＜水の流れ＞
（私の一日NO60）NO25：2003年10月20日（月）第126回の応募問題は
「自然数解」の解答が「15KARATSOUL」さんから寄せられました。ありがとうございます。
NO24：2003年10月16日（木）昨日件で承諾が得られましたから、下記をクリック下さい。驚きです。
１．
NO23：2003年10月15日（水）今日、凄いメールが入ってきた。「コラッツ予想（日本では、角谷予想）」が彼なりに証明を試みた。と、書いてありました。驚きです。まだ、未解決問題とばかり思っていましたから。 NO22：2003年10月12日（日）第126回の応募問題は NO21：2003年10月5日（日）第126回の応募問題は NO20：2003年10月1日（水）第126回の応募問題は NO19：2003年9月29日（月）第４４回国際数学オリンピック（ＩＭＯ）日本大会の成績が「大学への数学９月号」に掲載されていましたから、お知らせします。各国６人の総得点２５２点満点で、１問あたり7点で計６問４２点満点です。 NO18：2003年9月27日（土）午後、125回の NO17：2003年9月24日（水）昨日のことに対して「中尾」さんからメールが入りました。お知らせします。 NO16：2003年9月23日（火）第125回の応募問題は NO15：2003年9月21日（日）なぜか、長い間「私の一日」を休んでいました。心配をおかけしました。毎日の疲れから更新をせずにいました。 NO14：2003年9月9日（火）猛暑の中 文化祭があり、ステージ発表のクラス・部は汗だくだくの中実演していました。太郎さんもクラスの劇「美女と野獣」に村人参加しました。地下足袋に、ズボン シャツ で首にタオルを巻いて、麦わら帽子をつけての登場です。「できたー」という実感がありました。 NO13：2003年9月7日（日）昨日公開した第125回の応募問題は NO12：2003年9月6日（土）午後、124回の NO11：2003年9月2日（火）今週、残暑厳しい中、１日６時間（月曜日は７限まで）の授業をしています。教室の気温は３５度にも達しています。これは、異常です。
生徒が可哀想でなりません。職員室にはクーラーが作動していますし、扇風機が３台もあります。太郎さんは月曜日５時間、火曜日４時間、水曜日４時間、木曜日３時間、金曜日３時間の授業があります。快適な生活空間で過ごしたい。 NO10：2003年8月31日（日）２９日の夜に、１２４回の解答を「ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ」さんから届いていました。ありがとうございます。 NO9：2003年8月27日（水）『火星は２７日午後６時５１分ごろ、約６万年ぶりに地球に最接近する。最も近い距離は約５５７６万キロで、月までの距離の約１５０倍。 NO8：2003年8月25日（月）何とこの暑さの中、とうとう始業の日になりました。いわゆる（２学期）の始まりです。一日勤務はつらいです。 NO7：2003年8月24日（日）２３日は毎年、村の地蔵祭りでして、当番にあたり、一日を費やしました。午後、大垣市内の電気店「エイデン」へいき、１６日から電子メールからの添付ファイルが開けないことを店員さんに伝えたところ、OutlookExpressのツールから、インターネットのオプションでセキリィテイを開いてやっと解除できました。皆さんに大変迷惑をおかけしました。これからもよろしくお願いします。 NO6：2003年8月22日（金）２１日２２日と第５３回全国高等学校PTA連合会兵庫大会に行って来ました。記念講演は兵庫県立人と自然の博物館名誉館長「河合雅雄」氏でした。また、昼食中のアトラクションは吹奏楽部（明石北高校）、チｱ・ガール（御影高校）、和太鼓（神戸西高校）、箏曲（北摂三田高校）があり、いずれも生き生きした高校生を目の当たり見てきました。 NO5：2003年8月20日（水）今日、帰宅後、１２４回の解答を「H７K」さんから届いていました。ありがとうございます。 NO4：2003年8月19日（火）皆様に協力を頂いて、添付ファイルのない方法で、解答を寄せられた「中川幸一」さん＜「中川さんは１２３回の応募もされておられます＞「Toru」さんともにありがとうございます。 NO3：2003年8月18日（月）大変なことになっている。電子メールの頂いた解答の中で添付ファイルが開かなくなってしました。過去のものまですべて。セキュリチィの強度を上げたのでもないのですが、ただ、Windows Update を１５日にあわててしたことは確かですが、この性でしょうか。皆さんに迷惑がかかってしまう。 NO2：2003年8月17日（日）昨夜、第123回の応募問題の NO1：2003年8月16日（土）昨日までの１２３回 <自宅＞
「自然数ｎを取り、これが奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。これを繰り返すと始めにどんなｎを選んでも、いつかは１→４→２→１を繰り返す」というのがコラッツ予想です。この予想は1970年に角谷（ｶｸﾀﾆ）静夫氏により日本に伝えられたという理由から「角谷予想」と呼ばれている。
