Ｎ０14：2000年12月2日（土）1640年、フェルマーは友人のメルセンヌ（1588〜1648）に手紙の中で、ｎ＝４を証明しています。（多少、不備があるようでした。）この証明方法が、彼が編み出した「無限降下法」を使っています。では、紹介します。
『以後引用』フェルマーはｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^４に自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）がないことを証明するために、まず、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２を考察した。「ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２に、自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）がある」と仮定し、次ぎに「平方数が互いに素な２数の和で表されるとき、その２数はともに平方数である」という命題を利用した。
これによって（ｘ、ｙ、ｚ）より小さな自然数（ｘ_２、ｙ_２、ｚ_２）の存在がわかる（ｚ_１＞ｚ_２）。この繰り返しによって、ｚ_１＞ｚ_２＞ｚ_３＞ｚ_４・・・と、いつまでも自然数の列が続くことになるが、それはあり得ない。
よって、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２は解を待たず、ｘ^４＋ｙ^４＝（ｚ^２）^２、すなわち、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^４も解を持たないことが分かる。フェルマーが得意とした無限降下法を使った証明である。
　フェルマーが残したのは指数が４の証明だけだが、これを拡張していくことで、指数が４の倍数の場合はすべて証明される。また、合成数は必ず素数の倍数だから、その元となっている素数が指数である場合を証明すれば、合成数が指数の場合の「フェルマーの最終定理」は自動的に証明されるわけです。
そこで残るのが、３，５，７，１１，１３，・・・、といった奇素数の場合だけである。最初の奇素数３については、オイラーが1753年にゴールドバッハに宛てた書簡の中で述べている。ただし、証明が発表されたのは、1770年にオイラーが「代数学」を刊行したときである。
『引用終わり』では、明日、ｎ＝３の証明を段階をおって紹介します。

Ｎ０13：2000年12月1日（金）今日から、１２月で師走に入ります。２０世紀も後３０日になりました。ミレニアムという言葉もあまり新鮮みがなくなりつつあります。
　３日の日曜日に、「情報教育セミナーin名古屋＆第３２回東海スクールネット研究会例会」が愛知淑徳大学（星ヶ丘キャンパス）記念会堂大講義室で１０時より行われます。太郎さんは、この研究会に出席する予定です。情報教育に役に立つようなことを聴いて来ようと思っています。

Ｎ０12：2000年11月30日（木）今夜、「清川（kiyo」さんから、フェルマーが書き込んだ「直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるための条件」について再度報告がありました。
【 いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。 別に角度から、プログラムを組んでみました。フェルマーは一般解を求めているのでしょうか。
前回のプログラムと今回のをうまく組み合わせると一般解に辿りつけそうな気がします。今後とも宜しくお願いします。
REM M1,N1は直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるための条件
FOR N=1 TO 3000
LET S=INT((4+SQR(8))*N)+1
FOR M=S TO 20000
LET M1=M*M-4*M*N+8*N*N
LET N1=4*M*N
LET C=M1*M1+N1*N1
LET C1=SQR(C)
LET C2=INT(C1)
LET C3=C1-C2
IF C3=0 THEN
LET A=M1*M1-N1*N1
LET B=2*M1*N1
PRINT "M =";M;"N =";N
PRINT "A =";A
PRINT "B =";B
PRINT "C =";C
PRINT "C の平方根 = ";C1
PRINT "A+Bの平方根 =";SQR(A+B)
PRINT
　 END IF
NEXT M
NEXT N
END

M = 4368 N = 113
A = 292191105776704
B = 67945746785280
C = 299987111058496
C の平方根 = 17320136
A+Bの平方根 = 18977272

M = 8736 N = 226
A = 4675057692427264
B = 1087131948564480
C = 4799793776935936
C の平方根 = 69280544
A+Bの平方根 = 75909088

