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＜水の流れ＞　（私の一日NO55）

震え上がるような数の神秘を知るためにあなたは青春をかけてみないか！

Ｎ０28：2003年2月6日（木）帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「ニースケンス］さんから届いていました。ありがとうございます。解法は、幾何の利用でした。
　今日の新聞には、国公立大学２次試験の出願数がでていました。前期日程で平均５．４倍の倍率です。狭き門っていう感じです。合格という栄冠を勝ち取るため頑張ってください。
　　

Ｎ０27：2003年2月4日（火）帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「BossF（＾０＾）］さんと「Ｔｏｒｕ」から届いていました。ありがとうございます。
　で、「Ｔｏｒｕ」は（１）三角関数を使う場合（２）図形で考える場合（３）ベクトルを使う場合（４）複素数を使う場合の４通り示してありました。凄いですね。後は、何が使えそうかな。考えてみてください。
また、「BossF（＾０＾）］さんから、「カバリエリの原理の解答」で、次のように書いてありました。『中川さんの示された補題、わたしも示そうと思って(*)マークつけてたんですが示し忘れました”はみ出し削り論法”なるものを使えば、もっと簡単に示せますね・・・(^^;;』

Ｎ０26：2003年2月3日（月）帰宅後、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「ｕｄｏｎｋｏ］さんから届いていました。感謝します。皆さん、ご自分が解いた方法以外でもありますから、他の方法も考えてください。

Ｎ０25：2003年2月2日（日）早くも、第113回の応募問題「三角形の面積」の解答が「Ｈ７Ｋ］さん、「ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ」さん、「三角定規」さん、そして、初めての「ｈａｓｈｉ」さん,「ｉｇａ」さんから寄せられました。いつも感謝しています。実に解法は幾通りもありますよ。
　また、「数の単位」について、その後調べてたことを追加として載せておきました。ご覧ください。参考文献は「虚数の情緒」東海大学出版会（吉田　武著）です。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０25：2003年2月1日（土）第112回の応募問題で寄せられた「カバリエリの原理の解答」を更新しました。ご覧ください。
また、１日から応募します第113回の応募問題「三角形の面積」を更新しました。今回は、いろんな方法で求めることができます。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０24：2003年1月31日（金）帰宅後、第112回の応募問題「カバリエリの原理」の解答を「中川幸一」さんから寄せられていました。いつもありがとうございます。その中にあった補題です。
【補題(lemma)】円Ｃ:(x-a)²+(y-b)²=r² と円Ｃの内部の定点Ｐ(s,t)において, 点Ｐを通る直線ｌのうちｌとＣとで囲まれる部分のうち小さい方の面積をＳとする。
Ｓが最小となるためのｌの条件は, 円の中心点Ｏ(a,b)と点Ｐを結んだ直線に対して垂直な線である。
【補題(lemma)の証明】

円Ｃと直線ｌの交点をそれぞれ点Ａ, Ｂとする。また, ∠ＡＯＢ=θ (rad.), 劣弧ＡＢ=ａとおく。このとき, Ｓの面積が最小となるのと, 扇形ＯＡＢの面積が最小となるのは同値である。
(∵Ｓ=(1/2)r²θ-(1/2)r²sin θ=(1/2)r²(θ-sin θ)(dＳ/dθ)=1-cos θ　0≦θ≦π より 0≦(dＳ/dθ)≦2 となりＳは単調増加である。)
(扇形ＯＡＢの面積)=(1/2)r²θ=(1/2)ar　
よって, ａが最小となるようにｌを定めればよい。また, △ＯＡＢは二等辺三角形であるので, 点Ｏから辺ＡＢにおろした垂線との交点を点Ｈとすると, ＯＨの距離が大きいほど弦ＡＢは小さいのでＯＨ=ＯＰのとき弦ＡＢは最大となる。また, ＯＨ⊥ＡＢかつＡＨ=ＢＨより, ＡＢはＯＰと直交する。
よって題意は示された。』一般の場合を求めてありました。。感謝します。この後、応募問題の解答がしてありました。
　次に、先日「2003年日本数学オリンピック予選」を受験された「Ｈ７Ｋ」さんが、見事に。予選を合格され、来る2月11日に行われる本試験に臨まれます。予選通過おめでとう。
また、先日のの質問で、「decillionは１０＾３３をアメリカ・フランスは表し、イギリス・ドイツは１０＾６０を表します。」さらに、「nonillionは１０＾30をアメリカ・フランスは表し、イギリス・ドイツは１０＾54を表します。」これは、「虚数の情緒」（東海大学出版）「吉田　武　著」の166ページに書いてありました。ここには、billionは１０＾９をアメリカ・フランスは表し、イギリス・ドイツは１０＾１２を表し、
１０＾３ずつ増えていく「米仏系」と１０＾６ずつ増えていく「英独系」の２種類があると記載されています。

