Ｎ０17：2000年10月2日（月）後期の始業式にあたり、学校長はシドニーオリンピックの話をされました。「なぜ、オリンピックと言うか知っていますか。」「古代オリンピックの発症の地がギリシャのオリンピアードだったからです」

Ｎ０16：2000年10月１日（日）今日は2000年シドニーオリンピックの閉会式です。日本は金メダル５個、銀メダル８個、銅メダル５個でして、そのうち女子が１３個になっています。
　さて、太郎さんは、日頃の蓄積疲労がとれないまま、明日から後期の授業になります。ここで、前期終了しこと受けて、生徒に数学前期授業の終了した感想を「短歌」で表してもらおうと思っています。いずれ紹介できるでしょう。
ここで、主な各国のメダル状況を載せておきます。
獲得メダル数
国名 （金メダル 銀メダル 銅メダル）
米国　　　　　　　 39 25 33
ロシア　　　　　　 32 28 28
中国 　　　　　　　28 16 15
オーストラリア 　　16 25 17
ドイツ 　　　　　　14 17 26
フランス 　　　　　13 14 11　
イタリア 　　　　　13 8 13
オランダ 　　　　　12 9 4
キューバ 　　　　　11 11 7
英国 　　　　　　　11 10 7
ルーマニア 　　　　11 6 9
韓国 　　　　　　　8 9 11
ハンガリー　　　　 8 6 3
ポーランド　　　　 6 5 3
日本　　　　　　　 5 8 5
ブルガリア　　　　 5 6 2
ギリシャ 　　　　　4 6 3
スウェーデン 　　　4 5 3
ノルウェー 　　　　4 3 3
エチオピア 　　　　4 1 3
ウクライナ　　　　 3 10 10
カザフスタン 　　　3 4 0
ベラルーシ 　　　　3 3 11
カナダ 　　　　　　3 3 8
スペイン　　　　　 3 3 5
トルコ 　　　　　　3 0 1
イラン　　　　　　 3 0 1
チェコ 　　　　　　2 3 3
デンマーク 　　　　2 3 1
ケニア　　　　　　 2 3 2
フィンランド 　　　2 1 1
オーストリア　　　 2 1 0
リトアニア　　　　 2 0 3
アゼルバイジャン 　2 0 1
スロベニア　　　　 2 0 0
・・・・

Ｎ０15：2000年9月30日（土）今日の午前中にアクセス数は１万回に達しました。どなたがゲットされたか分かりませんが、おめでとうございます。皆さんのおかでげ現在に至っています。九月は1500回を初めて越えました。１つの記録達成です。
　さて、帰宅後、第60回の応募問題の答が「浜田」さんから寄せられていました。いつも本当にありがとうございます。感謝します。
問題１（１）の解答（○は勝ち，△は引き分け，×は負けを表します）
（○ ○ 6）（○ △ 4）（○ × 3）（△ △ 2）（△ × 1）（× × 0）　　の６通り．
問題２（１）の解答（○は勝ち，△は引き分け，×は負けを表します）
（○ ○ ○ 9）（○ ○ △ 7）（○ ○ × 6）（○ △ △ 5）（○ △ × 4）（○ × × 3）（△ △ △ 3）（△ △ × 2）（△ × × 1）（× × × 0）　　の１０通り．
問題１（２）の解答
（○ ○ 6，× ○ 3，× × 0）
（○ ○ 6，× △ 1，× △ 1）
（○ △ 4，× ○ 3，△ × 1）
（○ △ 4，× △ 1，△ △ 2）
（○ × 3，× ○ 3，○ × 3）
（△ ○ 4，△ ○ 4，× × 0）
（△ △ 2，△ △ 2，△ △ 2）　　の７通り．順位表が順位通りでなくてすみません．
問題２（２）の解答　実際の形は紙面の都合上割愛しますが、同じようにして、４０通り
実は、太郎さんは、この答を見つけてきれていませんでした。ありがたいです。改めて「浜田」さんに感謝します。時期を見て、この答は更新しますので、お許しください。読者の皆さんも、お考えください。

Ｎ０13：2000年9月28日（木）２５日の朝日新聞に、国立教育研究所で調べた意識調査のことが書いてありました。ここから引用します。
1989年から1996年まで同じ児童、生徒314人を対象にした結果です。「数学をなぜ勉強しているか」という問に対して、「数学は社会のいろいろな面で役立つ」と肯定的に答えたのは小学校５年生には６８％だったのに、高校３年時には３３％に低下。
一方で「入試に役立つから」と答えた児童は小学校５年生時は６％、高校３年時では１２％。
「学校の授業にあるから」との答は小学校５年２％から高校３年には１９％に上昇するなど、学びの姿勢が学年とともに消極的になる傾向を示している。
９５年に実施した調査では、普段の授業について、「例題で解法を先生が示した後に練習問題をする」と答えた高校２年の生徒が90.3％と圧倒的な割合を占めた。
一方で「同じ問題を２時間以上にわたって話し合う」ことや「先生と生徒同士でいろいろな解法を考えてみる」という授業が25％「理解を深めるために生徒同士が模型を作る」となると約６％だった。
　これを読んでいて、太郎さんは頭がいたくなってきた。今の自分が得てしてこのような授業になりかねない状態だからです。よく思っていることですが、「生徒にじっくり教える時間が欲しい」「教材を作る時間的ゆとりがない」「授業時間数がとても足りない」等です。学業時間をもっと増やしながら確保してもらいたい。
今のままでは、決して太郎さんが理想としているものとは違う授業展開になっていきつつある・・・
　さて、アクセスカウントがもうそろそろ１万になろうとしています。幸運にも１万をゲットした人はメールで報告してください。