例えばｎを20とすると、20→10→５→16→８→４→２→１となる。未解決なので、もしかすると反例があるかもしれないが。ｎが１〜50までぐらい検証してみてください。ｎが27のときは大変ですよ。
で、彼のコメントです。了解を得られれば、サイトをお知らせします。
『角谷 予想 ( Collatz Problem, Thwaites Conjecture 他 ) に ついては世界中の 多くの 人々が 関心を 抱いて いるようです。
私も、私なりの 理論で 解いて、 「証明」 を 試みました。
未だ これが 正解で あるとは、 誰も 認めて 下さいませんが、自分では、 これ以上の 解はないと 確信して います。
「証明」だけでは なく、「解説」の ページも 作って、 インターネット上で、 公開しました。
an+b Mapping に ついての すべての 謎を 解き明かした ので、未解明の 謎は、 残って いないと 思って います。』
以上です。拝見しましたが、丁寧に場合分けがなされています。詳しくは、了解後ご覧下さい。
また、「中尾」さんからも、「第１２６回数学的な応募問題（問題１）を一般化した問題を考えて、少し面白い結果が得られました」とメールが届きました。２６日以降にお知らせします。
さて、太郎さんは、土・日に米作の取り入れをしています。4月中旬から、３回ほど田を耕して、６月初旬に苗を植えます。次に、除草剤を蒔いて、水の管理をしながら、稲作の成長を待ちます。8月の上旬に穂肥え蒔きました。今年は8月中旬まで、天候不順で雨が多く冷夏と言われていましたが、その後晴天に恵まれて、順調に生育しました。
現在、コンバインで刈り取りをし、家で１２時間くらい乾燥し、もみすりをし、玄米にしています。これらの一連の流れが籾袋を扱うから、重労働です。今日で、ちょうど全体の半分収穫しました。
土・日曜日は晴天となり、稲穂の取り入れ作業をしました。農作業は疲れますけど。
１．「Ｔｏｒｕ」さん３０日１２時４５分に
２．「芋焼酎さん３０日１９時５５分に＜初めて方＞
３．「ｋａｓｍａ]３０日２２時４５分に
４．「まりも猫」さん３０日２３時５１分に＜初めて方＞ 以上です。
成績上位国 １位 ブルガリア(227) ２位 中国（満点１人）(221） ３位 アメリカ（188) ４位 ベトナム（満点２人）(172） ５位 ロシア(167) ６位 韓国(157） ７位 ルーマニア(143） ８位 トルコ(133) ９位 日本(131)と大健闘でした。また、10位 ハンガリー・イギリス（128)12位 カナダ・カザフスタン(119)でした。
さて、第126回の応募問題は
次に、第125回の応募問題「不定方程式」の解答を「中川幸一」さんからも28日に寄せられていました。早い時期に「解答」に掲載します。
さらに、第125回の応募問題「不定方程式」の出題者の「中尾」さんから次にような問題の解法が寄せられていました。これは、「解答」に載せておきました。ご覧下さい。
早く、ご覧下さる方は、次を見てください 。
＜中尾さんからの問題と解法＞ 9/28: 22時52分 受信 更新9/29
楕円曲線C:3*x^4-2*y^2=1の有理点を計算してみました。
楕円曲線Cは、以下の双有理変換により、楕円曲線E:v^2=u^3+3*uにQ-isomorphicとなります。
u=3*(x+1)^2/(3*x^2-2*y-1)
v=6*(x+1)(3*x^3-3*x*y-y+1)/(3*x^2-2*y+1)^2
x=(u^2-2*v-3)/(u^2-6*u+3)
y=(u^4+6*u^3-6*u^2*v+12*u*v-18*u-18*v-9)/(u^2-6*u+3)^2
楕円曲線Eのねじれ点群E_{tors}(Q)はZ/2Zで、生成元は(0,0)です。
E(Q)/E_{tors}(Q)のrankは１で、生成元は(1,-2)です。
楕円曲線Cの有理点(x,y)で、x,y>0なるものをいくつか計算すると、
[1, 1],
[3, 11],
[19/25, 13/625],
[449/167, 246121/27889],
[22689/21961, 530296679/482285521],
[3367187/3471863, 10962489040931/12053832690769],
[1530685763/451080529, 2865966685391834149/203473643642919841],
[1452093826017/1907347561775, 227402986796438787254063/3637974721409037441150625],
[5131770262974881/2106541832462927, 32100744059569082693820895834319/4437518491916266405538829407329],
....
