＜水の流れ＞
（私の一日NO28）
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Ｎ０16：2001年1月16日（火）「フェルマーの最終定理」の話になります。ここで、「谷山＝志村予想」を思い出してみよう。”すべての楕円曲線はモジュラーである”であった。ところがリベットの証明によれば「フライの楕円曲線」はモジュラーではないというのだ。この２つともが真であったらどうなるか？
そう「フライの楕円曲線」など、もともと存在できないことがハッキリするのだ。これはとりもなおさず、最初の仮定であるｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（ｎ≧３）に解があるが間違っていることを示す。結局、「谷山＝志村予想」、つまり、”すべての楕円曲線がモジュラー形式”だと証明できれば「フェルマーの最終定理」も証明できることが示されたわけである。続きは明日になります。
Ｎ０15：2001年1月15日（月）朝、吹雪の様相の中、近くのＪＲ駅まで寄ってから、勤務先に向かいました。寒い一日でした。車の運転には大変な神経を使います。 Ｎ０14：2001年1月14日（日）第６６回の応募問題「お年玉」の Ｎ０13：2001年1月13日（土）「フェルマーの最終定理」攻略の歴史をもう一度書きます。 Ｎ０12：2001年1月12日（金）連載にしている「フェルマーの最終定理」の話です。ワイルズ氏が登場する前の1992年の時点で「フェルマーの最終定理」が、どのくらいのｎまで証明されていたかを述べます。1983年、ドイツのファルティングスが1922年にアメリカのモーデルによって予想された「モーデル予想」を証明した。この予想は”種数２以上の代数曲線は、有限個の有理点しか持たない”というものだ。 Ｎ０11：2001年1月11日（木）連載にしている「フェルマーの最終定理」の話です。谷村と志村は、この”楕円曲線はすべてモジュラーである”と考えた。モジュラーとはフランスのポアンカレ（1854～1912）が考えた関数の形式である。ポアンカレは三角関数のような周期関数の研究をした。sinやcosは角が一回転するごとに、同じ波形を繰り返すように、ポアンカレは複素平面上の周期関数を考えた。 Ｎ０10：2001年1月10日（水）連載にしている「フェルマーの最終定理」の話です。４つのグラフを書きます。見て分かるように楕円曲線といっても、楕円形をしているわけではない。もともと楕円の弧の長さを求める問題と関わりがあったので、この名がついた。アイディア自体は古く、最初に考えたのはガウスである。
「フェルマーの最終定理」の話になります。1984年、フライは「フェルマーの最終定理」が間違っている、つまり「ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（ｎ≧３）」に解があると仮定、その仮の解を代入してみた。これによって作られた楕円曲線ｙ２＝ｘ(ｘ－ａｎ)(ｘ－ｂｎ)は「フライの楕円曲線」と呼ばれている。
フライはこの楕円曲線が非常に奇妙な振る舞いをすることを突き止め、こんな曲線はとても存在できないと考えた。さらに、”「フライ楕円曲線」はモジュラーではない”という予想を立てたのだ。この「フライの予想」は、当初胡散臭いアイディアだと思われたが、その翌年、カリフォルニア大学のリベットが、正しいことを証明してしまった。
さて、午前９時５１分に、第６７回の応募問題の/FONT>「お年玉【２】」の解答を「浜田」さんから頂きました。ありがとうございます。皆さんも考えて見てください。よく知っている数字になります。そのときのメールを載せておきます。
【いつものように，エクセルのマクロでプログラムを作ってみました．計算だけの問題であるならば，データ表示も簡単なので，エクセルが一番だと思います．図形表示が必要であるならば，VISUAL BASICが最適でしょう．
ｎ枚をｒ人（１≦ｎ≦７，１≦ｒ≦２０）で取る場合の組合せを計算するものです．計算結果は以下の通り．ｒ行ｎ列の成分で表しています．】更新は機会を見てさせてもらいます。