M = 13104 N = 339
A = 23667479567913024
B = 5503605489607680
C = 24298955995738176
C の平方根 = 155881224
A+Bの平方根 = 170795448
M = 17472 N = 452
A = 74800923078836224
B = 17394111177031680
C = 76796700430974976
C の平方根 = 277122176
A+Bの平方根 = 303636352】
<水の流れ＞今、持っている文献には、最小の組しか書いていませんので、多分一般解は知らないと思われます。

Ｎ０11：2000年11月29日（水）今朝、【初めてメールを送ります。数学の問題で、どうしても納得がいかないものがあるので、教えていただければ幸いです。
ｘのｘ乗が４のとき、ｘ＝２になりますが、どうしてですか？
ｘ＝２のときｘのｘ乗が４になることは代入すればいいので分かるのですが（十分条件）。】 上のようなメールが届いていました。早速、ｙ＝ｘ^ｘのグラフを書いてみました。やはり、ｙ＝４との交点はｘ＝２しかありません。それで良いと思います。ご参考までに。

　さて、古代から数学者が興味を最も惹いてきたのが、素数です。しかし、数学者の執拗な挑戦にも関わらず、新しい素数を次々に生み出すような式は未だに発見されていません。フェルマー数が発表した、「（２^２）^ｎ＋１」はｎ＝５で破綻しました。
一方、オイラー（1707〜1783）が見つけた　Ｐ＝ｎ^２＋ｎ＋４１　のｎ＝０から順に整数を代入すると、41、43、47、53、61、・・・と、ｎ＝39までは素数です。しかし、ｎ＝40はＰ＝168（４１^２）となり合成数になります。

Ｎ０10：2000年11月28日（火）まだまだある有名な未解決問題を書きます。１つは、ゴールドバッハ（プロシア：1690〜1764）の予想です。「２を除いたすべての偶数は、２個の素数の和として表せる」というのがそうです。この予想はゴールドバッハが1742年、オイラー宛ての書簡に書いたものです。
「フェルマーの最終定理」同様、問題の意味するところは非常に分かりやすいため、多くの人々が挑戦したが、未だに解決していません。
新たなミレニアム（千年）の数学を祝福するためにクレイ数学研究所は７つのミレニアム懸賞問題を提出しました。
７つの問題は次のものです。１．Ｐ＝ＮＰ問題。２．ホッジ予想。３．ポアンカレ予想。４．リーマン予想。５．ヤンーミルズ理論とｍａｓｓ　ｇａｐ。６．ナヴィエーストークス方程式とｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ。７．バーチとスウインナートンーダイアーの予想。
　実は、この中に、「ゴールドバッハの予想」がありません。ところが、「Uncle Petror and Goldbach's Cesjecture」を出版したDoxladisが、、ゴールドバッハ予想について百万ドルの賞金をかけたことが話題になっています。、ゴールドバッハの予想の賞金を得るためには、発表された論文をアメリカのBloomsbury　Ｐublishing Co の出版社へ2002年3月までに提出しなければなりません。
同じ内容の記事は、9月13日の「私に1日」にも書いてあります。是非、挑戦してもらいたいのです。これが、太郎さんの願いです。
さて、帰宅後、フェルマーが愛読したバシェ版の『算術』（ラテン語に翻訳）には、200題弱の不定方程式の問題が集められている。フェルマーはこれに４８もの書き込みをしている。例えば、直角三角形で２辺の和と斜辺のいずれもが平方数になるもので、最小のものもフェルマーは残している。
　それは、４５６５４８６０２７７６１，１０６１６５２２９３５２０，４６８７２９８６１０２８９　の３数であるとね。誰かパソコンでフェルマーに成り代わって、検証してください。と11月１５日に書きましたが、「清川（kiyo）」さんから報告がありました。
【いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。 十進ベーシックでプログラムを組んで検索しました。コピー＆ペーストで実行出来ると思います。一番小さいことが確認出来ました。二番目も確認できました。検索範囲を広げればまだまだありそうです。理論的には無数にあるのでしょうか？。今後とも宜しくお願いします。
REM M,Nはピタゴラス数
LET Z=0
FOR N=1 TO 1000
FOR M=N+1 TO 5000
LET Y=M*N
IF MOD( Y , 12) =0 THEN
LET P1=MOD( N , 2 )
LET P2=MOD( M , 2 )
LET P3=P1+P2
IF P3=1 THEN
LET M1=M*M+N*N
LET M2=M*M-N*N
LET M3=2*M*N
IF M2*M2+M3*M3=M1*M1 THEN
LET C=M2*M2+M3*M3
LET A=ABS(M2*M2-M3*M3)
LET B=2*M2*M3
LET X=A+B
LET X1=SQR(X)
LET X2=INT(X1)
LET X3=X1-X2
IF X3=0 THEN
LET Z=Z+1
PRINT Z;"番"
PRINT "M =";M2;" N =";M3
PRINT "A =";A
PRINT "B =";B
PRINT "C =";C
PRINT "Cの平方根 =";M1
PRINT "A+Bの平方根 =";X1
PRINT
END IF
END IF
END IF
END IF
NEXT M
NEXT N
END
1 番
M = 2150905 N = 246792
A = 4565486027761
B = 1061652293520
C = 4687298610289
Cの平方根 = 2165017
A+Bの平方根 = 2372159
2 番
M = 19358145 N = 2221128
A = 369804368248641
B = 85993835775120
C = 379671187433409
Cの平方根 = 19485153
A+Bの平方根 = 21349431
＜２回目の報告です＞
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。十進ベーシックの１０００桁モードで検索の範囲を広げてみました。３番目が見つかりました。
3 番
M = 53772625 N = 6169800
A = 2853428767350625
B = 663532683450000
C = 2929561631430625
Cの平方根 = 54125425
A+Bの平方根 = 59303975 】
太郎さんは、当時フェルマーがこんな凄い計算をしていたとは驚きですし、現代のコンピュータにもおなじように驚嘆の気持ちをもちます。清川（kiyo）さん、本当にありがとうございます。
　また、今日初めて、掲示板に書き込みがありました。ありがとう。これからも、よろしくお願いします。

