＜水の流れ＞　（私の一日NO11）

Ｎ０18：2000年３月１０日(金）起きてみると、屋根や道路に雪が積もっています。路面は凍結していて、大変滑りやすくなっていました。スリップ事故のないように気をつけて運転して出勤しました。この日は中学校の卒業式です。寒い中の式典でした。
　さて、帰宅後、メールを開いてみると、「ch3cooh」さんから、特殊な三角形の整数日が一般の形で求めてありました。太郎さんはこの解を覚えておこうと思っています。それは、試験問題の作問に多いに利用できるからです。「ch3cooh」さんに改めて感謝の気持ちを持ちました。「ありがとうございます。」　　美しい話の１７話「特殊な三角形」の中に、更新しました。ご覧ください。
で、結果はこうです。任意の整数 X,Yを用意した上で、A= X^2+2XY-3Y^2，B= 4XY，C= X^2+3Y^2　とすると、好きなだけ交わる角度が60°の三角形が得られます。
　また、A= X^2-2XY-3Y^2，B= 4XY，C= X^2+3Y^2　とすると、120°になります。
昨日の際に、次のように推測したのですが、「さらに、このことは、Ｍ（ｔ）＝�煤iｋ＝０・・・∞）h(ｋ)・ｔ＾ｋ／ｋ！　となる予定です。これが無限級数の和の発展になっていたのです。でも、自信がないです。h(ｋ)・ｔ＾ｋ／ｋ！の係数がh(ｋ)になっているか確かめていません。」
そこで、実際に計算をすれば良いのですが、Ｍ（ｔ）＝�煤iｋ＝０・・・∞）h(ｋ)・ｔ＾ｋ／ｋ！　の係数ですけど、とりあえず、h(ｋ)とせずに、一般に、ｇ(ｋ)にしておいてください。ｇ(ｋ)はどうも、第２種スターリング数であるかもしれないのです。誰か、確かめてくだされば、幸いです。

Ｎ０17：2000年３月９日(木）午後、勤務先でにある「コロキウム室」の無限級数の和（１２）の投稿を読んで、大変興味が湧いてきました。実は”あの第２種スターリング数”の一般項を見つけるもう１つの方法が、指数型母関数（積率母関数）の登場なのです。そして、ｋ次の中心積率（モーメント）を定義します。この値をＨ（ｋ）とします。さらに、特別な原点のまわりのｋ次の積率を出し、この値をh(ｋ)とします。
すると、h(１)＝期待値Ｅ（Ｘ）＝１、Ｈ(２)＝分散Ｖ（Ｘ）＝１となります。そして、h(ｋ)が何とビル指数となっています。指数型母関数（積率母関数）の定義から導けます。ここで、確率変数Ｘの指数型母関数（積率母関数）とは、Ｍ（ｔ）＝関数ｅ＾ｔｘの期待値が−ｈ＜ｔ＜ｈ（ｈは正の定数）を満たす原点近傍のすべての実数ｔに対して存在するとき、Ｍ（ｔ）＝Ｅ［ｅ＾ｔｘ］（平均）を言います。以上は、「新数学辞典」（大阪書籍）から答えています。さらに、このことは、Ｍ（ｔ）＝�煤iｋ＝０・・・∞）h(ｋ)・ｔ＾ｋ／ｋ！　となる予定です。これが無限級数の和の発展になっていたのです。でも、自信がないです。h(ｋ)・ｔ＾ｋ／ｋ！の係数がh(ｋ)になっているか確かめていません。これも勉強します。
　今朝、積雪５ｃｍ程度で、今宵も雪が降っています。午後、この示唆をくださったとき、当然太郎さんの胸に熱いもの湧いてきたのは当然でした。頭の片隅にはこのｋ次のモーメントの言葉がかすかに残っていました。心のゆとりが欲しい！
　