Ｎ０12：2000年9月27日（水）ジャイアンツ優勝への分析をします。９月２４日９回裏の劇的な決定シーンは忘れられません。そこで７７勝５４敗までの記録です。
　２連戦・３連戦のカード別で勝ち越しについて、３連勝（○○○は８回）、２勝１敗（○○×は４回、○×○は２回、×○○は５回：計１１回）、２連勝（○○は７回）、負け越し３連敗（×××は４回）、１勝２敗（××○は５回、×○×は３回、○××は２回：計１０回）、２連敗（××は２回）２連戦の引き分け（○×は４回、×○は３回：計７回）以上でした。
そして、初戦に勝ったのは４９のカードのうち、２７回勝率０．５５１・、３連戦・２連戦最後の試合に勝ったのは４９回のつち、３２回で勝率０．６５３の高い確率です。

Ｎ０7：2000年9月22日（金）太郎さんは大変疲れていますので、「私の一日」の内容は取り立ててありません。しかし、オリンピックのサッカー予選リーグの勝ち点について興味をもっています。
４試合でリーグ戦を行います。勝ったら勝ち点３点、負けたら０点、引き分けたら、お互いに勝ち点１点とします。このとき勝ち点の起こりうる方法はどんな場合があるか、調べておきたいのです。
ちなみに、男子サッカーで、予選Ａ組、（イタリア７点、ナイジェリア５点、ホンジュラス４点、オーストラリア０点）、Ｂ組（チリ６点、スペイン６点、韓国６点、モロッコ０点）Ｃ組（アメリカ５点、カメルーン５点、クエート３点、チェコ２点）、Ｄ組（ブラジル６点、日本６点、南アフリカ３点、スロバキア３点）でした。
　また、１チームの勝ち点の取り方はどんな場合があるかも知っておきたいのです。読者の皆さんのお知恵をお借りしたいのです。これを、第６０回の応募問題にしたいと思っています。ちょっと考えて頂けませんか。

Ｎ０5：2000年9月20日（水）ゴールドバッハの予想の話は、お休みさせてもらいます。今日、学校で年輩の先生が、過去５年分の入試問題（数研出版）を、「私はもういらなくなったので、あげる。」と言って渡してくださいました。
太郎さんは、若いときはこの入試問題をノートに順に解いていった思い出がありますが、最近は先に、答をみてしまい、根気が続かなくなりました。この問題集を開いていたら、記憶にあり問題がでてきましたので、載せます。
「ｐを素数とするとき、ａ，ｂを互いに素な正の整数とするとき、（ａ＋ｂｉ）＾ｐは実数でないことを示せ。ただし、ｉは虚数単位を表す。」（今年度の京都大学前期入試問題より）
「どのような負でない２つの整数ｍとｎを用いても、ｘ＝３ｍ＋５ｎ　とは表すことができない正の整数をすべて求めよ。」（今年度の大阪大学前期入試問題より）
太郎さんにとっては、大阪大学前期入試問題は大変、懐かしい問題です。

Ｎ０4：2000年9月19日（火）昨日の続きを書きます。ゴールドバッハの予想については、次ぎに、ハウスナーが10,000にまで検証（1896年）をしています。
しかし、数学の理論的な考察を初めて行ったのはシルヴェスター（1871年）であった。彼の論法は今日から見ればきわめて不完全、直感的なものであり、到達した結論も正しくなかった。
　予想�Aについては、ハーディ(1877〜1947)とその共同研究者リトルウッド(1885〜1977)による一連の研究(1919〜1924)の中に初めてその解析的な研究方法が開発されて道筋がつけられ、後にそれはヴィノグラードフ(1937)によって完成され、ついに彼は予想�Aが”十分大きなすべての奇数”について正しいことを証明したのである。
続きは、明日書きましょう。