Ｎ０23：2003年1月30日（木）帰宅後、第112回の応募問題「カバリエリの原理」の解答を「BossF（＾０＾）」さんから寄せられていました。いつもありがとうございます。その中にあるコメントです。
『おそまきながら、あけまして、おめでとうございます。何かと多忙でご無沙汰してました。楕円の面積も積分を使わずに,すぐ求まりますね。（＾０＾）』また、『Ｓmax=8π　で、Tmax=6π　』と求めてありました。ここまで、設問すれば良かったです。

Ｎ０22：2003年1月29日（水）先日の「数の単位」について、本人から知らせがきました。
『いろいろＨＰを漁っていて、下記のような所がありました。「大きな数」です。その頁の下の部分に書いてある単位を、順にエクセルに書き込んでみたのですが、
やはり、３０／６０／９０に変化が起きているようです。つまり１０の３乗をひとつの区切りとして、ラテン語（？）１０種類が繰り返し使用されていると解釈しました。とは言ってもラテン語が判るわけでもありませんが、 septやoctの意味ぐらいは理解できます。今度大きな本屋で調べてみようと思います。』
　＜水の流れのコメント＞それで、きっと、イギリスやヨーロッパ方面と米国との間には言語の違いがあり、統一されていないのではないでしょうか。
帰宅後、第112回の応募問題「カバリエリの原理」の解答を「三角定規」さんから寄せられていました。いつもありがとうございます。その中にあるコメントです。
『第112回解答を送ります。解答の骨子はすぐできたのですが、もっと自由自在に図が描けないかと思いいろいろやっていて、時間がかかってしまいました。そのせいもあり、［問題２］の言い回しも制約を受けました。
一太郎ダメ、エクセルだめ、で、いまIllustrator9.0 と格闘しているのですが、使いこなせないでいます。挿入した図は、Weekend Math の方からいただいたものをエクセルで加工しました。画面上ではいいのですが、紙に印刷すると付け加えたものがずれてしまいます。』
　さて、今宵は外を眺めてみると、雪がコンコンと降り続いています。明日の朝までには何ｃｍの積雪になるか心配です。通勤に気苦労が絶えません。

Ｎ０21：2003年1月27日（月）昨日の質問ですが、「１０＾３０がdecillionでは無いでしょうか？」今日、本校に来ているＡＥＴに尋ねてみたところ、「decillionは１０＾３３　の読み方です」と返事がありました。したがって、「数の単位」に書いてあることに、間違いがないそうです。
「ただし、ヨーロッパでは、decillionは１０＾６０を呼んでいるそうです。」勿論、こんな大きな数は日常ほとんど取り扱っていませんが。