朝から、雪が舞っている中、バスケットの試合に出かけます。超寒ーい体育館での試合は体に良くありませんが・・・、これも選手のことを思うと、そう言ってばかりいられません。結果は帰宅後書きます。男子は２回戦で勝てば、県大会に出場できます。
帰宅は、午後４時半でした。結果を書きます。県大会出場チームは、男子：大垣商業（県推薦）、成績順に、大垣北、大垣工業、大垣東、大垣南高校の５チーム、女子は成績順に、大垣商業、大垣北、大垣東、揖斐高校の４チームになりました。県大会は２８日（？確認していない）から始まります。「フェルマーの最終定理」の話は、疲れていますので、お休みにします。
１６３７年：フェルマーが「算術」の余白に「フェルマーの最終定理」を書き込む。▼個々のｎについての証明の時代。▼
１６４０年：フェルマー自身がｎ＝４の場合を書き残す。
１７７０年：オイラーがｎ＝３の場合を証明。
１８２０年：ディリクレとルジャンドルがｎ＝５の場合を証明。
▼場合Ⅰ：ｘ、ｙ、ｚのいずれもｎで割り切れないとき。場合Ⅱ：ｘ、ｙ、ｚのいずれもｎで割り切れるとき。▼
１８２３年：ソフイ・ジェルマンが場合Ⅰのときｎが素数で、２ｎ＋１も素数なら「フェルマーの最終定理」が成り立つことを証明。その後、ルジャンドルがｎが素数で、２ｎ＋１、４ｎ＋１、８ｎ＋１、10ｎ＋１、14ｎ＋１、、16ｎ＋１のうち、１つでも素数なら「最終定理」が成り立つことを証明した。
１８３９年：ラメがｎ＝７の場合を証明。
１８４７年：クンマー、ｎが正則素数の場合、「最終定理」が成り立つことを証明。
１９０９年：ヴィーフェリッヒが、場合Ⅰに解があるとすれば６０億以下ではｎ＝１０９３，３５１１だけということを示す。
１９５５年：ｎ＝４００１までは正しいことが証明される。
１９８３年：ｎ＝１００万までは正しいと分かる。
１９９２年：ｎ＝４００万までは正しいことが確かめる。
１９９５年：ワイルズが「フェルマーの最終定理」を解決。
さて、本日のバスケットの試合結果ですが、女子は１回戦で大差で負けましたが、男子は最大１４点差を跳ね返して、後半残り数分から逆転に成功して、９点差で勝ち、明日の２回戦に進みます。したがって、また休みにはなりません。明日の早い時期に、第６７回の応募問題「お年玉【２】を更新して、会場校の大垣工業高校にでかけます。
ところが、ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎはｎ≧４のとき、２以上となる。これによって、”ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎは互いに素な整数解（ｘ、ｙ、ｚ）を有限個しか持たない”ことが証明されたわけだ。
ところで20世紀の大きな発明にコンピュータがある。さまざまな学問で、コンピュータは威力を発揮しているから、数学でも当然、大いに貢献したと考える人も多いだろう。しかし、数学者のメインの武器は現在でも紙と鉛筆である。数学は概念の学問であって、計算の学問ではないから、コンピュータが主役になることは、今後もありそうにない。ただし、コンピュータによって数学者が強力な計算力を手に入れたことも事実である。巨大な完全数やメルセンヌ素数を筆算で求めようとしたら、一生を費やしてもとても足りない。
「フェルマーの最終定理」にも、コンピュータでの挑戦が試みられた。個々のｎについて検証し、1955年に4001まで正しいことを得たのを皮切りに、1983年にはｎが100万まで確認。1992年には400万までのｎについて正しいことが確かめられた。結局、ｎ＝400万までは証明済み、さらにそれ以上の場合でも整数解の存在する可能性は極めて少ないことがわかっていた。明日は、具体的に「最終定理」攻略の歴史を書いてみます。
やっと、週末になり、日頃の忙しさから解放されるはずでしたが、太郎さんはそんなわけにはいきません。明日は、本校の体育館で地区のバスケットの公式試合があります。休養にはありません。今週の疲れがとれないまま、月曜日になりそうです。
それは非常に多くの対称性を持ち、”ある一定の方法で変換したとき、元の関数と変わらない”関数である。こういう性質を保型形式という。そして、保型形式をさらに拡張したのがモジュラー形式である。モジュラー形式は複素平面上の上半平面にあり、双曲型幾何学（非ユークリッド幾何学の一種）を持つことが知られている。さて、いよいよワイルズ氏の出番です。
