NO9：2003年7月6日（日）午前中に、第121回の応募問題で寄せられた「５乗根・10乗根」の「解答」を載せておきました。応募された方々に厚く御礼申し上げます。ご覧ください。
また、第122回の応募問題は「増えた１ｃｍ^２」の問題を出しておきました。皆さん！よろしくお願いします。
さて、「中尾」さんから、第121回の応募問題は「５乗根・10乗根」の一般化の解法が届いています。ありがとうございます。下に、載せておきます。
『第121回の応募問題「５乗根・10乗根」の問題を一般化したものが解けました。
(1)nが2以上の整数とすると、
　　Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)} = n/{2^(n-1)}　となる。
(2)nが3以上の奇数とすると、
　　Π_{i=1}^{(n-1)/2} {cos((2i-1)π/(2n))}
　 Π_{i=(n+1)/2}^{n} {cos((2i-1)π/(2n))}= ((-1)^{(n-1)/2})n/{2^(n-1)}　となる。
[証明]
(1)ζを1の虚2n乗根 cos(π/n)+sqrt(-1)*sin(π/n)とする。
ζ^(2n) = 1, ζ^n = -1　は容易に得られる。
ζ^i(i=1,2,...,2n-1)は互いに異なるので、
x^(2n-1)+x^(2n-2)+...+x+1=(x-ζ)(x-ζ^2)(x-ζ^3)...(x-ζ^(2n-1))　----- (*) となる。
(*)にx=1を代入すると、
　2n=(1-ζ)(1-ζ^2)(1-ζ^3)...(1-ζ^(2n-1))
つまり、Π_{i=1}^{2n-1} {(1-ζ^i)} = 2n を得る。
i=1,2,...,n-1に対して、
ζ^i = cos(iπ/n)+sqrt(-1)*sin(iπ/n)
ζ^(-i) = cos(iπ/n)-sqrt(-1)*sin(iπ/n) なので、
sin(iπ/n)=(ζ^i-ζ^(-i))/(2*sqrt(-1)) となる。
　 ζ^i-ζ^(-i)=-ζ^(-i)(1-ζ^(2i))=-ζ^(-i)(1-ζ^i)(1+ζ^i)
=-ζ^(-i)(1-ζ^i)(1-ζ^(n+i)) より、
　Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)}
=(1/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})Π_{i=1}^{n-1}{ζ^i-ζ^(-i)}
= ({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*Π_{i=1}^{n-1}{ζ^(-i)}
*(1/2)*Π_{i=1}^{n-1}{1-ζ^i}*(1-ζ^n)*Π_{i=1}^{n-1}{1-ζ^(n+i)}
=({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*ζ^{-n(n-1)/2}*(1/2)*Π_{i=1}^{2n-1}{1-ζ^i}
= ({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*{sqrt(-1)^(n-1)}*(1/2)*(2n)
= n/{2^(n-1)} を得る。
(2)nは3以上の奇数なので、n=2m+1(m>=1)とおく。
i=1,2,...,mに対して、
　cos((2i-1)π/(2n))=cos((2i-1+n)π/(2n)-π/2)=sin((2i-1+n)π/(2n))
=sin((i+m)π/n)
i=m+2,m+3,...,2m+1に対して、
　cos((2i-1)π/(2n))=cos((2i-1-n)π/(2n)+π/2)=-sin((2i-1-n)π/(2n))
=-sin((i-1-m)π/n) なので、(1)より、
　Π_{i=1}^{(n-1)/2} {cos((2i-1)π/(2n))} Π_{i=(n+1)/2}^{n}
{cos((2i-1)π/(2n))}= Π_{i=1}^{m} {sin((i+m)π/n)} Π_{i=m+2}^{2m+1} {-sin((i-1-m)π/n)}
= Π_{i=m+1}^{2m} {sin(iπ/n)} *{(-1)^m}*Π_{i=1}^{m} {sin(iπ/n)}
= {(-1)^m}*Π_{i=1}^{2m}{sin(iπ/n)}
= {(-1)^((n-1)/2)}*Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)}
= ((-1)^{(n-1)/2})*n/{2^(n-1)} を得る。
[追記] 以下もおそらく証明できると思います。
(3)nが2以上の偶数とすると、
　　Π_{i=1}^{n/2} {cos((2i-1)π/(2n))} Π_{i=(n/2)+1}^{n} {cos((2i-1)π/(2n))}
= {(-1)^(n/2)}/{2^(n-1)} となる。』
<水の流れ：コメント＞一般化なんて考えもしなかったけれども、「中尾」さんのおかげです。ありがとうございます。第121回の応募問題で「解答」にも載せておきました。