Ｎ０20：2003年1月26日（日）今週の後半は、私立と国立大学入試の特別時間割になり、昨年の入試問題を扱っています。予習に多くの時間がかかったり、木曜日には、センター試験の自己採点を結果をもらいにいきました。さらに、金曜日には「受験先検討会」を遅くまで持ちました。土曜日には、その結果を受けて、一部の保護者との進学相談を行いました。
　さて、先日、こんな質問受けました。これに関して、情報がありましたら、知らせてください。
『私は数学者ではありませんが、子供の興味から、「数の単位」を調べていて、こちらを見ました。
　そこで少し疑問に思ったのですが、decilion等の書かれている位置です。ミリオンを土台に考えると、（１０の３乗）の１０乗がdecだと思うのです。
１０＾３０がdecillionでは無いでしょうか？同様に、６０乗／９０乗に呼び名の変化があるはずと思います。ｖｉｇｉｎｔｉｌｌｉｏｎ、trigintillion　等
　また塵劫記に関しても、極以上で４乗ごとと８乗ごとにする解釈があります。その辺の諸説も書かれた方がおもしろいかと思います。』
午後から、第112回の応募問題「カバリエリの原理」の「応募者一覧」を作成していました。まだ、応募期間内ですから、よろしくお願いします。

Ｎ０19：2003年1月21日（火）第112回の応募問題「カバリエリの原理」の解答を「kashiwagi」さんから寄せられました。ありがとうございます。
　次のようなコメントがありました。お知らせします。
『お世話になります。今回の問題は直ぐにＹ＝ｍＸ＋ｎとの交点を２次方程式の2根の関係を使えば解けると思い始めたのですが、いやはや、アークsinやら何やらが出てきて収拾がとれなくなり、暫らく投げ出しておりました。
ところが、昨日出張先の帰途、新幹線の中でぱっと閃きました。帰宅早々確かめるとこれまでの迷いが何だったのと思えるほど論理的に整然と解けました。大数学者のポアンカレが書いていた本の内容を実感できた次第です。』

Ｎ０18：2003年1月20日（月）学校では、センター試験の自己採点で忙しい一日でした。「数学Ⅱ・Ｂ」と「地理」「世界史」が昨年に比べて難しく800点の平均が483点前後で、昨年比11点減になりそうです。
　さて、「三角定規」さんから、「佐藤栄介」さんの「ｔａｎのｎ倍角の解答」について、コメントが入っていました。
『「ｔａｎのｎ倍角」の解答Ｎｏ２、拝見しました。佐藤栄介さんの解、すごいですね。私の行列による解もなかなかのものだと自己満足していたのですが、スマートな解があるものです。
この解で、回転の行列と複素平面での回転がまったく同等であることを、再確認することができました。
ただ、あまりにスマートすぎて、一般の読者にはいくぶん説不足ではないか、と私には思えます。もう少し説明を補って下さったものは、Weekend math のコロキウム室に最適ではないでしょうか。』

Ｎ０18：2003年1月19日（日）昨日と今日行われたセンター試験ですが、昨年比較では、英語は「解きやすい問題で易しめ」、数学Ⅰ・Ａは「計算量が減少したが、、全体としてやや難しめ」、数学Ⅱ・Ｂは「第１問、第２問に時間がかかり、第３問、第４問の計算量が増えて、難しめ。第５問を選択した受験生は短時間で答えられる。」
　いずれにしても、次の大学別個別試験に向けて、気持ちを切り替えて頑張ってください。

Ｎ０17：2003年1月17日（金）先日、「2003年日本数学オリンピック予選」を受験された方は「H７K」さんです。受験のコメントが入りましたから、お知らせします。
『---私は緊張するとすぐにミスを犯す人なので，今年はあまり「通過する」ことにはこだわらないで受けた．
今までは「さあ，受かるぞ」的な雰囲気で受けていたのだが，ミスが頻発し、実際に予選を通ったのは去年だけであった．
しかし，緊張しないように努めても，やはり開始が近づくにつれ、緊張してしまうものである．
実際に，「-2*-3=4」というミスを犯したり，後で考えればわかったものを思いつかなかったりしてしまった．
現時点で、私が合っていると思われるのは6問，予選に合格するとしてもギリギリであろう．
まあ，これも「テスト」のうちに入ることには変わらない、受かったから「実力がある」と即断するのはどうかと思う．
「数オリ至上主義」に毒されないようにしないといけないし，部活の執行部という立場から，それを下に伝えなければならない....』
　また、次のようなメールも入っていました。『今まで投稿して正解者の蘭に『中川』とかかれている人と『中川幸一』は同一人物です。佐藤栄介君は初投稿ですが…。』記名方法が統一せず、ご迷惑をおかけしました。以後『中川幸一』さんとさせていただきます。