Ｎ０15：2000年３月７日(火）昨日の「特殊な三角形」の整数の比が分かりました。「清川(kiyo)」さんから寄せられました。いつも、感謝しています。美しい話の１７話「特殊な三角形」として、更新しました。ご覧ください。
　また、岡崎の方から、「Ｘの２次方程式の判別式 Ｄとは何の故となのでしょうか。」というメールをもらいましたので、２次方程式の解を分類する記号で一般に「判別式」と答えておきました。勿論、もっと詳しく説明を付け加えてありますが。ここ数年、この 「判別式Ｄ」を教科書から、削除してありますけど。相変わらず。参考書には書いてありまして。統一していません。教える側はつい、昔習ったことを言ってしまいがちです。太郎さんも使って教えていますけど。
次の問題に対して、読者の皆さんからの解答をお待ちしています。
　 　皆さんは、ｎの階乗はｎ！＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・３×２×１ということをご存じです。では、ｘの階乗関数はｘ^[k]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)・・・(ｘ−ｋ＋１)と表される関数をいいます。例えば、ｘ^［１］＝ｘ，ｘ^［２]＝ｘ(ｘ−１)，ｘ^［３]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)です。ここで、問題です。ｘ＾２＝S(2,1)ｘ^［１］＋S(2,2)ｘ^［２] となる係数S(2,1)、S(2,2)を求めてください。さらに、ｘ＾３＝S(3,1)ｘ^［１］＋S(3,2)ｘ^［２]＋S(3,3)ｘ^［３]となる係数S(3,1)、S(3,2)、S(3,3)を求めてください。
そして、一般に、ｘ＾ｎ＝S(ｎ,1)ｘ^［１］＋S(ｎ,2)ｘ^［２]＋S(ｎ,3)ｘ^［３]＋・・・＋S(ｎ,ｎ)ｘ^［ｎ]となる係数S(ｎ,1)、S(ｎ,2)、S(ｎ,3)、・・・、S(ｎ,ｎ)を連続組立て除法で求めてください。ちょっとした発見ができますよ。

Ｎ０13：2000年３月５日(日）午前中、[Mathematica]を触っていました。やっとも思いで、第４７回の応募問題の「無限積」を作成しました。今後ともご応募ほどよろしくお願いします。ヒント：log(1+x)を級数展開してみましょう。
これで、良いと思ってＷｅｂ上でみたら、何と画像がうまく映っていないのではありませんか。午後２時になっています。ここで、どうしても外出の用事を済ませねばなりませんでしたので、帰宅後早速修正しました。ワード９７で再挑戦して、今更新しました。「Mathematica」の部分は手で入力しました。「Mathematica」の臨場感がなくなったことをお許しください。勿論、gifでの画像張り付けは可能ですが。それだけの、エネルギーがもう残っていません。以上がことの成り行きです。
一部の読者の皆さんに、多大なご迷惑をかけてすみませんでした。今後とも、よろしくお願いします。
　いずれ、第２種スターリング数の一般項についてはレポートを考えています。でも、時間がとれない。午後５時記入

Ｎ０10：2000年３月２日(木）岐阜県出身で、プロ野球西武ライオンズの元監督森祇晶さんの言葉を紹介します。「自分を大切にするからこそ、同じように考えている他人を大切にできる。他人を大切にできない人間は自分も大切にできないことが多い。自分のために真剣に悩むからこそ、他人の悩みもわかる。自分を表現するために仕事をするからこそ、同じように表現しようとしている他人とチームプレイができる。」皆さん！味わいのある言葉です。
今日、１年生の生徒が「私ホームページを持っているよ。毎日更新しているから」と言います。サーバーはYAHOOジオシティーズアニメ部門で登録してあります。でも、ＵＲＬは教えてもらえませんでした。