ところで楕円曲線上の有理点は加群をなす。つまり曲線上の任意の有理点を２つとって、ある操作をすると、その結果導かれる点は、もとの楕円曲線上にあるというのだ。
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ｙ２＝(ｘ－１)(ｘ２＋ｘ＋１)＝０とおいた方程式が、１つの実数解と２つの虚数解を持つ場合、接線を引くことができない点（特異点）がないので、楕円曲線といえる。 |
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ｙ２＝(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ－３)＝０とおいた方程式が、３つの実数解を持つ場合、接線を引くことができない点（特異点）がないので、楕円曲線といえる。 |
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ｙ２＝(ｘ－１)２(ｘ＋２)＝０とおいた方程式が、重解を持つ場合、特異点（結節点）を持つので、楕円曲線ではない。 |
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ｙ２＝(ｘ－１)３＝０とおいた方程式が、３重解を持つ場合、特異点（尖点）を持つので、楕円曲線ではない。 |
Ｎ０9：2001年1月9日（火）連載にしている「フェルマーの最終定理」の話です。日本人の谷山豊氏だが、1958年に尊敬するヴェイユにプリンストン高等研究所に招かれ、さらに結婚を間近に控えていた。正に順風満帆と思われていたのだが、11月に突然自らの命を絶つ。その理由はいまもって謎だが、婚約者も後を追い、翌年、離婚者との”葬婚式”が行われている。自分の予想が「フェルマーの最終定理」解決につながったことを知ったら、谷山氏もさぞ驚いたことだろう。
「フェルマーの最終定理」を解くカギとなった１つが楕円曲線である。楕円曲線を式にすると、ｙ２＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ と表れる。ただし、右辺を＝０とおいた方程式が重解や３重解を持つものは楕円曲線ではない。次回は楕円曲線のグラフに挑戦しますが、皆さんにうまく伝えられるか、不安です。時間が欲しい。
さて、「浜田」さんから、エクセルのマクロでプログラムされた解答をいただきました。機会を見て、更新させてもらいます。
次に、太郎さんは、昨日「パソコン」ショップで、様々な活字原稿に対応できるＯＣＲ（Ｔｙｐｉｓｔ：バイリンガルＶ6.0)とＩＢＭからでている音声入力のできるＶｉａＶｏｉｃｓの２つのソフトを購入しました。インソールして試してみました。うんうんうまく作動してくれました。納得。このソフトを早速実際に使用したいです。
Ｎ０8：2001年1月8日（月）昨日、夕方から雪がちらつき始め、夜には、道路や屋根に数センチ積もりましたが、朝起きてみると、不思議なことに気温が上がって、雨に変わって雪は消えていました。ありがたいです。
さて、昨夜、第６６回の応募問題の解答を「Ｊｕｎ」さんから寄せられました。正解です。そこで、応募期間を延長（～１月１４日まで）したこともあり、ヒントを載せておきましたから、
Ｎ０7：2001年1月7日（日）太郎さんは、５日、６日とチョー寒い体育館で部活を３時間やっていました。実に忙しくて、ゆっくりと心を休める時間と空間を持てない状況です。辛いぃーすよ。７日、８日は部活は休みにしてあります。この月に、校内の研究授業が割り当てられています。「パスカルの三角形」の中に潜んでいる性質を生徒に紹介・発見をしていきたいとは思っていますが・・・、資料をつくらねばならない。
２日の同窓会のときに出会った教え子（現在大学院生）からのメールが来ていました。太郎さんにとって、高校卒業後、社会で活躍している教え子を知ると、なぜか嬉しく感じます。教え子の益々の活躍とご健勝を遠くから祈念しています。教え子達！”今まで培った知識をもとに、新たなる創造や発想を生み出すよう、ガンバレー”