Ｎ０16：2003年1月16日（木）第112回の応募問題「カバリエリの原理」の問題文に間違いがありました。
ペンネーム　「Toru」さんから、次のようなご指摘を受けました。私の不注意です。多くの皆さんにご迷惑をおかけしました。お許しください。
『２）問題のながれから、おそらくB（√3,4/3）はミスプリントであろうと判断し、勝手ながら、B（√3, 3/4）として、計算しました。』全くその通りです。早速解答を寄せていただいた、「Ｈ７Ｋ」さん「スモークマン」さん並びに「Toru」さんにはお詫びします。これからのよろしくお願いします。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０15：2003年1月15日（水）昨日寄せられた「中川幸一」さんと「佐藤栄介」の「ｔａｎのｎ倍角の解答」を更新しました。ご覧ください。

Ｎ０14：2003年1月14日（火）帰宅後、多くのメールを受信しました。その中で、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「中川幸一」さんと「佐藤栄介」さんから寄せられました。ありがとうございました。
　また、一昨日１３日に行われた「2003年日本数学オリンピック予選」を受験された方から、問題文を送信して頂きました。感謝します。でも、「数オリ予選」の問題をそのまま原文を載せることは著作権法違反になりますから、承知ください。
受験コメントです。『ここ近年は問題が(相対的に)やさしかったようですが，今年は元に戻った(あるいはそれ以上に難しくなったか?)ようです．予選合格のボーダーは6問前後になるのでしょうかねえ．』問題数は１２問でして、時間は３時間です。
　次に、第111回の応募問題で寄せられた「ｔａｎのｎ倍角の解答」を更新しました。ご覧ください。尚、「中川幸一」さんと「佐藤栄介」の解答は明日にさせていただきます。承知ください。編集作業時間をください。
さらに、１６日から応募します第112回の応募問題「カバリエリの原理」を更新します。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０13：2003年1月13日（月）昨夜、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「udonko」さんから寄せられました。ありがとうございました。次のようなコメントがありました。
『はじめまして、udonkoと申します。いろいろとネットを見ていたら、ここにたどり着きました。最初はちょっとだけ考えてみようと思ったのですが・・・・非常に難しいですね。
どのようにメールで送れば良いのかわからないので、こんな解答で、ごめんなさい。（解答になってませんね～）；
　　　　　nC1*t-nC3*t^3+nC5*t＾5-nC7*t^7+・・・・・・　
tan(nθ)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_________＿＿＿
　　　　　　nC0-nC2*t^2+nC4*t^4-nC6*t^6+・・・・・・　　　　　になりました。
帰納法による証明も　nCk+nC(k+1)=(n+1)C(k+1) を使ってできると思います。（nCn*t^nの項が、分母にあるか分子にあるか、場合わけしないと・・・・・ちゃんとやっていなくてすいません）
2項定理の展開した形で、分母が偶数乗の項、分子が奇数乗の項に別れているのが美しいですね。（符号を無視していますが・・・）』
さて、昨日の質問の解答を載せておきます。

Ｎ０12：2003年1月12日（日）11日からの3連休中です。昨日、第111回の応募問題で寄せられた「解答者一覧」を整理していました。ご覧ください。
さて、今夜、次の質問を頂きました。誰か考えてください。
質問「突然失礼します。分からない問題があるのでよろしくお願いします。a＜２とする。曲線y＝｜xの２乗－（a＋１）ｘ＋a｜と直線y＝x－aとで囲まれる部分の面積Sを求めよ。」