Ｎ０9：2000年３月１日(水）勤務先にいるＡＥＴ（ニュージーランド出身）の　Ｍrs．Shirleyanne　Gardiner(シャリアン・ガデナー）の「ホームページ」です。国際化に向けて見て下さい。
　今日は、幸い晴天に恵まれた本校の第17回の卒業式です。学校長は餞の言葉の中に、か・き・く・け・こ精神の話があったので紹介します。「か＝何事にも感動を感じよう、き＝何事にも興味を持とう、く＝何事にも工夫をしょう、け＝いつまでも健康でいよう、こ＝何事にも恋をしょう。」とね。（この話は太郎さんは平成10年の早い時期に、朝の通勤途中のラジオで、タレントの沢口靖子さんが、リスナーにむけて話されていた。）他には、プロバスケットのＮＢＡでレイカーズのジャクソン監督の話もありました。「チームがばらばらだったとき、自分を捨てて、チームのために尽くそう。すると、今までのいろいろな個性溢れるプレイヤーが見事のまとまって、優勝できたのです。これは、自分のことばかり考えていては、うまくいかないのです。常に周りの人に対する気配りや思いやりがないといけない」とね。卒業生の皆さん！心の中に覚えておいてください。
午後、にある「コロキウム室」の「三角の問題」の発展（２）の中にある”Arctan x をiを用いてlogで表すことができたり、副産物として、オイラーの複素数表示の公式を導きました。このレポートを書きました。
　皆さんは、ｎの階乗はｎ！＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)・・・３×２×１ということをご存じです。では、ｘの階乗関数はｘ^[k]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)・・・(ｘ−ｋ＋１)と表される関数をいいます。例えば、ｘ^［１］＝ｘ，ｘ^［２]＝ｘ(ｘ−１)，ｘ^［３]＝ｘ(ｘ−１)(ｘ−２)です。ここで、問題です。ｘ＾２＝S(2,1)ｘ^［１］＋S(2,2)ｘ^［２] となる係数S(2,1)、S(2,2)を求めてください。さらに、ｘ＾３＝S(3,1)ｘ^［１］＋S(3,2)ｘ^［２]＋S(3,3)ｘ^［３]となる係数S(3,1)、S(3,2)、S(3,3)を求めてください。
そして、一般に、ｘ＾ｎ＝S(ｎ,1)ｘ^［１］＋S(ｎ,2)ｘ^［２]＋S(ｎ,3)ｘ^［３]＋・・・＋S(ｎ,ｎ)ｘ^［ｎ]となる係数S(ｎ,1)、S(ｎ,2)、S(ｎ,3)、・・・、S(ｎ,ｎ)を連続組立て除法で求めてください。ちょっとした発見ができますよ。

Ｎ０8：2000年２月29日(火）昨日の画像がなぜトリボナッチ数列の一般項か説明します。数列で隣接４項間の漸化式において、特性方程式はｘ＾３＝ｘ＾２＋ｘ＋１です。まず、この３次方程式の解がａ，ｂ，ｃとおいて実際に表しています。次に、このトリボナッチ数列の一般項Ｔ（ｎ）は、Ｔ（ｎ）＝Ｘａ＾(n-1)＋Ｙｂ＾(n-1)＋Ｚｃ＾(n-1)で一般に表されますから（証明は略）、この係数Ｘ、Ｙ、Ｚを知りたいのです。ここで、初期条件Ｔ（１）＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１，Ｔ（２）＝Ｘａ＋Ｙｂ＋Ｚｃ＝２，Ｔ（３）＝Ｘａ＾２＋Ｙｂ＾２＋Ｚｃ＾２＝４の３元方程式を作って、解いてみましたら、大変複雑な複素数ですが、でています。したがって、これが知りたかった結果です。
　平成10年５月頃に金沢市の青木先生の「数学の部屋」で出会ってから、この一般項は手でどれだけ計算したか、しれません。まず、特性方程式の解を見つけるのに一苦労しましたし、そのために、カルタゴの３次方程式の解の公式を勉強しました。やっと、実現できたと思っています。有名なピーター・フランクルもこの結果を見たことないとある本に書いてあります。当然でしょう。あまりにも、複雑な複素数ですからね。
さて、昨夜のＨＰの更新後、にある「コロキウム室」の「三角の問題」の発展（２）に興味を持ち始めました。一様Arctan x をiを用いてlogで表すことができました。副産物にオイラーの複素数表示の公式をでてきました。いずれレポートを書きたいです。とにかく、太郎さんには時間が足りないのです。
帰宅後、第４６回の応募問題「無限級数の和」の中にでてくる第２種スターリング数とベル数について、「清川（kiyo)」さんからの報告がありました。本当に「清川（kiyo)」さんには、感謝しています。ご覧ください。