【私は、大垣西高校13期生の・・・というものです。西高校からの進路としては、関西大学→関西大学大学院工学研究科機械工学専攻→世界でも知られてる有名家電メーカー（予定）という感じです。
同窓会の前にたまたま、西高校の同窓会のページから、先生のページ「水の流れ」を発見して、すばらしい出来栄えにびっくりしていました。本当に、凄いですね。
先生には、1年生の頃の初めの授業で、黒板を消してなくて怒られられた事とか、3年生の時ある授業で、1時間ず～と、僕一人だけ当てられた授業とか、「数学は、バッサリの学問やって」「湧源」「外積の計算」「秋山仁」など、今では、懐かしく、且つ、とてもいいお話だったと頭に結構残っていて、今、思い出すと、西高の先生といえば、先生という感じであり、且つ、僕自身、数学をがんばろうと思ったのは、先生の授業がきっかけだったと思います。
結果として、数学の基礎知識が必要な科目とかが結構あって、先生の授業で、習った事がベースでしたので、そんなに苦労しなくてすみましたし、（今でも、ロボットの制御理論でも、行列とか出てきます）よく、あの時、西高で、こんなこと習ったなぁ…という感じで思い出してました。
特に、直接、本当に高校時代にやってた勉強が生きたなぁ～って感じた、先生には、いつか一言でも、お礼は言っておきたいと思い、メールで失礼ですが、「本当にありがとうございました感謝しております。」とともに、今の現状報告したいなぁと思って、メールを書きました。】
連載にしている「フェルマーの最終定理」と21世紀中に解決してもらいたい身近な問題は明日にします。さらに、第６６回の応募問題
Ｎ０6：2001年1月6日（土）「フェルマーの最終定理」に続きです。世界的に有名になった高木貞治先生の喜寿を祈念し、1955年、日本で最初の代数的整数論の国際会議が箱根で開かれた。シンポジウムでは高木先生が名誉議長となり、ヴェイユやシュヴァレーなど、数論の第一人者が勢揃いした。日本人では岩澤謙吉や、当時若手の気鋭だった谷山豊（1927～1958）、志村五郎が加わった。このときに谷村は未解決問題を配付したのだった。その中に、現在「谷村＝志村予想」と呼ばれるものの原型があった。
この谷村＝志村予想は、「すべての楕円曲線はモジュラーである」というものだ。この予想が「フェルマーの最終定理」解決の重要なカギとなるのだ。それが解決されるまでには30年の年月を経なければならなかった。につながり、解決できた。続きは明日になります。
21世紀中に解決してもらいたい身近な問題の３日目。すでにご存じの読者の多いと思いますが、お許しください。
【３】双子素数
２つの奇素数が偶数を挟んで隣り合っている組を双子素数という。例えば、３と５、５と７、11と13、17と19、29と31などである。最大の双子素数は次々に発見されているが、これが無限にあるかは、まだ分かっていない。現在発見されている最も大きな双子素数は、361700052・２39020±１という11755桁の数である。
しかし、最近、コンピュータの性能が発達していることもあり、瀬川さんから、次のような知らせがありました。
g202 氏により双子素数世界記録更新 1693965*2^66443±1 （十進数表記で20008桁） 参照：
Ｎ０5：2001年1月5日（金）「フェルマーの最終定理」に続きです。数論の世界では日本人が数多く活躍している。1898年、文部省の留学生としてドイツのゲッティンゲン大学に学んだ
「高木貞治」（岐阜県糸貫町出身1875年～1960）は帰国後、１０年以上も独りで数論に取り組む。第一次世界大戦の勃発でドイツとの国交が絶たれ、研究の発表場所を失ってしまったのだ。国内に高木貞治の理論（日本初の世界的数学者と言われる。世界にその名を知らしめることになったのが「類体論」の研究である）を理解できる者はおらず、独りで研究をするしかなかったという。しかし、そこからもっとも美しい数学の理論と称えられる類体論が生み出された。
