Ｎ０16：2000年12月16日（土）「フェルマーの最終定理」の証明に貢献したのは、オイラーやガウスといった数学史に凛然とその名を残す学者ばかりでない。
指数が５のときの「最終定理」を証明したディリクレは、ドイツのアーヘンに生まれた。彼が数学の道に進んだのは、高等中学時代の教師の影響が大きい。そこの教師こそ、後に、「電気抵抗の法則」で有名なオームであった。オームの指導により、ディリクレは１６歳で大学入学の資格をとり、パリに留学。２１歳で「５次不定方程式の不可能について」という論文を書き上げた。これこそ「最終定理」の指数５のときの証明だった。
　以上、＜参考文献：図解雑学フェルマーの最終定理（富永裕久著）：ナツメ社＞を読んで引用しました。

Ｎ０15：2000年12月15日（金）オイラーの証明で不備な点を書きます。（ａ＋√(−３)×ｂ)＝（ｔ＋√(−３)×ｕ)^３のように、虚数を含む複素数の世界でも、積Ｓが立方数であれば、Ｓ＝ｔ^３のように表されると考えた。
　確かに複素数の世界でも、”積”や”割り切れる”といった概念は定義できるから、そこから、”素数”や”互いに素”といった考えも導入できる。しかし、複素数の場合は、”互いに素な２つの数がｎ乗数でも、それぞれがｎ乗数”とはいえないことが分かっている。この不備は、その後ガウス(1777〜1855）によって作り出されたガウス環という考えによって解決される。
問題が生じ解決され、またそれによって問題が生じるというのが、数学の歴史でもある。
　さて、「フェルマーの最終定理」だが、オイラーが指数３を証明したのが1753年。フェルマーが予想したのが1630年頃だとされるから、すでに120年以上経っているわけです。そして、これからまた、しばらく動きがない。ｎ＝５の場合の証明は1820年、ディリクレ（1805〜1859）によるものだから、60年以上が経過している。

Ｎ０11：2000年12月11日（月）ｎ＝３とき、フェルマーの最終定理は成り立つの『段階７』：ａ＝ｔ^３−９ｔｕ^２＝ｔ（ｔ^２−９ｕ^２）を変形する。
ａ＝ｔ（ｔ^２−９ｕ^２）＝ｔ(ｔ＋３ｕ)(ｔ−３ｕ）となる。２ａは立方数なので、２ｔ(ｔ＋３ｕ)(ｔ−３ｕ）も立方数。ところが、ｔは偶数であり、ａが３で割り切れないことからｔも３では割り切れない。
これらより、２ｔ、ｔ＋３ｕ、ｔ−３ｕの３つの因数は互いに素であり、いずれも立方数でなければならない。そこで、
ｔ＋３ｕ＝ｘ_２^３、ｔ−３ｕ＝ｙ_２^３、２ｔ＝ｚ_２^３と、おけば、ｘ_２^３＋ｙ_２^３＝ｚ_２^３を得ることができる。さて、明日は、最後の『段階８』は読者の皆さんもご存知のフェルマーが編み出し「無限降下法」の登場です。

Ｎ０8：2000年12月8日（金）ｎ＝３とき、フェルマーの最終定理は成り立つの『段階４』：２ａ（ａ^２＋３ｂ^２）が立方数なら、ａは４で割り切れる。
２ａ（ａ^２＋３ｂ^２）は２を含むので、立方数なら必ず偶数であり、２^３＝８で割り切れる。ところがａ、ｂのどちらかが奇数なので、（ａ^２＋３ｂ^２）は奇数である。よって、２ａは８で割り切れ、ａ/４は整である。明日は、『段階５』に行きます。
　先日の第63回の応募問題で、（１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋・・・）^ｎの係数は、ちょうど重複組み合わせのＨの記号で、_ｎＨ_ｒｘ^ｒ（ｒ＝０，１，２，・・・）と表すことができ、（１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋・・・）^ｎは_ｎＨ_ｒを生み出す「母関数」ということです。
こんな話を「ねこ」さんと話していたら、感想が寄せられていました。
【そのあたりの知識は乏しいもので知りませんでした。きれいな形になったので面白いなぁと思ったのですが、そういう意味があったのですね。】
また、身近な２項定理などは、（１＋ｘ）^ｎの係数は組み合わせ記号で、_ｎＣ_ｒｘ^ｒで表せます。