となります。
＜水の流れのコメント＞ いつもいつも誠にありがとうございます。本当に、感謝しています。これからも よろしく お願いします。
また、明日から第126回の応募問題は「自然数解」の問題を出しておきます。よろしくお願いします。
さらに、第125回の応募問題「不定方程式」で皆さんから寄せられた「解答」を更新しました。
先日行われた第４４回国際数学オリンピック（ＩＭＯ）日本大会で、日本選手の成績は金メダル１個、銀メダル３個 銅メダル２個でした。
また、成績上位国 １位 ブルガリア ２位 中国（満点１人） ３位 アメリカ ４位 ベトナム（満点２人） ５位 ロシア ６位 韓国 ７位 ルーマニア ８位 トルコ ９位 日本と大健闘でした。
そこで、来年出場したいという意欲にある皆さんに、第126回の応募問題を作成しました。
『今回の出題のヒントになったのは、[3](p43, Lemma 4.6),[6],[7],[9]です。出題背景について説明します。
Pell方程式 x^2-3y^2=1 -------- (1)
は簡単に解けます。基本解は2+1*sqrt(3)であり、無数に解を持ちます。
そこで(1)の左辺を4次式に拡張することを考えます。
(1)に、x,yが共に平方数という条件を加えると、Thue方程式 x^4-3y^4=1 --------- (2)
となりますが、これは、自明な整数解(±1,0)しか持ちませんので、あまり面白くありません。
(1)にxが平方数という条件を加えると、 x^4-3y^2=1 --------- (3)
となり、Cohnの定理[9](P121, Lemma 1)より、(3)の正整数解(x,y)は、
x^2+y*sqrt(3)=2+sqrt(3)または(2+sqrt(3))^2
を満たさなければなりません。これはx,yが正整数であることに反するので、
(3)は自明な整数解(±1,0)しか持たないことが分かり、あまり面白くありません。
(1)にyが平方数という条件を加えると、 x^2-3y^4=1 --------- (4)
となり、自明でない整数解を持つことが簡単に分かります。
Siegelの定理から楕円曲線(4)の整数点は有限個であるので、
(4)の整数解も有限個であることが分かります。
[3]によると、W.Ljunggren(1936)によって、(4)の全ての整数解が求まっています。
よって、(4)の整数解を求めることが、興味深い問題となります。
また、Mordell-Weilの定理より、楕円曲線の有理点群は有限生成Abel群を成すので、
(4)の有理数解を求めることは、楕円曲線(4)の有理点群を調べることに帰着できます。
楕円曲線(4)をWeierstrass標準形に有理変換すると、整数点でない有理点が少なくとも１個あるので、
その有理点は位数無限の点であり、したがって(4)の有理点が無数にあることが簡単に分かります。
楕円曲線論の入門書としては、[4]がお勧めです。
参考文献
[1]Nigel P. Smart, "The Arithmetic Resolusion of Diophantine Equations",LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
[2]Henri Cohen, "A Course in Computational Algebraic Number Thoery", GTM138, Springer-Verlag New York Inc., 1996, ISBN-387-55640-0.
[3]Takaaki Kagawa, "Elliptic curves with everywhere goood reduction over real quadraric fields", March 1998, p1-60.
[4]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立 恒雄, 木田 雅成, 小松 啓一, 田谷 久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995,ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[5]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, ISBN0-387-96203-4.
[6]Michael A. Bennett, Gary Walsh, "The Diophantine Equation b^2X^4-dY^2=1", 1991, p1-10.
[7]Michael A. Bennett, Gary Walsh, "Simultaneous quadratic quations with few or no solutions", 1999, p1-10.