Ｎ０9：2000年11月27日（月）有名な「フェルマーの最終定理」は「自然数ｎ≧３対して、ｘ^ｎ＋ｙ^ｎ＝ｚ^ｎを満たす自然数ｘ、ｙ、ｚは存在しない。」です。フェルマーが1630年頃、バシェ版のディオファントス『算術』の第２巻、第８問に「このことの真に驚くべき証明を私は得たが、それを書くには、この余白はあまりにも狭すぎる。」と書き込んでいます。
　ところが、1640年、フェルマーは友人のメルセンヌ（1588〜1648）に手紙の中で、ｎ＝４を証明しています。（多少、不備があるようでした。）この証明方法が、彼が編み出した「無限降下法」を使っています。ここで、今日は「無限降下法」を紹介します。
「無限降下法」とは背理法の一種です。『�T』成り立つ数ｎ＝ａがあると仮定する（ａは自然数）。 『�U』ｎ＝ｋ_１が成り立つと仮定して、ｎ＝ｋ_２で成り立つことを証明する。（ｋ_１＞ｋ_２）
『�T』と『�U』より、ａをｋ_１に入れることによって、ｋ_１＞ｋ_２＞ｋ_３＞ｋ_４＞・・・と無限に続く自然数で成り立つことになる。
しかし、自然数は１以上であり、無限に小さい自然数というのは明らかに矛盾している。従って、ａに相当する自然数は存在しない。よって、命題は成り立つ。
　それに対して、「数学的帰納法」も比較する意味で書きます。
『�T』ｎ＝ａ（ａに数を入れる）が成り立つことを証明。
『�U』ｎ＝ｋ_１が成り立つと仮定して、ｎ＝ｋ_２で成り立つことを証明する。（ｋ_１＜ｋ_２）
『�T』と『�U』より、ａをｋ_１に入れることによって、ｋ_１＜ｋ_２＜ｋ_３＜ｋ_４＜・・・と続く数をｎに入れてすべての自然数で成り立つことが証明できる。