Ｎ０11：2003年1月9日（木）帰宅後、嬉しいメールが入っていました。インターネトを上手に利用した卒業論文の例です。ナイストライアルって感じです。
『こんばんは。私のことを、覚えていらっしゃるでしょうか？以前に、オーストラリアの複式学級について質問をさせていただいた、者です。
おかげさまで、今日卒業論文を無事提出することができました。実は、この論文を仕上げられたのも太郎さんの情報あってのことなのです。
　卒業論文は、結局2万字のところを8万字書いてしまいほとんどを英語で書いたので、本当に教授泣かせでした…』
＜コメント：些細なことでもお役に立てて何よりです。卒論完成おめでとう。＞

Ｎ０10：2003年1月7日（火）岐阜県高等学校数学教育研究専門委員会で毎年活動し、発行している「岐阜の数学８号」の原稿である「２つの自然数が互いに素である確率」を作成しました。ご覧ください。
また、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「Ｔｏｒｕ」さんから寄せられました。ありがとうございました。帰納法の証明で入力する際、多くの時間が必要ではなかったかと思います。
「Ｔｏｒｕ」さんのコメント：「あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願いします。年明け早々なかなか面白い問題で楽しませて頂きありがとうございます。」嬉しいお言葉です。

Ｎ０9：2003年1月6日（月）今日で、冬休みも終わりです。明日から、18・19日に行われるセンター試験に向けて、受験生に直前授業が始まります。基礎・基本となる数学の公式と柔軟な考え方を時間内に使えるようにしておいてもらいたいです。　さて、午前中、今月の問題「2003年の問題」を解いて、送信しました。また、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「浜田」さんから寄せられました。ありがとうございました。帰納法の証明で入力する際、多くの時間が必要でしたから、この点申し訳なく思います。
次に、午後

「２つの自然数についての数学的帰納法」を新しく載せました。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０8：2003年1月5日（日）昨夜のうちに、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「H7K」さん（２回目はgifにして）「ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ」さん「三角定規」さんから寄せられました。ありがとうございました。いつも感謝しています。皆さん正解です。
「三角定規」のレポートの中にここんなコメントがありました。（一部抜粋）
『<感想>・泥くさい加法定理の計算から始まって，A4版の用紙で10枚ほどの計算をしました。どうやら・・・が出て来ているようだと気がついてからも，この行列にたどり着くまでに，行きつ戻りつしました。
この一太郎で数式を打ち込むのがえらく大変なため，上記は，そのエッセンスのみです。は………。・大学3年で，留数定理に感動して以来(？)の喜びを味わっております。』
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０7：2003年1月4日（土）岐阜県高等学校数学教育研究専門委員会で毎年活動し、発行している「岐阜の数学８号」の原稿である「源氏香と数学」を作成しました。ご覧ください。

Ｎ０6：2003年1月3日（金）昨夜、高校時代の同窓会の出席してきました。卒業後３５年の月日が経っています。みんなそれぞれに社会的に責任のある立場の人達でした。企業の社長・責任ある管理職、公務員、医者、会社員、自営業、塾経営者等です。
　さて、2003年の年頭にあたり、「数学という学問」という所感を書いておきました。　

Ｎ０6：2003年1月2日（木）午前中、８月、名古屋市で行われる数学全国大会の原稿を考えていました。その１つに

「ヘロンの公式」を書いていました。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０5：2003年1月1日（水）