[8]J.H.E.Cohn, "The Diophantine Equation x^4+1=Dy^2",Math. of Comp, Vol.66(1997), No.219, p1347-1351.
[9]Gary Walsh, "A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equations x^2-kxy^2+y^4=1,4", Arch. Math. 73(1999), p119-125.
[10]I.Connell, "Elliptic Curve Handbook", Aug, 1997, p105-111.
[11]L.C.Washington, "Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography", Capman Hall/CRC, 2003, ISBN1-58488-365-0.』
＜水の流れ：御礼の言葉＞早速、丁寧な返事誠にありがとうございました。楕円曲線論入門書の[4]が参考になりそうです。
その中で、「kasama」さんや「UnderBird 」さんから応募がありました。本当にありがとうございます。また、「UnderBird 」さんからの次のようなコメントがありました。
『ところで、どのような流れで x^2-3y^4=1 という式が出てきたのか。その辺りに詳しい本やＨＰなどがあったら見てみたいです。』。出題者の「中尾」さんからの折り返しのコメントがあれば幸いです。
さて、先日妹のフランス旅行をしたときに、セーヌ河のほとりで撮影した
また、街角で見かけた道路標識に書いてあったイラク戦争反対の「落書き」です。
さて、先日妹のフランス旅行をしたときに、モンマルトルの丘で撮影した
『楕円曲線と楕円関数は密接な関係がありますが、別のものです。http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai2/kadai125.htmの出題文を訂正してください。
数学では、方程式の整数解という言い方はしますが、曲線の整数解という言葉は使わないので、曲線の整数点（または、簡単に整点）としてください。』
(誤)「楕円関数の整数解」の問題
(正)「楕円曲線の整数点」の問題
また、コメントにつきましても、下記のように訂正しました。
(訂正前)問題２, 問題４は少し難しいと思います。楕円曲線の面白さが少しでも分かっていただければ良しとしましょう。
(訂正後)問題２, 問題４は少し難しいと思います。楕円曲線の面白さが少しでも分かっていただければ良いと思います。
＜水の流れコメント：知識のなさを露呈した感じで、お許しください。これからもよろしくお願いします。＞
今夕、「ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ」さんから、第125回の応募問題「不定方程式」」の問題１・問題３の解答が寄せられました。感謝します。
さて、この８月に妹がフランス旅行をしたときに、撮影した「凱旋門」です。さらに、ルーブル美術館にある「モナリザ」です。
また、明日から第125回の応募問題は「不定方程式」」の問題を出しておきます。よろしくお願いします。これは「中尾」さんからの出題です。
さらに、第124回の応募問題「指数型母関数」で皆さんから寄せられた「解答」を更新しました。この時期添付ファイルが開けなくてご迷惑をおかけしていました。今はもう大丈夫です。
さて、「中尾」さんから、曲線の整数点の問題をもらいました。次回の応募問題に承諾が得られれば、そうしたいです。今までと同じように、パソコンを使わないと解がでてこないかも？
さて、９月９日に行われる文化祭で、職員が出品するコーナーがあります。太郎さんは、その作品を昨夜完成させました。皆さんも時間があれば容易にできます。では、準備するものと手順を書きます。
１．ベニヤ板を準備します。（大きさは１辺が５５ｃｍくらいの正方形。ちなみに、太郎さんの場合は横５１ｃｍ 縦７７ｃｍでした）
２．このベニヤ板にハトロン紙を水糊で貼ります。色は薄茶にしました。（後で糸をかけますから、背景になります）
３．釘６４本（長さ１６ｍｍ）を準備
４．ベニヤ板に正６４角形の頂点をみつけ、ここに釘を打ちます。（太郎さんは厚紙に半径２４ｃｍの４分の１の円を書き、これを４枚作りました。）
５．釘の横に番号を１から６４まで５間隔に鉛筆で記入しました。（完成後は消します）