Ｎ０7：2000年２月28日(月）昨夜，「清川(kiyo)」（27日23時02分）さんと　明け方 「sambaGREEN」（28日４時19分）から、第２種スターリング数についての報告がありました。第４６回の応募問題「無限級数の和」の解答をご覧ください。
　また、勤務先で、トリボナッチ数列の一般項を数式ソフト「Mathematica」で求めました。とりあえず、載せておきます。これが、どうしてかということは、後日解説します。ちなみに、トリボナッチ数列Ｔ（ｎ）とは、Ｔ（１）＝１，Ｔ（２）＝２，Ｔ（３）＝４で、漸化式：Ｔ（ｎ＋３）＝Ｔ（ｎ＋２）＋Ｔ（ｎ＋１）＋Ｔ（ｎ）を満たす数列を言います。フィボナッチ数列と同じような関係にあります。　

Ｎ０5：2000年２月25日(金）昼間、「視察日誌」NO37で、ピナクルズへの４WDでのオプショナルツアーを載せました。ここで、勤務先にいるＡＥＴ（ニュージーランド出身）の　Ｍrs．Shirleyanne　Gardiner(シャリアン・ガデナー）　さんから、お国の菓子で、バニラアイスクリームの上に乗せて食べると「おいしい」と言って、Hokey Pokey(ホーキー・ポーキー）をもらいました。食べてみると、大変甘いお菓子で、誰かが「昔のカルメラのようだ」と言っていました。
昨日の発見できた数の配列は、第２種スターリング数といいます。この考えはすでに、第１９回の応募問題［本棚の問題ＮＯ２］「問題５，問題Ｅ」と同じになっています。これからの皆さんの報告を待ちます。
ここで、太郎さんは明日から、１泊２日で町内旅行をしてきます。富山県の日本海側にある＜小川温泉＞です。日頃の疲れを癒してきます。したがって、ホームページの更新はできないことを、予めお知らせします。ご承知ください。

Ｎ０4：2000年２月24日(木）昼間、「視察日誌」NO36のオーストラリアでのレセプションを載せました。最近、スキャナーで写真を取り込むことを覚えましたので、海外研修中の写真を載せておきました。
帰宅後、確率の本を見ていたら、偶然にも、第４６回の応募問題「無限級数の和」のＮＯ４＜水の流れ：解説＞の中にあるＪ／Ｍの表を見て下さい。この配列に秘められた美しさを発見しました。
原典の問題は「ｎ個の異なる要素を持つ集合を空でないｋ個の部分集合に分ける方法は何通りありますか」皆さん！考えて表にしてください。

Ｎ０3：2000年２月23日(水）昼間、昨日の数列を表にする作業をし、帰宅後、第４６回の応募問題「無限級数の和」の「課題研究の報告」を、「ch3cooh」さんから10時50分に、「清川（kiyoa)」さんから17時02分に寄せられていました。それぞれアップしておきました。

Ｎ０２：2000年２月22日(火）昨夜、第４６回の応募問題の「無限級数の和」の分子の次数を上げた発展研究の成果を「ｊｕｎ」さんから、21日の22時54分に寄せられました。いつものように「リンクで解答２」でご覧ください。このときのコメントです。「３次、４次とやってみました。分子を３次式にすると15e、４次式にすると52eとなりますね？」
　 太郎さんは、早速、例の「Mathematica」で分子の次数を上げていきました。１４次まで上げましたが、１０次までの分を載せます。この数字の列は何かを訴えていそうですが、分かりません。賢明な読者の皆さん！教えてください。

Ｎ０１：2000年２月21日(月）第４６回の応募問題「無限級数の和」の解答を「ｊｕｎ」さんから、20日の21時18分にいつものように「リンクで解答１」で寄せられました。答の５eになるまでの過程が鮮やかに導かれています。「久しぶりに数学をした感じ・・・。」と感想が入っていました。読者の皆さんへ：もちろん、他の方法でも解けますから、チャレンジください。ヒントのｅ＾ｘの無限級数展開は使ってください。
　　 次に、「視察日誌」NO35の２日目の学校訪問の２校目を載せました。最近、スキャナーで写真を取り込むことを覚えましたので、海外研修中の写真を載せておきました。

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