Ｎ０4：2001年1月4日（木）「フェルマーの最終定理」に続きです。ブルバキの創始者の一人、アンドレ・ヴェイユ（1906～1998）は1928年「モーデル＝ヴェイユの定理」（アーベル多様体上のｋ上有理点の作る群が、有限生成だということ）を証明。1942年には、「合同式ゼーター関数についてのリーマン予想」（リーマン予想の代数幾何学的な類似物）を証明した。彼は日本人の谷山豊（1927～1958）にも大きな影響を与えた。また、20代でブルバキに参加したグロタンデューク（1928～）も数論上の大きな功績を残している。彼の作ったスキーム論は、素数全体を取り扱う画期的な理論である。明日は日本人の活躍ぶりを書きます。
今日から、21世紀中に解決してもらいたい身近な問題を紹介します。すでにご存じの読者の多いと思いますが、お許しください。
【１】コラッツ予想（日本では、角谷予想）
「自然数ｎを取り、これが奇数なら３倍して１を加える。偶数なら２で割る。これを繰り返すと始めにどんなｎを選んでも、いつかは１→４→２→１を繰り返す」というのがコラッツ予想です。この予想は1970年に角谷（ｶｸﾀﾆ）静夫氏により日本に伝えられたという理由から「角谷予想」と呼ばれている。
例えばｎを20とすると、20→10→５→16→８→４→２→１となる。未解決なので、もしかすると反例があるかもしれないが。ｎが１～50までぐらい検証してみてください。ｎが27のときは大変ですよ。
Ｎ０3：2001年1月3日（水）太郎さんは、昨日、前々任校（大垣西高校）で６年前に卒業した生徒の同窓会に出席してきました。当時の若さに戻れるのがいつもいいなーと感じています。まだ、大学院で勉強している者、多くは就職して企業の一員として、それぞれの道で働いていました。中には既婚者もいましたし、同級生同志の婚約も耳に入ってきました。どんな職に就いて働いているのかは大変参考になります。教え子達全員それぞれの道で、社会に貢献し、２１世紀の日本を背負っていってください。次の同窓会を楽しみにしています。
次に、第６６回の応募問題
Ｎ０2：2001年1月2日（火）今、太郎さんは、学校の機関誌である「南風第48号」の原稿を書いています。題を「数秘眺望発見」として推敲中です。出だしを載せておきます。
『さて、昨今数学的分野（特に整数論）に関する本をよく読むようになって、今教えている高校生に少しでも、「数学の面白さや学ぶ楽しさ」を知ってもらおうと思うようになってきた。そこで、生徒に呼びかける言葉を考えたのが、表題の言葉なのです。
これは、１つの真理探究するのに使います。山登りに例えて、低いところでは眺めも悪く、壮大な景色も見えません。ところが、苦労して登山口を探しながら、途中行き止まりなっていても、そこから新しい道を自分で切り開いていきます。最後にとうとう高い山の頂上に人類史上初めて到達したときのあの何ともいえない心地よさは過去の苦労を一瞬にして消してくれて、人には言いようのない充実感・達成感などの感動を与えてくれます。眺望の良さは極めた本人だけしか分かりません。これから、数学的分野（特に、数論）での未解決問題という山登りに、南高生を含めた多くの人達にチャレンジもらいたいのです。きっと、登頂後、数の不思議さに魅了されることでしょう。』
この原稿に、21世紀中に解決してもらいたい身近な問題（中学生程度からでも問題の意味を理解してもらえるもの）をページ数の許す限り載せようと考えています。例えば、１．コラッツ予想、２．素数を表す式、３．双子素数は無限にあるか、４．より大きな素数への挑戦、５．完全数の発見、奇数の完全数はあるか、６．すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される、７．ゴールドバッハの予想、８．立方数の逆数の和の極限、９．自然数のｎを自然数に分割する方法の数、１０．最後にリーマン予想（高校生には理解しづらいかも）、以上を考えています。
Ｎ０1：2001年1月1日（月）皆さん！新世紀あけましておめでとうございます。これからもよろしくお願い申し上げます。２０世紀末の「フェルマーの最終定理」が証明されたように、２１世紀にも多くの数学の未解決問題が証明されることを祈念しています。
読者の皆さんにもう一度呼びかけたいと思います。
震え上がるような数の神秘を知るためにあなたは青春をかけてみないか！
Ｎ０27：過去の
「私の１日Ｎｏ27」12月16日～12月31日のはここをクリック下さい。