６．釘に幾つかおきにとばして糸を掛けますが、６色の糸を準備（長さは、色によって、まちまちですが、一番長くて白糸ですが、３０ｍくらい
７．最初の糸はピンクで糸で奥から手前に向かって２９間隔でピント掛けます。（最初の模様ができます）
８．次々に、紺の糸で２３間隔、青の色で１７間隔、水色の糸で１１間隔、えんじ色の糸で２５間隔、最後に白糸で３１間隔に掛けます。
以上で、終わりですが、綺麗な模様になります。完成した作品を観て、太郎さんは感動しています。是非、生徒にも紹介し、完成させてあげたいです。いずれ、写真に撮ってお見せします。
なお、６４という数字に対して、糸の間隔ですが、幾つおきなら、すべて６４本の釘に糸を掛けることができるでしょうか。考えてください。また、模様は何であるかもね。
北海道や沖縄を除き、あいにく曇りか雨天の予報で、国立天文台（東京・三鷹）では「火星は１０月ぐらいまで明るいので、次に晴れた時に観測してほしい」と話している。
火星は午後８時半ごろ、南東の空に上がる。現在の明るさはマイナス２・９等星で、晴れた夜ならひときわ輝く赤い星が見えるはず。南の空を高さ約４０度で通過し、午前５時ごろ、西の空に沈む。
望遠鏡では、火星上部の極地に、二酸化炭素や水が凍った白い極冠が見える。上半分の黒い部分は玄武岩などの山岳地帯、下半分の赤茶けた部分は酸化した砂の大地だ。』
以上、（読売新聞）からの引用でした。
太郎さんの勤めている学校は、８月２５日から始めっています。午後は、３年生はセンター対策用の補習で、１，２年生は「文化祭の準備」に当たっています。まだまだ残暑が厳しいのですが・・・、それと、太郎さんが副担任であるクラスは、アニメ劇「美女と野獣」からでして、村人１の役で出演依頼がありました。始め、困っていましたが、素直に「ハイ」と返事をしました。
次に、思わぬところから、嬉しいメールが入っていました。２２日に観劇した歌劇「いのち美しくーあの日から１５年ー」宝塚北高校の上演者からです。
『私は２２日のPTA大会にて、「いのち美しく２００３」を上演させて頂いた者です☆みんな、ものすごく感動しました！！その興奮もサメヤラヌ時にここで感想を見る事が出来、ほんまに嬉しかったです！！！！！どうも、青山とも子（おかん）でした。』
＜コメント：こんなメールを受信できて、最高です。後ろの方でしたが、そのときのフイナーレの場面です。宝塚北高校の皆さん！震災の恐ろしさと家族の絆の原点を伝えてください。これからも多くの方に上演をお願いします。震災の日生まれた青山はるかさん、立派に生きてください。＞
さらに、歌劇「いのち美しくーあの日から１５年ー」宝塚北高校、西宮高校はあの阪神淡路大震災をモデルにした素晴らしいものでした。最高！。このミュジカルをみせて頂いだいただけで、参加して良かったとなりました。この歌劇を高校生にみせてあげたかった。震災の恐ろしさが分かり、震災の日生まれた子供が１５年経って成長し、そのときに亡くなった父親があるというストーリで、家族の絆への大切さを感じてきました。来年は、香川県が担当です。
また、帰宅後、「kasama」さんから、第１２４回の応募がありましたが、添付ファイルでして、開けないです。情けない。メールからの添付ファイルが開けるようなソフトをインストールしければならないかも。
また、太郎さんもメンバーに入っている岐阜シュタイナー教育実践研究会の
明日から２日間神戸に出張です。だから、更新できません。承知ください。
さて、今日は岐阜駅の近くにある病院へ午前中「人間ドック」に行って来ました。当日可能な限りの結果をすぐに知られてもらえます。とても親切で優しい対応でした。感謝します。体脂肪に比率が上限を超えていますし、悪球コレステロール値も同じく越えていました。お酒には気をつけなければ。
誰か、教えて欲しい。で、応募解答は数式が多いので、もしも、よろしければ、数式ソフトで入力後、学校の方へＦａｘで送ってもらう方法もありますけど。当方のトラブルですから、何とかしなければなりませんけど。緊急事態報告です。明日、太郎さんは、「人間ドック」にいってきます。２年に一度検査を受けています。年々、血液検査の数値は上限に達しつつあります。
午前中、悪戦苦闘しながら、第123回の応募問題「フィボナッチ数列」の皆さんから寄せられた「解答NO1」と「解答NO2」を更新しました。ご覧下さい。
また、１２４回の応募問題は、ここの「指数型母関数」を参考にしてください。
さて、夜になって、明日から第124回の応募問題は「指数型母関数」の問題を出しておきます。よろしくお願いします。
ＮＯ1〜ＮＯ58までは過去の日記