新年あけましておめでとうございます。旧年中は大変お世話になりありがとうございます。今年も相変わらずご支援のほどお願い申し上げます。

早くも、第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」の解答を「H7K」さんから寄せられました。ありがとうございました。
　　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０4：2002年12月31日（火）大晦日にあたり、この１年間「数学的連続応募問題」に応募された多くの方にお礼を申し上げます。毎日の貴重な時間を使い解答をお送りくださいまして　、誠にありがとうございます。
　さて、2002年に第９０回から１１０回までの２１回行うことができました。これひとえに　皆さんからの温かい励ましの賜と感謝します。応募者を挙げておきます。
「Kashiwagi」さんが２１回、「H7K」さんが１４回、「ｽﾓｰｸﾏﾝ」さんとBossF(^o^)」さんが６回、「中川」さんと「浜田」さんが５回、　「三角定規」さん「遊楽街」さん「toru」さん「jun」さんが３回、「ベクトル　ハラ」さん「Ｉｇａ」さん「Sin」さん「やぎ」さん「VILL」さんが２回、
「A．O」さん「15KARTSOUL」さん「ch3cooh」さん「M.Mule」さん「こざっば」さん「teki」さん「kiyo」さん「ﾆｰｽｹﾝｽ」さんがそれぞれ１回です。全部で２３人でした。なお、１回の応募問題で１回の応募と数えました。
皆様　良いお年をお迎えください。では、元旦から応募します第111回の応募問題「ｔａｎのｎ倍角」を更新します。いつもように多くの方からのご応募をお待ちしています。
　　　　　　　　　　　　　

Ｎ０3：2002年12月30日（月）午前中、新年を迎える準備として、「鏡餅」を石の臼と杵で、家族総出で餅をついたり、、玄関には、しめ縄を飾り付けし、ちょっぴり正月気分にひたりました。
午後、　第110回の応募問題「条件つき自然数」の解答を「中川」さんから寄せられました。ありがとうございました。
そして、第110回の応募問題で寄せられた「条件つき自然数」の解答を更新しました。ご覧ください。
　明日の夜に、第111回の応募問題「tan のｎ倍角」を更新しようと考えています。今後とも、よろしくお願いします。

Ｎ０2：2002年12月28日（土）午前中に、　第1110回の応募問題「条件つき自然数」の解答を「ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ」さんから２回目が寄せられました。ありがとうございました。
　この中で、『本朝重たい頭に鞭打って取り掛かりましたが、アイデアは湧いて参りません。ところが、ちょっとコーヒーを入れに動いた瞬間に思い浮かびました。そうですね、受験生が少ない時間で解くのですから・・・・。正に、少々条件を整理した順列で解けば良いのですね。後は一気呵成にできました。』
太郎さんは、「そうです。数学ってのは、題意をしっかりと頭に入れておけば　どこでも　紙と鉛筆で可能なんです。ベットに入り寝るとき、朝方　目が覚めるとき、　お風呂に入っているとき　よく　解答に結びつく考えが浮かんできたことがあります。」皆さんは、どうですか。

Ｎ０1：2002年12月27日（金）昨日、数学教育専門委員会に出席してきました。委員の一人が岐阜新聞12月16日（月）の「編集余記」というトップページのコラムに研究成果が書いてありました。驚きです。この委員は過去にも幾度か、研究されている業績が掲載されています。
「古墳時代の数学」です。　このＨＰをご覧ください。成果の一端が分かります。
　さて、昨夜、委員会の原稿を修正しようと、数学編集ソフト「スタディエイド」を使用しようとしたら、困ったことに、立ち上がってこないのです。最初、再びＣＤーＲＯＭからインソールを試みたのですが、無理でした。今日、電話で製造元に連絡し、アクシデントの内容を説明したところ、セーフモードにして、あるフャイルを削除すれば、可能だと言われた。帰宅後、ＰＣを前にしてトライするも、セーフモードにならない。で、困って　友人に電話をし、通話をしながら、セーフモード画面になることができました。
　で、その方法とは、電源を入れてすぐに「Ｃｔｒｌ］キーを押しつづけるのです。または、「Ｆ８」キーを同じく押しつづけるのです。どちらかでなります。画面が白っぽく小さくなります。で、試行錯誤して、指示されたファイルを削除することができました。再起動をして、正常に動くことを確かめました。「ほっとしました」。もし、日本にいないときだったら、どうなったことでしょう。製造元は１月６日からの、営業なんです。。感謝します。ありがとう。アメリカ帰りの友人様。

Ｎ０54：過去の「私の１日Ｎｏ54」平成14年11月11日～平成14年12月27日のはここをクリック下さい。
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