Ｎ０7：2000年12月7日（木）早速、学校で同僚に尋ねて見たところ、親切に教えていただきました。Ｕ−ベイシックファイルをインスートルしましたので、おかげて開いてみることができました。
　後は、Ｗｅｂ上に載せる技量がありません。勉強したいです。では、頂いたプログラムソースを載せておきます。ありがとうございます。昼休みに更新します。
10 'asave"inu
15 '''''Ｎ匹の犬の追いかけっこの軌跡’’’’’
20 cls 3
30 dim P(20),Q(20)
40 K1=4:K2=300:K3=-K1:K4=200
50 Kk=atan(1)*4 ''''KK : 円周率'''''
55 print "犬の数？（３〜20）"
60 input N
70 G=tan(Kk/N)
80 ''' print G
90 W=Kk/180
100 L=50
110 for H=1 to N
120 for X1=0 to 360 step 1
130 X=(X1)*W
140 Y=L*exp(-X*G)
150 F=(45+360/N*H)*W
160 P(H)=Y*cos(X+F)
170 Q(H)=Y*sin(X+F)
180 pset (K1*P(H)+K2,K3*Q(H)+K4)
190 ''' print X1,Y
200 next X1
210 next H
220 end
帰宅後、メールが入っていました。第６４回の応募問題の解答が「Iga」さんから寄せられていました。感謝します。
さらに、「ねこ」さんからも入っていました。例のフェルマーのことを書いていく中で、「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される」と、『算術』の余白に書き残していやのがきっかけでした。この証明はどこかで、誰かが示しているのでしょうか。
これに対しての報告です。ご覧ください。
【「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される」について調べてみましたのでご報告します。
---------------------------------------------- ｍ＝４はオイラー・ラグランジュの定理（g(2)=4）そのもので、１７７２年に証明されました。
ｍ＝３については、３平方和定理「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない」を用いて、ガウスが１７９６年に証明しています。
ｍ≧５については、１８１３年にコーシーが証明し(*1)、１８１６年にルジャンドルがこの証明を簡略化しています(*2)。
証明された年が間違えているかもしれませんが、ご容赦ください。
(*1) コーシー全集の(2),VI, pp.320-353に再録された。
(*2) 「整数論」第2版の補遺にある。
----------------------------------------------】
＜水の流れ：コメント＞本当に博識な皆さんには心より感謝しています。太郎さんは親切な方々と一緒にネット上での出逢いを有意義に感じています。これからもよろしくお願いします。さて、本来は、ｎ＝３とき、フェルマーの最終定理は成り立つの『段階４』ですが、明日にさせてもらいます。

Ｎ０5：2000年12月5日（火）午後、エクセルで定期試験において、個人成績をリーダーグラフで表現出来るようにし、今度の保護者懇談の資料としたいです。何とか出来そうですが、後は、個人票を印刷する際に一連の動きの中で、印刷可能にすることが課題になっています。
　帰宅後、いつまでたっても応募者なくて、気にしていた第６４回の応募問題の解答が「浜田」さんから寄せられていました。内心ほっとしています。正答です。ありがとうございます。いずれ、機会を見て更新します。実は、フェルマーのことを書いていく中で、「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される」と、『算術』の余白に書き残していやのがきっかけでした。この証明はどこかで、誰かが示しているのでしょうか。きっと、数学的帰納法で出来るのかな。
フェルマーの最終定理で、ｎ＝３の証明：『段階２』：ｘ、ｙ、ｚの３数は１つだけ偶数で、残り２数は奇数である。∵　ｘとｙは互いに素なので、�@どちらも奇数か、�Aどちらかが奇数で、どちらかが偶数、だといえる。そして、�@の場合はｚは偶数、�Aの場合はｚは奇数といえる。ここでは、ｘ、ｙは奇数、ｚは偶数として証明する。明日は、『段階３』に行きます。

