273767173093056198726858071546801912817751651,15797004167976728353240100515262739320357387523,14822951570289795857291935505107619869377446390481621406893606054643709944706578388400418801],
[1338407126942132345192801402122400597345355578106626844658717367,
472579018406488608815149954435029354478258562252004571708411902,
1596672681249582679139037567396252569663811808967453153796337903271006682700205346035179109861600788879433390924234386151719],
[268041000843561295732613180315355513363540095363861323956085708592012515127121115339,
83797502294925786091267410106672558508883639807010394733175676748343959421190393313,
552281454369384332940245741877842721012087616869199488475202771487189802832660566696358368125257240300076161371796324307841767247289356168390350314023660439298304991],
[380252874351616851657374531453897221187642867902350795494804717330338890813335784693201768462553498684374239,
85412828091808006917691709938878041762226662880204198636616725472708504891444226814625186046138495891216556,
1631224736526540450824133231046268859097633798686704051257150891961524584433611489228577688537319778472066070476068295331781335634656862872488671674302944345680742440169997147428200958337097135186150723970134104119],
...
CのW!=0なる有理整数解[U,V,W]は、無数に存在することがわかります。
まだ、完全に整理できていませんが、とりあえず報告まで。』
＜コメント＞Diophantus方程式 C: U^4-64V^4=6577W^2 ただし、U,V,Wは有理整数かつW!=0を解くことができた「中尾」さんのご苦労に頭がさがります。これからの研究の成果をまた、報告ください。本当に、お疲れさまでした。
保護者や地域の皆さんの意見を聞きながら、育友会をサポートしていかねばなりません。よろしくお願いします。授業は１年ばかりです。新課程の生徒ですから、今までのような内容と違ってきます。
『自然数nが合同数(congruent number)であるとは、3辺の長さが有理数の直角三角形で、かつ、その面積がnであるものが存在することであると定義します。
例えば、3辺の長さが3,4,5である直角三角形の面積は6であるので、6は合同数です。他に、5,7,13,14,15,21も合同数です。また、1,2,3,10,11,17,18,19は合同数ではありません。
1063は合同数であるのですが、面積が1063で、3辺の長さa,b,cが有理数である直角三角形を見つけることは、かなり難しいことです。
楕円曲線1063y^2=x^3-xについて、Elkiesがmodular曲線のHeegner点から計算した自明でない(y!=0である)有理点を元にして、a,b,cを計算することができました。
有理数a,b,cを
a=60632962349809758021841786767461108739811213650247930740122480782027326443279772350518131004716559081896/3519921516956759949431835966936373617409633741365895025703555071825336577825931441281919224224453695115
b=3741676572525035826246041632853365155306440667071946412322879041350332782228965122082680135350594277907245/30316481174904879010920893383730554369905606825123965370061240391013663221639886175259065502358279540948
c=13298065356891700716198683223339131312294694143940968281058339235905711318340054960306022495141062478438136256501123952942091993090136743576576928644521211331037955144077159527559535619482837134195016272323217/106711634405962237879770450679948483600761944324557593229905046097686311849569124164606343663541364088003059950479221088291035635945066672088972117624732103757744798445927801826918228633275973931884550069020
とすると、a^2+b^2=c^2 (1/2)ab=1063なので、有理数a,b,cを3辺の長さに持つ直角三角形の面積は1063です。
このような有理数a,b,cは無数に存在し、具体的に計算できることが分かっています。』
また、参考サイト
さて、昨夜のうちに、1日から応募する第117回の応募問題「人生模様」を作問しました。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
さて、第116回の応募問題で寄せられた
ＮＯ1〜ＮＯ55までは過去の日記