Ｎ０6：2000年11月24日（金）オイラーは、フェルマー数のＦ_５が合成数と次のように発見しました。まず、641＝５^４＋２^４＝５×２^７＋１　である事実に目をつけた。
さらに、Ｆ_５＝２^３２＋１＝２^２８×２^４＋１　とかける。
ところで、５^４×２^２８＝５^４×２^4×７＝（５×２^７）^４、
だから、５^４×２^２８−（５×２^７）^４（５×２^７）^４＝０　となる。
これをＦ_５の両辺に足すと・・・
Ｆ_５＋０＝２^２８×２^４＋｛５^４×２^２８−（５×２^７）^４｝＋１
　　　 ＝２^２８×(５^４＋２^４)−（５×２^７）^４｝＋１
　　　 ＝２^２８×(641)−（641−１）^４｝＋１
ここで、分かりやすくするために、641=aとおく。
Ｆ_５＝２^２８×ａ−（ａ−１）^４＋１
　 ＝２^２８×ａ−（ａ−１）^４＋１
   ＝２^２８×ａ−（ａ^４−４ａ^３＋６ａ^２−４ａ＋１）＋１
   ＝２^２８ａ−ａ^４＋４ａ^３−６ａ^２＋４ａ
　 ＝ａ（−ａ^３＋４ａ^２−６ａ＋４＋２^２８）・・・ここの段階で合成数とわかる。
　 ＝641（−641^３＋４×641^２−６×641＋４＋２^２８）
　 ＝641×6700417

Ｎ０2：2000年11月20日（月）フェルマーが残した超難問に「フェルマーの最終定理」があります。1630年代、バシェ版のディオファントス『算術』の第２巻、第８問を覗いてみます。「与えられた平方（ｚ^２）を２つの平方（ｘ^２＋ｙ^２）に分ける方法」が書いてあります。
　与えられた平方ｚ^２を、仮に１６とおくと、分ける平方のうち１つをｘ^２とすると、もう一つは（１６−ｘ^２）となる。ここで、一方の解（１６−ｘ^２）が（ｍｘ−√16）^２に等しいとして、ｍ＝２とすると、
（１６−ｘ^２＝（２ｘ−√16）^２　展開すると、
１６−ｘ^２＝４ｘ^２−２・２√16ｘ＋１６　
１６−ｘ^２＝４ｘ^２−16ｘ＋１６
５ｘ^２＝１６ｘ、ｘ≠０なので、x=16／５　となり、
ｘ^２＝256／25、ｙ^２＝144／25　
よって、結果は　１６＝（16／５）^２＋（12／５）^２　となる。
　ここではｍ＝２を例にとったが、どんな自然数をとっても、同じ結果が得られる。また、この場合、ｚを１６とおいたが、２５や３６など平方数なら同様なことがいえる
さて、ここの余白に、フェルマーは一体どんな注釈を書いたかは、明日書くことにします。最後に、「驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを記するには、余りにも狭すぎる」と、後世まで引き継がれた有名な文で終わっていました。もし、次が真っ白なページだったら、フェルマーは一体何と書いたか興味がありませんか。
　明日もお楽しみにしていてください。
先日の、数学研究大会で、「極方程式に関して、曲線が、極に対して、凹であるか、凸であるかの定義を聞いて来ました。皆さんに、報告するには、この余白があまりにも、狭すぎる。
したがって、「フェルマーの最終定理」みたいに、360年後とはいかないまでも、後日、皆さんに、報告したいです。

　実は、「フェルマーの小定理」はａ^ｐ−ａ＝（ａ^ｐ-1−１）×ａと表すことができます。しかし、ａとｐは互いに素なのでａはｐでは割り切れない。よって、「ａ^ｐ-1−１は必ずｐで割り切れる」と言い換えられます。これを、合同の記号で書くと ａ＾ｐ≡ａ（ｍｏｄ　ｐ）
ａ＾（ｐ-1）≡1（ｍｏｄ　ｐ）は同じことになります。
　太郎さんの表現が、誤解を生む形で申し訳ありませんでした。累乗の指数の表現が統一していないことも、原因ですね。