Ｎ０4：2000年12月4日（月）「八木」さんから、「直角三角形の斜辺以外の二辺の和が平方数となるための条件」について、報告を受けました。ご覧ください。
【直角三角形で直角をはさむ２辺の和が平方数で斜辺もまた平方数になる三角形についてフェルマの示した解の各辺をａ_１，ｂ_１，ｃ_１とすると、この三角形と相似な三角形の各辺をａ_ｎ，ｂ_ｎ，ｃ_ｎとすれば
ａ_ｎ＝ａ_１＊ｎ＾２、ｂ_ｎ＝ｂ_１＊ｎ＾２、ｃ_ｎ＝ｃ_１*ｎ＾２となります。
これは自明の一般解ですが今までに報告された解はすべてこれに属しているようです。、各辺の比が異なる別の解は果たしてあるのでしょうか。
　ちなみに清川様の最初の報告はｎ＝1、9、25の場合に相当し２回目の報告はｎ＝8、３２，７２，１２８に相当するものと思われます。
　また、私が求めたいくつかの解も自明の一般解の一部がもとまるにとどまりました。】
＜水の流れ：このような結果になっていたのですね。よく考えてみると、見知らぬことが分かってきます。＞
　さて、フェルマーの最終定理で、ｎ＝３の証明はオイラーが、1753年に、ゴールドバッハ宛てた書簡の中で述べています。ただし、証明が発表されたのは、1770年にオイラーが「代数学」を刊行したときです。
オイラーの証明の基本的な方法は、フェルマーがｎ＝４の場合を証明したと同様、ｘ^３＋ｙ^３＝ｚ^３に自然数解があると仮定して、最終的には無限降下法を使うものでした。証明の段階は８段階です。順にお知らせしていきます。
『段階１』ｘ^３＋ｙ^３＝ｚ^３に、ｘｙｚ≠０となる整数解があると仮定する。ただし、ｘとｙは互いに素とする。『段階２』は明日書きます。＜参考文献：図解雑学フェルマーの最終定理：富永裕久著＞（ナツメ社）から引用しています。

Ｎ０3：2000年12月3日（日）今日は、「情報教育セミナーin名古屋＆第３２回東海スクールネット研究会例会」に出席してきました。実践報告は小学校は、半田市立亀崎小学校、中学校は三重県三重郡菰野町立菰野中学校、高校は北海道旭川凌雲高等学校、
午後の講演は「情報教育と著作権」（関西大学総合情報学部の名和先生）、「マルチィメディアとインターネット」（ＮＨＫ中部ブレーン制作部長市川氏）、「国際交流と模擬情報授業ー５年間の実践ー」（名古屋市立星陵商業高校影戸先生）、パネルセミナー「どう進めるか　情報の授業と総合的な学習の時間」コーディネーターは新潟大学の生田教授）パネリストが４人でした。
　実践報告など、今後の教育に大変役立つことばかりで、太郎さんはとってもリフレシュでき、これからの教科情報や総合学習の時間につながるものを得てきました。フェルマーのｎ＝３の証明は明日にさせてください。

Ｎ０2：2000年12月2日（土）1640年、フェルマーは友人のメルセンヌ（1588〜1648）に手紙の中で、ｎ＝４を証明しています。（多少、不備があるようでした。）この証明方法が、彼が編み出した「無限降下法」を使っています。では、紹介します。
『以後引用』フェルマーはｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^４に自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）がないことを証明するために、まず、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２を考察した。「ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２に、自然数解（ｘ、ｙ、ｚ）がある」と仮定し、次ぎに「平方数が互いに素な２数の和で表されるとき、その２数はともに平方数である」という命題を利用した。
これによって（ｘ、ｙ、ｚ）より小さな自然数（ｘ_２、ｙ_２、ｚ_２）の存在がわかる（ｚ_１＞ｚ_２）。この繰り返しによって、ｚ_１＞ｚ_２＞ｚ_３＞ｚ_４・・・と、いつまでも自然数の列が続くことになるが、それはあり得ない。
よって、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^２は解を待たず、ｘ^４＋ｙ^４＝（ｚ^２）^２、すなわち、ｘ^４＋ｙ^４＝ｚ^４も解を持たないことが分かる。フェルマーが得意とした無限降下法を使った証明である。
　フェルマーが残したのは指数が４の証明だけだが、これを拡張していくことで、指数が４の倍数の場合はすべて証明される。また、合成数は必ず素数の倍数だから、その元となっている素数が指数である場合を証明すれば、合成数が指数の場合の「フェルマーの最終定理」は自動的に証明されるわけです。
そこで残るのが、３，５，７，１１，１３，・・・、といった奇素数の場合だけである。最初の奇素数３については、オイラーが1753年にゴールドバッハに宛てた書簡の中で述べている。ただし、証明が発表されたのは、1770年にオイラーが「代数学」を刊行したときである。
『引用終わり』では、明日、ｎ＝３の証明を段階をおって紹介します。

Ｎ０1：2000年12月1日（金）今日から、１２月で師走に入ります。２０世紀も後３０日になりました。ミレニアムという言葉もあまり新鮮みがなくなりつつあります。
　３日の日曜日に、「情報教育セミナーin名古屋＆第３２回東海スクールネット研究会例会」が愛知淑徳大学（星ヶ丘キャンパス）記念会堂大講義室で１０時より行われます。太郎さんは、この研究会に出席する予定です。情報教育に役に立つようなことを聴いて来ようと思っています。