Ｎ０３：2000年9月18日（月）1999年２月号の数学セミナーにゴールドバッハの予想の原稿がありましたので、ここから引用します。（一部９月１３日の日誌と整合性を持たせてあります）
ゴールドバッハ(1690〜1764)の予想について、歴史的な事を書きます。1742年６月７日付けのオイラーへの手紙の中で、ゴールドバッハが述べた観察が、後に『ゴールドバッハ予想』と呼ばれるようになった問題であり、それは20世紀末に近い今日もなお、完全に解決されていない難問の１つである。
・・・任意の整数は２つの素数の和として表され、いくらでも多くの素数の和として表されるから、２より大きい整数は３つの素数の和として表される・・・
　ただ、この時代は１も素数の１つとして考えていたのです。６＝３＋３、６＝５＋１，６＝１＋１＋１＋１＋１＋１、６＝２＋２＋２、６＝３＋２＋１のように表していた。９＝７＋２、９＝３＋３＋３、９＝５＋２＋２のようです。
これに対して、オイラーは、同年６月30日付けの返書の中で、「４以上の任意の偶数は２個の素数の和となっている」が正しいなら、７以上の任意の奇数が３個の素数の和として表されることを証明が書きてありました。
　それによると、「２ｎ＋１＝２（ｎー１）＋３から明らかであろう」とね。今では、素数として１を認めないので、ゴールドバッハの予想を次のように述べ直しています。
�@　６以上の任意の偶数は、２個の奇素数の和として表される。 �A　９以上の任意の奇数は、３個の奇素数の和として表される。 　そこで、�@ならば�Aであるから、�@を証明すれば良いのですが、歴史の流れはその逆で、�Aの研究とその成功、そして�@への応用と未完成というのが現状です。
ゴールドバッハと同じように観察した人達は他にもいます。デカルトも「整数は１個か２個、または３個の素数の和である」ことに気づいているし、「ウェアリング」も、彼の著書（1770年）の中に�@と�Aについて述べている。リュカも1891年の著書の中にも書いてあります。
　オイラー以降、多くの数学者がゴールドバッハ予想に興味を引かれ考察を重ねて行ったが、そのほとんどが数値的な実験、すなわち、かなり大きな数についてまで予想が正しいことを検証するにしか達していなかった。
たとえば、カントールなどの素数表を作り、1000以下の偶数について�@を検証(1894〜1895)しています。続きは明日以降に書きます。

Ｎ０２：2000年9月17日（日）昨日、初めて、『FIRE』(火事）さんから第５９回の応募問題の解答をもらいました。そして、また、問題２の３段積みの場合も寄せられました。
【＜問題２＞の３n個の場合、n=1の時は１通り　n=2の時は５通り　n=3の時は２１通り　になります。
これの説明が面倒ですので、省略させてもらいます。例えばn=2の場合は、2n個の場合から類推したら漏れなくカウントできます。
そうすると、n=2の時にA(n)の階差数列が初項４、公比４の等比数列になることから、同様に計算できます。
　これから一般項をA(n)とすると
A(n+1)=4×A(n)+1・・・・・・（１）
となり、よくある漸化式の問題になります。
A(n)=4×A(n-1)＋1・・・・・・（２）
（１）から（２）を両辺ともに引いて
A(n+1)-A(n)=4×{A(n)-A(n-1)}
となり、A(n+1)-A(n)を｛B(n)｝とおくと
｛B(n)｝は初項B(1)=A(2)-A(1)=4、公比4の等比数列になる。あとは等比数列の一般項を求めることになるので、
　　　　　n-1
A(n)=A(1)+Σ｛B(k)｝
　　　　　k=1
　　=1+4×{(1-4^(n-1))/(1-4)}　であるから、
A(n)=1+4×{(4^(n-1)-1}/3　　となります。
確認すると　A(1)=1, A(2)=5, A(3)=21　となるので恐らく正しいと思いますが、
途中が厳密でないのですが、・・・。以上でいいのかなと思います。
ちょっと慌てて書きましたので、タイプミスが心配ですが、一般項は求まったと思います。】
＜太郎さんのコメント＞：３段積みの場合も、A(3)=21のときの、ちょっと数え足らないと思います。A(3)=４２になりませんか。
　次ぎに、「清川（kiyo)」さんからも、来ていましたので、この紙面にて、載せます。
【いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。カタラン数になります。
問題１　Ｃ(2n,n)/(n+1) = (2n)!/(n!(n+1)!)
問題２　奇数番のカタラン数が予想されます。
Ｃ(4*n-2,2*n-1)/(2*n)
＜太郎さんのコメント＞：そうです。清川さんにとっては、カタラン数はお手のものですが、
カタランの作問できた喜びは、自分ながらちょっと、嬉しくなります。
根本が分かっていれば、いろいろと出来るものですね。
問題２は、それでは、３段積みのときは、一体どうなるだろうと拡げてみなくなったのです。これで、４段積みや、５段積みが可能になってきそうです。
ありがとうございます。まだ、カタランの問題はストックがありませけど、いずれ出題します。時期を見てね。
　その後、「清川（kiyo)」さんから４段積みの場合の解答が寄せられてきました。
【いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
４段の場合（４ｎ個）
a(n) = 12*(4n)!/(n!(n+1)!(n+2)!(n+3)!)
ID Number: A005790 (Formerly M4954)
Sequence: 1,14,462,24024,1662804,140229804,13672405890,
　　　　　　1489877926680,　177295473274920
Name: 4-dimensional Catalan numbers】
＜太郎さんのコメント＞：本当にありがとうございます。やはり、素敵なお友達がいることは、助かります。サンクス